Модуль числа, определение и свойства

Абсолютная величина (модуль) действительного числа

Определение. Абсолютное значение (модуль) действительного числа a является неотрицательным числом | а | , который определяется по формуле:

Например,

| 5 | = 5, | – 2 | = 2,
| 0 | = 0.

Определение модуля числа

Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль числа в математике — это расстояние от начала координат до точки на координатной прямой, соответствующей этому числу.

Если взять число «а» и изобразить его на координатной прямой точкой А — расстоянием от точки А до начала координат (то есть до нуля), то длину отрезка ОА назовем модулем числа «а».

Символ модуля: |a| = ОА

Давайте посмотрим на пример:

Точка B, соответствующая числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала координат). Следовательно, длина отрезка ОВ равна 3 единицам.

Число 3 (длина отрезка OB) называется модулем числа −3.

Обозначение модуля: |−3| = 3 (читай: «модуль числа минус три равен трем»).

Точка C, соответствующая числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала координат, то есть длина отрезка OS равна четырем единицам.

Число 4 называется модулем числа +4 и обозначается следующим образом: |+4| = 4.

Вы также можете опустить плюс и записать значение как |4| = 4.

Читайте также: Объем цилиндра: как найти по формуле

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. В каком бы классе ни учился ваш ребенок, эти правила всегда пригодятся.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Следовательно, модуль числа не может быть отрицательным:

• |а| > 0

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

• |а| = а, если а > 0

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

• |−а| = а

4. Модуль нуля равен нулю.

• |0| = 0, если а = 0

5. Противоположные числа имеют равные модули.

• |−а| = |а| = а

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

• |аб| = |а| |б| когда

аб = 0

или

−(ab), когда ab < 0

7. Модуль частного равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя:

Свойство 1

Модуль числа — это расстояние, которое не может быть отрицательным. Следовательно, модуль не может быть меньше нуля.

|а| ≥ 0

Свойство 2

Модуль положительного числа равен этому же числу.

|а| = а, при а > 0

Свойство 3

Модуль отрицательного числа равен тому же числу, но с обратным знаком.

|-а| = а, при а < 0

Свойство 4

Абсолютное значение нуля равно нулю.

|а| = 0, для а = 0

Свойство 5

Модули с противоположными номерами равны друг другу.

|-а| = |а| = а

Свойство 6

Абсолютное значение a равно квадратному корню из a2.

Свойство 7

Модуль произведения равен произведению модулей чисел.

|аб| = |а| ⋅ |б|

Свойство 8

Модуль частного равен делению одного модуля на другой.

|а :б| = |а| : |б|

Геометрическая интерпретация модуля

Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до заданного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.

Нарисуем числовую линию и покажем на ней.

Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте посмотрим на примеры.

Решим уравнение: |x| = 5.

Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, где расстояние до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.

Если у нас есть два числа a и b, то их разность равна |a — b| равно расстоянию между ними по числовой прямой или длине отрезка АВ.

Расстояние от точки а до точки b равно расстоянию от точки b до точки а, тогда |a — b| = |б — а|.

Решим уравнение: |a — 3| = 4. Запись звучит так: расстояние от точки а до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Уравнение имеет два решения: -1 и 7. Мы вычли из 3 4 — и это один ответ, а также прибавили 4 к 3 — и это второй ответ.

Решим неравенство: |a + 7| < 4.

Читаем эту запись так: расстояние от точки a до точки −7 меньше четырех. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию:

Ответ в этом случае будет: (−11; −3).

Решим неравенство: |10 − x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.

Ответ: (−∞; 3 17, +∞).

График функции

График функции y = |х|.

При х > 0 имеем у = х.

При x < 0 имеем y = −x. В результате получаем:

Этот график можно использовать для решения уравнений и неравенств.

Графики уравнений, содержащих знак модуля

Разделы: Математика

Цель:

• закрепить способы построения графика линейной функции,
• закрепить умение учащихся составлять уравнение с функцией, заданной с помощью графика,
• познакомить учащихся с тем, как влияет знак модуля на отображение графика линейной функции

При решении многих математических задач необходимо быстро и точно строить графики всех функций, изучаемых в школьном курсе алгебры. Поскольку в уроке много построений, начнем с того, что вспомним, как построить линейную функцию y = kx + b на основе анализа наклона и коэффициента асимметрии (слайд 2)

Сравниваем уравнения и графики (слайд 3):

Построим графики функций в тетрадях в одной системе координат (у = -х; у = -х -4; у = -1/3 х — 2; у = 2х + 5; у = х + 1), и проверим даже со слайдом 4

Вспомнить определение модуля числа х (слайд 5)

Подумайте, как можно построить график функции y = |x| исходя из определения модуля отбросить части прямых, не лежащие в полуплоскости х 0 (слайд 6)

Аналогично рассматривается способ построения графика функции y = |x + 1| (слайд 7)

Сравнение графиков и уравнений функций (слайд 8-9),

мы заканчиваем тем, как можно построить график функции y = |x + a| — b смещение графика функции y = |x| (слайд 10-11)

Построим графики для функций y = |x-3| + 3, у = |х – 3| — 2, у = |х+2| — 5, у = |х + 3| + 2 и проверьте себя слайдом 12

Затем, исходя из рисунка, представленного на слайде 13, учащиеся должны установить функцию для уравнения:

При построении графиков очень важно научить детей анализировать область определения и множество значений функции и «переносить» эти множества на координатную плоскость.

Заполните таблицу (слайд 12):

Д(г)	Е(у)
у = |х|
у = |х – 3|
у = |х – 3| +2
у=-|х|
у = |х + 2| -5
у=-|х+2| -5

И рассмотрим, как можно определить наборы значений на основе графиков (слайд 15)

Учащимся предлагается определить Д(у) и Е(у) по рисунку (слайд 16):

Учащиеся самостоятельно составляют уравнение функции при заданных D(y) и E(y) (слайд 17):

Анализируя графики и уравнения (слайд 18), учащиеся делают вывод о том, как влияет на график знак минус перед модульными скобками. И самостоятельно составляют уравнение по графикам, представленным на слайде 19.

Сформулируем уравнения функций устно по графикам (слайд 20):

Как и в предыдущем уроке (слайды 21-27), учащиеся знакомятся с тем, как коэффициент перед аргументом функции влияет на график. В результате они должны научиться описывать уравнением следующие графики:

Для закрепления полученных знаний в тетрадях в одной системе координат ребята строят следующие графики:

Корень из квадрата

На тесте или экзамене может возникнуть проблема, когда вам нужно вычислить √a2, где a — число или выражение.
Кроме того, √a2= |a|.

По определению арифметического квадратного корня, √a2 — это неотрицательное число, квадрат которого равен a2 .

Оно равно a при a > 0 и −a при a < 0, т е только |a|.

Модуль рационального числа

Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала координат до точки на координатной прямой, которая соответствует этому числу.

Модуль рациональных чисел, примеры:

|-3,5| = 3,5

|2.27| = 2,27

Простейшее уравнение с модулем

Рассмотрим простейшее уравнение с модулем, которое имеет вид:

| е (х) | = г(х) .

Потому что

то это уравнение эквивалентно комбинации двух систем:

Для решения исходного уравнения остается только решить эти две системы и объединить полученные ответы.

Комментарий. Аналогично проводится решение неравенств с модулями.