Метод Гаусса — примеры c решением, теоремы и формулы

Вычисления
Содержание
  1. Определения и обозначения
  2. Метод Гаусса — что это такое?
  3. Что значит решить методом Гаусса?
  4. Матрицы, их свойства
  5. Простейшие преобразования элементов матрицы
  6. Алгоритм решения методом Гаусса пошагово
  7. Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы
  8. Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю
  9. Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду
  10. Шаг 4. Записываем эквивалентную систему
  11. Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)
  12. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений
  13. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений
  14. Примеры решения методом Гаусса
  15. Преимущества и недостатки метода

Определения и обозначения

Как уже было сказано, метод Гаусса вызывает у учащихся определенные трудности. Но если вы изучите метод и алгоритм решения, то сразу поймете сложность решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Примечание!

СЛАУ в зависимости от элементов может иметь:

  1. решение;
  2. множество решений;
  3. вообще не имеют решений.

В первых двух случаях СЛАУ называют совместимой, а в третьем — несовместимой. Если система имеет одно решение, она называется детерминированной, а если существует более одного решения, то система называется неопределенной.

Метод Крамера и матричный метод не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное число решений. Поэтому нам нужен метод Гаусса, который в любом случае поможет найти правильное решение. Элементарные преобразования:

  • изменение расположения уравнений системы;
  • почленное умножение обеих частей одного из уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
  • сложение обеих частей одного уравнения с некоторыми частями другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, мы можем перейти к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

где a, c, c — заданные коэффициенты, d — заданные свободные члены, x, y, z — неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно назвать его элементами.

Если = = = , то система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Множественные , , называются решениями СЛАУ, если замена , , в СЛАУ приводит к числовым тождествам.

Система, которую мы написали выше, имеет координатный вид. Если преобразовать в матричную форму, система будет выглядеть так:

– основная матрица СЛАУ.

– столбец матрицы с неизвестными переменными.

– столбец матрицы со свободными членами.

Если мы добавим столбец матрицы свободных членов в качестве -го столбца к основной матрице, мы получим расширенную матрицу систем линейных уравнений. Как правило, развернутая матрица обозначается буквой , а столбец со свободными членами желательно отделять вертикальной чертой от остальных столбцов. То есть развернутая матрица выглядит так:

Если квадратная матрица равна нулю, то она называется вырожденной, а если невырожденной.

Примечание!

Если с системой уравнений:

Выполните следующие действия:

  • умножить обе части одного из уравнений на произвольное и ненулевое число ;
  • переключающие уравнения;
  • к обеим частям одного из уравнений добавить определенные части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число ,

тогда мы получим эквивалентную систему, которая имеет такое же решение или вообще не имеет решений.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Читайте также: Почему корни квадратного уравнения называют корнями, а ветви параболы ветвями

Метод Гаусса — что это такое?

Определение 1

Метод Гаусса — это метод, используемый для решения систем линейных алгебраических уравнений и имеющий следующие преимущества:

  • нет необходимости проверять систему уравнений на совместимость;
  • можно решать системы уравнений где:
  • количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
  • количество определителей не соответствует количеству неизвестных переменных;
  • определитель равен нулю.
  • результат получается при относительно небольшом количестве вычислительных операций.

Что значит решить методом Гаусса?

Сначала нам нужно записать нашу систему уравнений в виде матрицы. Это выглядит так. Система взята:

система линейных уравнений

Коэффициенты записываются в виде таблицы, а справа в отдельной колонке — свободные члены. Для простоты столбец со свободными элементами отделяется вертикальной чертой. Матрица, включающая этот столбец, называется расширенной.

основная и расширенная системные матрицы

Кроме того, основная матрица коэффициентов должна быть приведена к верхнетреугольному виду. В этом суть решения системы методом Гаусса. Проще говоря, после определенных манипуляций матрица должна выглядеть так, чтобы в левой нижней части были только нули:

ступенчатая матрица

Затем, если вы снова запишете новую матрицу в виде системы уравнений, то заметите, что последняя строка уже содержит значение одного из корней, которое затем подставляется в уравнение выше, находится другой корень и так далее.

Это описание решения методом Гаусса в самых общих чертах. А что произойдет, если система вдруг не будет иметь решения? Или их бесконечно много? Чтобы ответить на эти и многие другие вопросы, необходимо рассмотреть отдельно все элементы, используемые при решении метода Гаусса.

Матрицы, их свойства

В матрице нет скрытого смысла. Это просто удобный способ записи данных для последующих операций. Их не стоит бояться даже школьникам.

Матрица всегда прямоугольная, потому что она более практичная. Даже в методе Гаусса, где все сводится к построению треугольной матрицы, в записи появляется прямоугольник, только с нулями в том месте, где нет чисел. Нули можно не указывать, но они подразумеваются.

Матрица имеет размер. Его «ширина» — это количество строк (m), его «длина» — это количество столбцов (n). Тогда размер матрицы A (для их обозначения обычно используются заглавные латинские буквы) будем обозначать как Am × n.Если m=n, то эта матрица квадратная, а m=n — ее порядок. Соответственно любой элемент матрицы А можно обозначить номером его строки и столбца: ось; x — номер строки, 1, m изменений, y — номер столбца, 1, n изменений.

В методе Гаусса матрицы не являются основной точкой решения. В принципе, все операции можно производить и непосредственно с самими уравнениями, но обозначения при этом получатся гораздо более громоздкими, и запутаться в них будет гораздо проще.

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, как метод Гаусса поможет нам решить систему. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмем самое распространенное уравнение, где используем решение по методу Гаусса:

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Эта матрица показывает, как она была написана. Вертикальную линию ставить не обязательно, просто так удобнее решать систему.

Матрица системы — это матрица, составленная исключительно с коэффициентами при неизвестных. Что же касается расширенной матрицы системы, то это такая матрица, где помимо коэффициентов записаны еще и свободные члены. Любой из этих массивов называется просто массивом.

На написанной выше матрице рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. Строки в матрице можно переставлять местами. Например, в нашей матрице можно легко переставить местами первую и вторую строки:.

2. Если в матрице есть (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), необходимо оставить только одну строку, а остальные удалить (удалить).

3. Если при преобразованиях в матрице появилась строка, где одни нули, такую ​​строку также необходимо удалить.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, кроме нуля. Такое действие желательно выполнить, так как в дальнейшем матрицу будет легче трансформировать.

5. Теперь давайте посмотрим на преобразование, которое больше всего вызывает трудности у учащихся. Для этого возьмем нашу исходную матрицу:

Для простоты умножим первую строку на (-3):

Теперь ко второй строке добавляем первую строку, которая была умножена на -3. Вот что мы получаем:

Результатом является это преобразование:

Теперь для проверки можно разделить сразу все коэффициенты первой строки, вот что получится:

В матрице верхняя строка преобразуется:

Делим первую строку на и трансформируем нижнюю строку:

И верхний ряд был разделен таким же числом :

Как видите, строка, которую мы добавили, не изменилась в конце, но другая строка изменилась. ВСЕГДА изменяет только строку, к которой добавляются коэффициенты.

Мы так подробно расписали, что вам понятно, откуда взялась фигура. На практике, например во время зачета или экзамена, матрица не пишется так подробно. Как правило, в задаче решение матрицы формулируется следующим образом:.

Примечание! Если в примере есть десятичные дроби, то в этом случае метод Гаусса также поможет решить систему линейных алгебраических уравнений. Но не забывайте, что приблизительных расчетов следует избегать, так как ответ будет неверным. Лучше всего использовать десятичные дроби, а от них переходить к правильным дробям.

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, где на помощь пришел метод Гаусса, можно вернуться к нашей системе, которую мы уже разобрали и пошагово описали:

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Запишем матрицу:

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы обнулили вторую строку первого столбца, описано выше. Помните, что первая строка была умножена на , а вторая строка была добавлена ​​к первой, умноженной на .

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно разделить на 2 и получается:

Разделим верхнюю строку на и приведем матрицу к ступенчатому виду:

Метод Гаусса

Рисуя задание, обводят его простым карандашом для упрощения работы, а также обводят цифры, которые стоят на «шагах». Хотя в учебниках и прочей литературе нет такого понятия, как пошаговый просмотр. Как правило, математики называют такой тип трапецеидальным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований мы получаем эквивалентную систему:

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, т.е в обратном направлении, от последней строки.:

Как видите, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица возникает при . Проанализируем систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений столько, сколько неизвестных. Решим эту систему уравнений по-другому.

Дана система уравнений:

Сначала необходимо решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной. Затем подставляем полученное выражение сначала во второе уравнение, а потом в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно и подставляем результат, полученный в третье уравнение.. Это необходимо для исключения неизвестной переменной :

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что . Из второго уравнения находим . И, наконец, находим первое уравнение .

Итак, мы нашли все три неизвестных методом последовательного исключения. Такой процесс называется прямой прогрессией метода Гаусса. Когда неизвестные переменные находятся последовательно, из последнего уравнения, это называется обратным методом Гаусса.

Выражая через и в первое уравнение, а затем подставляя полученное выражение во второе или третье уравнение, необходимо сделать следующее, чтобы получить тот же результат:

  • возьмем второе уравнение и прибавим к левой и правой частям некоторые части из первого уравнения, которые умножаются на ,
  • берем третье уравнение и прибавляем к левой и правой частям некоторые части из первого уравнения, которые умножаются на .

Фактически благодаря этой процедуре у нас есть возможность исключить неизвестную переменную из второго и третьего уравнений системы:

Нюансы возникают при исключении неизвестных переменных, когда в уравнении системы нет неизвестных переменных. Рассмотрим эту систему:

В этой системе в первом уравнении нет переменной, и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение в системе относительно , ​​чтобы исключить эту переменную из остальных уравнений. В этом случае есть выход. Вам просто нужно переставить уравнения.

Поскольку мы описываем уравнения системы, где определитель главных матриц отличен от нуля, всегда найдется уравнение, где есть нужная нам переменная, и мы можем поставить это уравнение там, где оно нам нужно.

В рассматриваемом нами примере достаточно просто поменять местами первое и второе уравнения.

Теперь можно смело решать первое уравнение относительно переменной и удалять (исключать) из остальных уравнений системы. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, где главная матрица прямоугольная или квадратная, но вырожденная главная матрица может вообще не иметь решений, иметь бесконечное число решений или только одно решение.

Рассмотрим, как устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса. Если есть совместимость, мы определим все решения или одно решение.

В принципе, вы можете исключить неизвестные переменные точно так же, как описано выше. Однако есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть при решении:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут превратиться в тождества. В этом случае такие уравнения избыточны в системе, и их можно смело удалить полностью, а затем перейти к решению уравнения методом Гаусса.

Например, вы столкнулись с похожей системой:

У нас такая ситуация

Как видите, второе уравнение Следовательно, это уравнение можно удалить из системы, так как оно ненужное.

Затем можно переходить к решению системы линейных алгебраических уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым способом методом Гаусса не только одно, но и несколько уравнений могут иметь следующий вид: , где — число, отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не может превратиться в тождество даже при некоторых значениях неизвестных переменных. То есть можно выразить иначе. Если уравнение приняло вид, то система несовместна, то есть не имеет решений. Давайте посмотрим на пример:

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную из всех уравнений этой системы, начиная со второго уравнения. Для этого к левой и правой частям второго, третьего, четвертого уравнения прибавляем части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно умножаются на (-1), (-2), (- 3) . Оказывается:

Третье уравнение оказалось аналогичным. Она не подходит ни для каких значений неизвестных переменных, а значит, эта система не имеет решений. То есть говорят, что система не имеет решений.

3. Предположим, что при выполнении продвижения вперед методом Гаусса нам необходимо исключить неизвестную переменную, а ранее, в какой-то момент, мы уже исключили вместе с переменной . Как бы вы поступили в таком случае? В этой ситуации нам нужно перейти к исключению переменной. Если уже исключено, перейдите к и т д

Рассмотрим систему уравнений на этапе, когда переменная уже исключена :

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Вы, наверное, уже заметили это вместе с и были исключены. Поэтому продолжим решение методом Гаусса, исключив переменную из всех уравнений системы, и начнем с третьего уравнения:

Для завершения уравнения по методу Гаусса необходимо исключить из последнего уравнения последнюю неизвестную переменную:

Пусть система уравнений будет:

В этой системе ни одно уравнение не будет приведено к . В этом случае можно говорить о несовместимости системы. Не уверенны что делать дальше? Всегда есть выход. Во-первых, вы должны распечатать все неизвестные, которые идут первыми в системе:

Система уравнений

В нашем примере это , и . В левой части системы оставляем только неизвестные, которые выделены зеленым квадратиком, а в правую часть переносим известные числа, но с обратным знаком. Посмотрите пример того, как это выглядит:

Неизвестным переменным в правой части уравнений можно присвоить свободные (произвольные) значения: , , , где , , – произвольные числа.

Теперь в правильных частях уравнений нашей системы стоят числа, и мы можем перейти к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: , и теперь легко находим решение в предпоследнем уравнении: , а из первого уравнения получаем:

= =

В итоге получился результат, который можно записать.

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно описали решение системы методом Гаусса. Для закрепления материала решим несколько примеров, где нам снова поможет метод Гаусса. Итак, начнем с самой простой системы.

Пример 1

Задача

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение

Печатаем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Первым делом смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности отметим число зеленым квадратиком. В этом месте почти всегда есть устройство:

Метод Гаусса

Так как нам нужно применить соответствующее преобразование элементарной строки и сделать так, чтобы элемент, находящийся в массиве под выделенной цифрой, стал . Для этого можно сложить первую строку со второй строкой и умножить. Но мне не очень хочется работать с дробями, поэтому постараемся этого избежать. Для этого необходимо умножить вторую строку на (разрешенный элемент на этом шаге).

Метод Гаусса

Соответственно первая строка останется без изменений, а вторая изменится:

Выбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке образовался первый столбец. Для этого первую строку нужно умножить на и только после этого ко второй строке добавить измененную после умножения на вторую строку. Вот что произошло:

. Теперь мы добавляем первую строку из второй строки. Получили то, что пишем во второй строчке в первом столбце. Также решаем остальные элементы матрицы. Вот что мы получили:

Как всегда у нас первая строка без изменений, а вторая с новыми цифрами.

Итак, у нас есть ступенчатая матрица:

Гауссовы системы

Запишем новую систему уравнений:

Для проверки решим систему в обратном порядке. Для этого сначала находим :

Поскольку найдено, мы находим :

.

Подставляем найденное и в нашу исходную систему уравнений :

и .

Как видно из решения, система уравнений решена правильно. Запишем ответ.

Отвечать

Выше мы решали систему уравнений с двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Пример 2

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Создаем матрицу, куда вносим свободные члены:

Что нам нужно? Чтобы вместо цифры 2 отображалось 0. Для этого выберите ближайшую цифру. Например, можно взять число -2 и умножить на него все элементы первой строки. Итак, мы умножаем и добавляем, используя вторую строку: . В итоге у нас получился ноль, который и записываем во вторую строку первого столбца. Тогда и. Соответственно и . И умножаем свободное время. Итак, напишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остается неизменной:

Затем нужно проделать те же действия по отношению к третьей линии. То есть первую строку нужно умножать не на (-2), а на число 3, так как в третьей строке необходимо привести коэффициенты к нулю. Также умножаем первую строку на 3 и прибавляем третью строку. Это будет так:

Теперь нужно обнулить элемент 7, который находится в третьей строке второго столбца. Для этого выберите цифру (-7) и проделайте те же действия. Однако вы должны использовать вторую строку. То есть умножаем вторую строку на (-7) и складываем вместе с третьей строкой. Так, . Записываем результат в третью строку. То же самое делаем с остальными элементами. В результате получается новая матрица:

В результате получается пошаговая система уравнений:

Сначала находим : ,.

Обратный ход:

Значит, уравнение системы решено правильно.

Отвечать
Пример 3

Система с четырьмя неизвестными сложнее, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую ​​систему уравнений.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

В уравнении то есть — старший член и пусть ≠ 0

Из этого уравнения составим расширенную матрицу:

Теперь вы должны умножить последние три строки (вторую, третью и четвертую) на: , , . Затем добавляем результат во вторую, третью и четвертую строки, исключая переменную из каждой строки, начиная не с первой, не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и теперь она равна 0.

Поменяем местами вторую и третью строки и получим:

Получилось, что = b и затем умножив вторую строку на (-7/4) и результат этой строки, добавив четвертую, можно исключить переменную из третьей и четвертой строк:

Результирующая матрица:

Учитывая, что = , умножаем третью строку на: 13,5/8 = 27/16, а результат прибавляем к четвертой, чтобы исключить переменную и получить новую систему уравнений:

Теперь надо решить уравнение в обратном порядке и найти из последнего, четвертого уравнения ,

с третьего: = = =

находим второе уравнение: = = = 2,

из первого уравнения: = .

Таким образом, решение системы: (1, 2, -1, -2).

Добавим еще несколько примеров для закрепления материала, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Пример 4

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Запишем расширенную матрицу системы:

Сначала посмотрите на число в левом верхнем углу:

Метод Гаусса

Как было сказано выше, это место должно быть одно, но не обязательно. Выполняем следующие действия: умножаем первую строку на -3, а затем прибавляем первую ко второй строке:

Выполняем следующие действия: первая строка умножается на -1. Затем добавляем вторую строку к третьей:

Теперь умножаем вторую строку на 1, затем прибавляем вторую к третьей строке:

Результатом является ступенчатая форма уравнения:

Преимущества и недостатки метода

Если выбирать, каким методом решать СЛАУ на бумаге ручкой, то метод, рассмотренный в данной статье, выглядит наиболее привлекательным. В элементарных преобразованиях запутаться гораздо сложнее, чем если приходится вручную искать определитель или сложную обратную матрицу. Но если использовать программы для работы с данными такого типа, например, электронные таблицы, то оказывается, что такие программы уже содержат алгоритмы вычисления основных параметров матриц — определителя, минора, обратной и транспонированной матриц и так далее. А если вы уверены, что машина вычислит эти значения сама и не ошибется, то правильнее использовать матричный метод или формулы Крамера, потому что их применение начинается и заканчивается вычислением определителей и обратных матрицы.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word