Модуль комплексного числа z: определение, свойства

Определение комплексного числа.

Комплексные числа — это пары ((x,y)) действительных (вещественных) чисел (x) и (y), для которых понятие равенства и операции сложения и умножения определяются следующим образом.
Обозначим комплексное число ((x,y)) буквой (z), т е положим (z=(x,y)). Пусть (z_1=(x_1,y_1)),(z_2=(x_2,y_2)). Два комплексных числа (z_1) и (z_2) считаются равными тогда и только тогда, когда (x_1=x_2) и (y_1=y_2), т.е

{(x_1,y_1) = (x_2,y_2)}Стрелка влево {x_1=x_2} клин {y_1 = y_2}.nonumber

Сумма и произведение комплексных чисел (z_1) и (z_2) обозначаются (z_1+z_2) и (z_1z_2) соответственно и определяются по формулам

z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2),метка{ref1}

z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1).label{ref2}

Формулы eqref{ref1} и eqref{ref2} предполагают отношения

(x_1,0) + (x_2,0) = (x_1+x_2,0),qquad (x_1,0)(x_2,0) = (x_1x_2,0),номер

из которого видно, что операции над комплексными числами вида ((x, 0)) совпадают с операциями над действительными числами. Поэтому комплексное число вида ((х, 0)) отождествляется с действительным числом (х), т е полагается ((х, 0) = х).

Среди комплексных чисел особую роль играет число ((0,1)), которое называется мнимой единицей и обозначается (i), т.е

я = (0,1).число

Вычисляя произведение (i) на (i) по формуле eqref{ref2}, получаем

icdot i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1,номер

то есть (я^2 = -1). По формулам eqref{ref1}, eqref{ref2} находим

icdot y = (0,1)(y,0) = (0,y),qquad (x,y) = (x, 0) + (0,y) = x + iy.nonumber

Следовательно, любое комплексное число (z=(x,y)) можно записать как (x + iy), т.е

z = x + iy.label{ref3}

запись комплексного числа (z = (x,y)) в виде eqref{ref3} называется алгебраической формой комплексного числа.

В обозначении eqref{ref3} число (x) называется действительной частью комплексного числа и обозначается (Rez), а число (y) называется мнимой частью и обозначается (Im z), т.е

Rez = x,quad Imz = y. Число

Если (x = 0), т е. (z = iy), такое комплексное число называется чисто мнимым.

Здесь и далее, если не оговорено противное, в обозначениях (x+iy) числа (x) и (y) предполагаются действительными (вещественными).

Число (displaystylesqrt{x^2+y^2}) обозначается (|z|) и называется модулем комплексного числа (z), т.е

|z|=|x + iy|=sqrt{x^2+y^2}.label{ref4}

Обратите внимание, что (|z|geq 0) и ({|z| = 0}Leftrightarrow {z=0}).

Комплексное число (x-iy) называется сопряженным комплексному числу (z = x + iy) и обозначается (overline{z}), т.е

overline{z} = overline{x+iy}= x-iy.label{ref5}

Из сходства eqref{ref4} и eqref{ref5} следует, что

|г| = |overline{z}|,qquad zoverline{z}=|z|^2,label{ref6}

так как (ztopline{z}=(x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2).

Читайте также: Средняя линия четырехугольника

Свойства операций.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами:

1. коммутативность, т

   z_1+z_2=z_2+z_1,qquad z_1z_2=z_2z_1;номер

2. ассоциация, то есть

   (z_1+z_2)+z_3= z_1 + (z_2+z_3),qquad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3);номер

3. распространение, то есть

   z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2+z_1z_3.номер

Эти свойства следуют из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций над действительными числами.

Из этих свойств следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно производить по правилам действия с многочленами, заменяя (i) на (-1). Например, равенство eqref{ref2} можно получить так:

z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)==x_1 x_2+i x_1 y_2+ix_2 y_1+i^2 y_1 y_2=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1 y_2+x_2 число).no y_2

Набор комплексных чисел обозначается (mathbb{C}). Числа (0= 0 + 0cdot i) и (1 = 1 + 0cdot i) на множестве (mathbb{C}) обладают теми же свойствами, что и на множестве (mathbb {R}), а именно для всех (z i mathbb{C}) равенств

z+ 0 = z,qquad zcdot 1 = z.nonumber

На множестве (mathbb{C}) вычитание вводится как действие, обратное сложению. Для всех комплексных чисел (z_1=_1+iy_1) и (z_2 = x_2 + iy_2) существует и только одно число (z) такое, что

z+z_2=z_1.label{ref7}

Это число называется разностью между числами (z_1) и (z_2) и обозначается (z_1-z_2). В частности, разность (0-z) обозначается через (-z).

Из уравнения eqref{ref7} в силу правила равенства и определения суммы комплексных чисел следует, что

z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2).номер

Деление на множестве (mathbb{C}) вводится как операция, обратная умножению, и частное от деления комплексного числа (z_1=_1+iy_1) на число (z_2 = x_2 + iy_2) есть такое число (z), которое удовлетворяет уравнению

zz_2=z_1метка{ref8}

и обозначается (z_1:z_2) или (displaystyle frac{z_1}{z_2}).

Докажем, что уравнение eqref{ref8} для всех комплексных чисел (z_1) и (z_2), где (z_2neq 0), имеет единственный корень.

(circ) Умножая обе части уравнения eqref{ref8} на (overline{z}_2), мы получаем уравнение

z|z_2|^2 = z_1topline{z}_2,label{ref9}

что соответствует уравнению eqref{ref8}, поскольку (overline{z}_2neq 0).

Умножив обе части eqref{ref9} на (displaystylefrac{1}{|z_2|^2}), мы получим (z=displaystylefrac{z_1overline{z}_2} {| z_2|^2}), то есть

frac{z_1}{z_2}=frac{z_1overline{z}_2}{|z_2|^2},nonumber

или

frac{z_1}{z_2}=frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{x_2^2+y_2^2}=frac{x_1x_2 +y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ifrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}. bulletnonumber

Заучивать эту формулу не нужно – важно знать, что она получается путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пример 1

Найдите частное (displaystyle frac{z_1}{z_2}), если (z_1=5-2i, z_2=3 + 4i).

Решение.

треугольникчетверка frac{z_1}{z_2}=frac{(5-2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=frac{15-26i+8i^2 {25}=frac7{25}-frac{26}{25}i. blacktrianglenonumber

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексная плоскость.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число (z=x+iy) представляется точкой на плоскости с координатами ((x,y)), и эта точка обозначается той же буквой (z).

Такое соответствие между множеством (mathbb{C}) и точками на плоскости взаимно однозначно: каждому числу (zinmathbb{C}) соответствует одна точка на плоскости с координаты ((x ,y)), и наоборот, каждой точке плоскости с координатами ((x,y)) соответствует одно комплексное число (z=x+iy). Поэтому слова «комплексное число» и «точка на плоскости» часто используются как синонимы.

При этом вещественные числа, т е числа вида (x+0cdot i), изображаются точками на оси абсцисс, а чисто мнимые числа, т.е числа вида (iy = 0 + iy) — по точкам на оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат — мнимой осью. Плоскость, на которой рисуются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Рис. 31.1

На рис. 31.1 показаны точки (z, -z, overline{z}, -overline{z}). Обратите внимание, что точки (z) и (-z) симметричны относительно точки (O), а точки (z) и (overline{z}) симметричны относительно вещественной ось.

Геометрический смысл модуля комплексного числа.

Комплексное число (z=x+iy) можно представить в виде вектора, начинающегося в точке (O) и заканчивающегося в точке (z). Этот вектор будем обозначать той же буквой (z). Из рис. 31.1 или из формулы eqref{ref4} видно, что длина вектора (z) равна (|z|) и выполняются неравенства (|x|leq |z|, | y|leq|z|), т.е

|Re z|leq |z|,quad |Im z|leq |z|.nonumber

Рис. 31.2 Рис. 31.3

Используя векторную интерпретацию, сумма и разность комплексных чисел наглядно иллюстрируются. Число (z_1+z_2) представляется вектором, построенным по правилу сложения векторов (z_1) и (z_2), а вектор (z_1-z_2) может быть построен как сумма векторов (z_1) и (-z_2). Из рис. 31.2 видно, что расстояние между точками (z_1) и (z_2) равно длине вектора (z_1-z_2), то есть равно (|z_1- z_2|). Это же утверждение следует из равенства

|z_1-z_2|=sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.номер

Итак, (|z_1-z_2|) — это расстояние между точками (z_1) и (z_2).

Пример 2

Дайте геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

1. (|z-z_0| = R, R > 0);
2. (1 < |z-1| < 2);
3. (|zi| = |z + i|).

Решение.

1. (треугольник) Условию (z-z_0=R), где (R > 0), (z_0) — заданное комплексное число, удовлетворяют все точки, расстояние до которых точка (z_0) равна (R), то есть точкам, лежащим на окружности радиусом (R) с центром в точке (z_0).
2. Условию (|z-1| < 2) удовлетворяют все точки, лежащие внутри окружности радиусом 2 с центром в точке (z = 1), а условию (|z-1| > 1 ) выполняется для точек, лежащих вне круга радиуса 1 с центром в точке (z = 1).
   Оба этих условия выполняются для точек, лежащих между окружностями (|z-1| = 1) и (|z-1| = 2) (рис. 31.3).
3. Условию (|zi| = |z + i|) удовлетворяют те и только те точки, которые равноудалены от точек (i) и (-i), т е все точки вещественной оси . (черный треугольник)

Покажем, что для всех комплексных чисел (z_1) и (z_2) выполняются неравенства

||z_1|-|z_2||leq |z_1+z_2|leq |z_1|+|z_2|.label{ref10}

(circle) Рассмотрим треугольник с вершинами (0,z_1) и (z_1+z_2) (рис. 31.2). Длина сторон равна (|z_1|, |z_2|) и (|z_1+z_2|). Следовательно, неравенства eqref{ref10} выражают известные из геометрии свойства длин сторон треугольника. (мяч)

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Пусть (r) и (varphi) — полярные координаты точки (z = x + iy) комплексной плоскости (рис. 31.4); Затем

x= rcosvarphi,quad y=rsinvarphi,label{ref11}

где (r=displaystylesqrt{x^2+y^2}=|z|, varphi) — угол между действительной осью и вектором (z), измеренный от положительного направления настоящая ось. Если отсчет ведется против часовой стрелки, значение угла считается положительным, а если по часовой стрелке – отрицательным. Этот угол называется аргументом комплексного числа (z (zneq 0)) и обозначается (operatorname{arg}z). Для числа (z = 0) аргумент не определен, поэтому в дальнейшем при использовании понятия аргумента предполагается, что (zneq 0).

Рис. 31,4

Из равенств eqref{ref11} следует, что любое комплексное число (z = x + iy), где (zneq 0), можно представить в виде

z=r(cosvarphi+isinvarphi).label{ref12}

запись комплексного числа (zneq 0) в виде eqref{ref12} называется тригонометрической формой комплексного числа.

Из формул eqref{ref11} находим

cosvarphi=frac{x}{sqrt{x^2+y^2)),qquad sinvarphi=frac{y}{sqrt{x^2+y^2)). метка{ссылка13}

Решая систему eqref{ref13}, мы находим аргумент комплексного числа (zneq 0). Эта система имеет бесконечно много решений вида (varphi= varphi_0+2kpi), где (kin mathbb{Z}), (varphi_0) — одно из решений системы eqref{ref13}, то есть аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.

Для нахождения аргумента обычно используют не формулы eqref{ref13}, а формулу

operatorname{tg}varphi=frac{y}{x},label{ref14}

получается сложением второго из равенств eqref{ref13} с первым. Обратите внимание, что не все значения (varphi), которые удовлетворяют уравнению eqref{ref14}, являются аргументами для (z).

Пример 3

Найдите все аргументы числа (-1+isqrt{3}) и запишите это число в тригонометрической форме.

Решение.

(triangle) Комплексное число находится во второй четверти, поэтому в качестве одного из решений уравнения (operatorname{tg}varphi = -sqrt{3}) можно взять (varphi_0= displaystylefrac{ 2pi}{3}), а все значения аргумента данного комплексного числа определяются по формуле

varphi= frac{2pi}{3}+2pi k,quad kinmathbb{Z}.nonumber

Поскольку (|-1+isqrt{3}|=2), то

-1+isqrt{3}=2left(cosfrac{2pi}{3}+isinfrac{2pi}{3}right).quad blacktriangle

Если (|z|=1, varphi=operatorname{arg}z), то по формуле eqref{ref12} получаем (z=cosvarphi+isinvarphi). Комплексное число (cosvarphi+isinvarphi) обозначается символом (e^{ivarphi}), то есть для любого (varphiinmathbb{R} ) функция (e^{ivarphi}) определяется формулой Эйлера

e^{ivarphi}=cosvarphi+isinvarphi.label{ref15}

Равенство eqref{ref15} находит свое обоснование в теории рядов.

Из формулы eqref{ref15} следует, что (e^{2pi i}=1, e^{pi i}=-1, e^{pi i/2}=i, e ^{-pi i/2}=-i) (рис. 31.5) и (|e^{ivarphi}|=1) для любого (varphiinmathbb{R}).

Рис. 31,5

Подставив eqref{ref15} (varphi) в равенство (-varphi), получим

e^{-ivarphi}=cosvarphi-isinvarphi,label{ref16}

а из равенств eqref{ref15} и eqref{ref16} следует, что

cosvarphi=frac{1}{2}(e^{ivarphi}+e^{-ivarphi}),qquad sinvarphi=frac{1}{2i}(e^ {ivarphi}-e^{-ivarphi}).label{ref17}

Запишите это

e^{ivarphi_1}e^{ivarphi_2}=e^{i(varphi_1+varphi_2)},qquad frac{e^{ivarphi_1}}{e^{ivarphi_2}}= e^{i(varphi_1-varphi_2)}.label{ref18}

Для доказательства формул eqref{ref18} следует использовать формулы eqref{ref15} и eqref{ref2}, а также формулы синуса и косинуса суммы (разности) углов. По индукции можно получить формулу де Муавра из eqref{ref18

e^{invarphi}=(cosvarphi+isinvarphi)^n=cos nvarphi+isin nvarphi,qquad nin mathbb{N}.nonumber

Используя формулы eqref{ref12} и eqref{ref15}, запишем комплексное число (zneq 0) в экспоненциальной форме

z = re^{ivarpi},quad r=|r|,quad varphi=operatorname{arg}z.label{ref19}

Используя равенства eqref{ref18} можно получить формулы произведения и частного комплексных чисел: если (z_1=r_1 e^{ivarphi_1}, z_2=r_2 e^{ivarphi_2}), то

z_1z_2 = r_1r_2e ^ {я ( varphi_1 + varphi_2)}, метка {ref20}

frac{z_1}{z_2}=frac{r_1}{r_2}e^{i(varphi_1-varphi_2)},quad z_2neq 0.label{ref21}

Из формулы eqref{ref20} следует, что при умножении комплексных чисел перемножаются их модули и складываются аргументы, т.е

begin{массив}{c}vert z_1z_2vert=vert z_1vertcdotvert z_2vert,varphi_1+varphi_2=arg(z_1+z_2),end{массив}nonumber

если (varphi_1=operatorname{arg}z_1, varphi_2=operatorname{arg}z_2).

Аналогично, из формулы eqref{ref21} следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модуля этих чисел, а разность аргументов делимого и делителя есть аргумент частное, т.е

left|frac{z_1}{z_2}right|=frac{|z_1|}{|z_2|},qquad z_2neq 0,nonumber
и
varphi_1-varphi_2=operatorname{arg}frac{z_1}{z_2},nonumber

если (varphi_1=operatorname{arg}z_1, varphi_2=operatorname{arg}z_2).

Пример 4

Вычислите (displaystylefrac{(1+i)^4}{(1-isqrt{3})^6}).

Решение.

(треугольник) Так как

1+i=sqrt{2}e^{ipi/4},qquad 1-isqrt{3}=2e^{-ipi/3},nonumber

что

frac{(1+i)^4}{(1-isqrt{3})^6}=frac{(sqrt{2})4 e^{ipi}}{2^6 e ^{-2pi i}}=-frac{1}{16}. blacktrianglenonumber

Из геометрической интерпретации (рис. 31.4) следует правило равенства для двух комплексных чисел в показательной форме: если (z_1=r_1 e^{ivarphi_1}) и (z_2 = r_2 e^{ivarphi_2 } ), то (z_1=z_2) тогда и только тогда, когда

r_1=r_2,qquad varphi_1=varphi_2+2kpi,quad kin mathbb{Z}.nonumber

Рассмотрим теперь некоторые важные свойства комплексно-сопряженных чисел. Пусть (z = re^{ivarphi} = rcosvarphi + irsinvarphi), тогда (overline{z} = rcosvarphi-irsinvarphi = re^ {-ivarphi}), т.е если (varphi = operatorname{arg}z), то (-varphi=operatorname{arg}overline{z}). Отсюда и из равенств eqref{ref20}, eqref{ref21} следует, что

overline {z_1z_2} = overline {z_1} overline {z_2}, quad overline { left ( frac {z_1} {z_2} right)} = frac { overline {z_1}} { overline {z_2}},quad overline{(z^n)}=(overline{z})^n,quad nin mathbb{N},nonumber

а из определения комплексного сопряжения следует, что

overline{z_1+z_2}=overline{z_1}+overline{z_2},quad overline{z_1-z_2}=overline{z_1}-overline{z_2}.

Извлечение корня.

Рассмотрим уравнение

г ^ п = а, метка {ref22}

где (aneq 0) — комплексное число, (n) — натуральное число.

Если (z=re^{ivarphi}, a=rho e^{itheta}), уравнение становится eqref{ref22

r ^ ne ^ {in varphi} = rho e ^ {i theta}, nonumber

где

r^n=rho,quad nvarphi=theta+2kpi,quad kinmathbb{Z},nonumber

и поэтому

r = sqrt n { rho}, qquad varphi_k = frac {1} {n} ( theta + 2k pi), quad k in mathbb {Z}, label {ref23}

то есть числа

z_k = sqrt n { rho} e ^ {i varphi_k} label {ref24}

являются корнями уравнения eqref{ref22} и это уравнение не имеет других корней.

Обратите внимание, что числа (z_0, z_1, …, z_{n-1}) различны, потому что их аргументы (displaystylevarphi_0=frac{theta}{n}, varphi_1= frac{theta}{n}+frac{2pi}{n}, …, varphi_{n-1}=frac{theta}{n}+frac{2pi(n -1)}{n}) различны и меньше отличаются друг от друга, чем при (2pi). Кроме того, (z_n = z_0), поскольку (|z_n| = |z_0|=displaystylesqrtn{rho}) и (varphi_n=varphi_0+2pi). Точно так же (z_{n+1} = z_1, z_{-1} = z_{n-1}) и так далее

Таким образом, при (aneq 0) уравнение eqref{ref22} имеет ровно (n) различных корней, определяемых формулами eqref{ref23} и eqref{ref24}, где (k=0, 1 ,…,n-1).

На комплексной плоскости точки (z_k (k=overline{0,n-1})), расположенные в вершинах правильного (n)-угольника, вписанного в окружность радиуса (displaystyle sqrt n{rho}) с центром в 0.

Пример 5

Найдите все корни уравнения (z^4 = 1 + i).

Решение.

(triangle) Корни (z_k (k = overline{0,3})) этого уравнения задаются eqref{ref23} и eqref{ref24}, где (displaystyle rho = |1 + i|=sqrt{2},theta=frac{pi}{4}), т.е

z_k=sqrt[8]{2}e^{ivarphi_k},nonumber

где

varphi_k=frac{pi}{16}+frac{pi k}{2},quad k=0,1,2,3.nonumber

Рис. 31,6

Точки (z_k) расположены в углах квадрата (рис. 31.6). (черный треугольник)

Комплекснозначные функции действительного переменного.

Если каждому значению (tin [alpha,beta]) поставить в соответствие комплексное число (z=z(t)), то говорят, что на отрезке ([alpha,beta]) задана комплексная функция вещественной переменной.

Пусть (operatorname{Re}z(t) = x(t), operatorname{Im}z(t) = y(t)), тогда (z(t) = x(t)+iy (т)). Функцию (z(t)) можно рассматривать как векторную функцию (z(t)=(x(t),y(t))). Определения предела, непрерывности, производной для комплекснозначной функции аналогичны соответствующим определениям для вектор-функции.

Например, производная функции (z(t) = x(t) + iy(t)) определяется формулой

z'(t) = x'(t) + iy'(t).label{ref25}

Следовательно, производная (z'(t)) существует, если существуют производные (x'(t)) и (y'(t)).

Применяя формулу eqref{ref25} к функции (e^{it}=cos t+isin t), получаем ((e^{it})’=-sin t+i cos t= i^2sin t + icos t = i(cos t + isin t)), т.е

(e^{it})’=ie^{it}.label{ref26}

Таким образом, формула для производной комплексной функции (e^{it}) имеет тот же вид, что и для функции (e^{alpha t}), где (alphainmathbb{ R}).

Теперь определим экспоненциальную функцию (displaystyle e^{(alpha+ibeta)t}), где (alpha,beta) — действительные числа, а (t) — действительная переменная . Функция (f(t) = e^t), где (tinmathbb{R}), удовлетворяет условию

f(t_1)f(t_2) = f(t_1+t_2).label{ref27}

Соответственно функция (e^{ibeta t}), где (betainmathbb{R}), обладает свойством eqref{ref27} в силу первого из равенств eqref {ссылка18}.

Поэтому естественно определить функцию (e^{(alpha+ibeta)t}) так, чтобы для нее выполнялось условие eqref{ref27}, т.е

e ^ {( alpha + i beta) t} = e ^ { alpha t} e ^ {i beta t}. nonumber

По формуле eqref{ref15} находим отсюда

e ^ {( alpha+ibeta)t} = e^{alpha t} (cosbeta t+isinbeta t).label{ref28}

Используя функцию (e^{lambda t}), где (lambda=alpha+ibeta), правило дифференцирования eqref{ref25}, легко показать, что

(e ^ { lambda t}) = lambda e ^ { lambda t}, quad lambda = alpha + i beta. label {ref29}

По аналогии с производной неопределенный интеграл комплекснозначной функции (z(t)=x(t)+iy(t)) определяется формулой

int z(t) dt = int x(t) dt + iint y(t) dt.nonumber

Если комплексная функция (omega(t) = xi(t) + ieta (t)) такова, что (omega'(t)=z(t)), то

int z(t)=int omega'(t)dt=int xi'(t)dt+iint eta'(t)dt = xi(t) + C_1 + ieta(t)+iC_2.число

Поэтому,

int z(t) dt = omega(t) + C,quad C = C_1+iC_2.nonumber

Применяя эту теорему к функции (e^{(alpha+ibeta)t}) и используя формулу eqref{ref29}, получаем

int e^{(alpha+ibeta)t}=displaystyle frac{e^{(alpha+ibeta)t}}{alpha+ibeta}+C_1+iC_2.label {ref30}

Разделив в уравнении eqref{ref30} действительную и мнимую части, находим

int e ^ { alpha t} cos beta t dt + i int e ^ { alpha t} sin beta t dt = frac { alpha-i beta} { alpha ^ 2+ бета ^ 2} e ^ { alpha t} ( cos beta t + i sin beta t) + C_1 + C_2, nonumber

куда мы пришли

int e ^ { alpha t} cos beta t dt = frac {e ^ { alpha t}} { alpha ^ 2+ beta ^ 2} ( alpha cos beta t + beta sin бета т)+C_1,метка{ссылка31}

int e ^ { alpha t} sin beta t dt = frac {e ^ { alpha t}} { alpha ^ 2+ beta ^ 2} ( alpha sin beta t- beta cosbeta t)+C_2,label{ref32}

Обратите внимание, что формула eqref{ref31} была получена с помощью интегрирования по частям в ранее решенном примере.

Определение модуля комплексного числа

Допустим, у нас есть комплексное число z, которое соответствует выражению:

г = х + у ⋅ я

• х и у — действительные числа;
• i – мнимая единица (i2 = -1);
• х — действительная часть;
• y ⋅ i — мнимая часть.

Модуль комплексного числа z равен арифметическому квадратному корню из суммы квадратов действительной и мнимой частей этого числа.

Свойства модуля комплексного числа

1. Модуль всегда больше или равен нулю.
2. Областью определения модуля является вся комплексная плоскость.
3. Поскольку условия Коши–Римана не выполняются (соотношения, связывающие действительную и мнимую части), модуль не дифференцируется ни в одной точке (как функция комплексной переменной).