Медиана треугольника abc: определение, основание, свойства, задачи

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника со средней стороной, расположенной напротив этой вершины.

• BF – медиана, проведенная в сторону AC.
• АФ = ФК

Основанием медианы является точка пересечения медианы со стороной треугольника, иначе говоря, середина этой стороны (точка F).

 Характерные особенности медианы

Медиана имеет множество свойств, ниже приведен их краткий список. Некоторые из них будут рассмотрены более подробно.

1. Медиана треугольника делит его на два равных треугольника: S▵ACD=S▵BDC , S▵MNO=S▵ONK
2. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и разбивают его на 6 треугольников одной площади.
3. Медиана, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы: CD=½AB=AD=BD.
4. В правильном или равностороннем треугольнике медиана является одновременно биссектрисой и высотой, проведенной от одного и того же угла.
5. В равнобедренном треугольнике совпадают медиана, биссектриса и высота, которые проведены к основанию.
6. Для нахождения длины медианы треугольника используется следующая формула: BD=12a2+12c2-14b2, где BD — медиана, а a, b и c — стороны треугольника.

Пересечение медиан треугольника

Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже некоторые – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну, неформально эта точка называется точкой равновесия.

Чтобы лучше понять, что это такое, представьте треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если провести на нем все три медианы и найти точку их пересечения, то, подложив под нее большой палец, вы сможете удерживать свой картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.

Важно! С точкой пересечения медианы связан один математический факт. Он делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых 2 к 1, если считать сверху.

Если взять для примера показанный выше треугольник, то это правило можно записать так:

1. Отрезок СО вдвое больше, чем отрезок АО;
2. Отрезок РО вдвое больше, чем отрезок LO;
3. Отрезок МО вдвое больше, чем КО.

Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете в дохом устройство опить в правдивости расчетов.

Читайте также: Равенство ⭐ двух векторов в геометрии: как доказать, какие нужны условия, примеры задач для 9 класса

Медиана равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник уникален сам по себе, так как все три его стороны имеют одинаковую длину. Логично посмотреть, что и медиана в нем какая-то ополичная?! Да, так оно и есть.

Медиана в равностороннем треугольнике — это и высота, и биссектриса.

Если не известно, высотой в треугольнике намеризок отрезок, корой опустошения кто из вришины перпендикулярно, то есть по приспособленным углам к осонанию. Биссектриса – это прямая, выходящая из вершины треугольника и делящая его угол ровно пополам.

И напоследок еще одна «рыбка» равностороннего треугольника. У него все три медианы по структуре.
Кстати, посмотрите на картинку. Внутренние малые треугольники образуются с помощью медиан в любом треугольнике. Так, в равносторонней фигуре они равны друг другу и по длине, и по площади.

Медиана прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол равен 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже имеет уникальные свойства.

Но речь идет только о медиане, выходящей из прямого угла. Значит, его длина равна половине длины гипотенузы. Так называется самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

Соответственно, при обнаружении тажды правдиво будет и образнее содинение. Итак, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело заключить, что перед нами прямоугольный треугольник.

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиана соответственно тоже три. Все они охватываются одной концентрацией (О), которую называют центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в соотношении 2:1, считая сверху. Т.е.:

• АО = 2ОЕ
• БО = 2ОФ
• СО = 2OD

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равных треугольника.

С1 = С2

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

С1 = С2 = С3 = С4 = С5 = С6

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

• AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая сторона.
• AB – самая короткая строна, следовательно, mediana CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, обнаружены все страны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы, проведенной к стороне а, можно найти по формуле:

Примеры задач

задание 1
Площадь одной из фигур, образованных в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равна 5 см2. Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуется 6 равных по площади треугольников. Следовательно:
S△ = 5 см2 ⋅ 6 = 30 см2.

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Формулы и соотношения связанные с медианой

Пересечение медиан треугольника

Теорема 1

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1 от вершин.

Доказательство:

Построим медианы AD и CM треугольника ABC, пересекающиеся в точке О.

Найдем середины отрезков L и H ОА и ОС и рассмотрим четырехугольник DHLM.

Его стороны MD и HL параллельны и равны средним линиям ΔABC и ΔAOC с общей стороной AC.

Отсюда делаем вывод, что DHLM — параллелограмм.

Так как точка пересечения делит диагонали параллелограмма пополам, то OD = OL.

L — медреста отрезка ОА ⇒ AL = LO = OD. Итак, АО:ОД = 2:1. Также СО:ОМ = 2:1.

Остается доказать, что третья медиана BK проходит через точку О.

Пусть медианы BK и AD пересекаются в точке O1. Тогда согласно доказательству AO1_O1D=2:1.

Читая, что AO_OD=2:1, заключаем, что точки O1 и О делят отрезок AD в одном и том же отношении.

А это значит, что точка O1 совпадает с точкой О.

Из этого можно заказать фильмовые виды: медиана BK продавать через конец О пересециировании медиан AD и CM.

Теорема о трех медианах и шести равновеликих треугольниках

Теорема 2

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят его на 6 равновеликих треугольников.

Доказательство:

Докажем, что S▵AOM=S▵MOB=S▵BOD=S▵DOC=S▵COK=S▵KOA

1. Построены меди ΔABS.
2. Из вершины В опускаем перпендикуляр ВР к медиане AD и считаем ΔBDO. S▵BOD=½OD·BP,OD=13AD по связке срединного треугольника ⇒ S▵BOD=12·13AD·BP.
3. На следующем шаге рассмотрим ΔABD. S▵ABD=½AD·BP.
4. Из пунктов 2 и 3 следует, что S▵BOD=13S▵ABD.
5. AD — медиана ΔABC, ⇒ S▵ABD=S▵ADC,а S▵ABC=S▵ABD+S▵ADC=2S▵ABD,а S▵ABD=½S▵ABC.
6. Из двух предыдущих пунктов следует, что S▵BOD=16S▵ABC.
7. Аналогично проходимся, что S▵COD=16S▵ABC, S▵COK=16S▵ABC, S▵KOA=16S▵ABC, S▵AOM=16S▵ABC, S▵MOB=16S▵ABC.

Пример нахождения и построения медианы

Чтобы узнать длину медианы, нужно знать:

• длина всех сторон треугольника;
• либо по периметру, либо по двум сторонам.

Задача

Дан ΔABC с известными сторонами АВ=9 см, СВ=8 см, АС=13 см. Необходимо вычислить длину медианы, построенной по наибольшей стороне.

Решение: чтобы найти длину медианы, используйте дополнительные построения. Продлим медиану BO ΔABC и построим параллелограмм. Отрезок BO равен ½ диагонали полученного параллелограмма. По теореме о диагоналях параллелограмма сумма квадратов его диагоналей вдвое больше суммы квадратов его сторон.

2(а2+b2)=d12+d22;

2(82+92)+132+х2;

290=169+х2;

х2=121;

х=11.

Медиана равна половине найденной диагонали, 11_2=5,5 (см).

Ответ: 5,5 см.