Нахождение ранга матрицы: методы, примеры нахождения и определения

Определения

Определение: Рангом системы строк (соответственно столбцов) матрицы A называется наибольшее число линейно независимых среди них.

Так как легко доказать, что ранг системы строк в матрице равен рангу системы столбцов, то верно следующее

Определение: Ранг матрицы, обозначаемый как r(A), представляет собой максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Транспонирование матрицы не меняет ранг.

Другой способ определения ранга матрицы связан с понятием определителя.

Выберем любые k строк и k столбцов матрицы A. Элементы на их пересечении образуют квадратную матрицу, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы A. Ясно, что величина k должна удовлетворять двум условиям:
. Пусть последовательно k = 1,2,…,l, где

, составим для каждого k все миноры порядка k матрицы A. Тогда можно сформулировать другое определение ранга матрицы.

Определение: Ранг матрицы, обозначаемый r(A), — это ранг старшего ненулевого минора в этой матрице.

Из определения следует, что если ранг матрицы A равен l, то среди всех ее миноров есть хотя бы один минор l-го порядка, отличный от нуля, но все миноры (l + 1) порядка равны либо равны нулю, либо не могут быть нарисованы.

вычисление ранга массива путем подсчета всех его миноров занимает очень много времени. Однако существует более простой способ вычисления ранга матрицы, основанный на упрощении структуры матрицы с помощью элементарных преобразований. Следующие преобразования называются элементарными матричными преобразованиями:

1. поменять местами две строки или два столбца в массиве;
2. умножить все элементы в строке или столбце матрицы на произвольное число
   , не равный нулю;
3. сложите все элементы одной строки (столбца) матрицы с соответствующими элементами другой строки (столбца), предварительно умножив их на то же число;
4. исключение из матрицы строки или столбца, состоящего из нулей.

Матрицы называются эквивалентными, если от одной из них можно перейти к другой за ограниченное число элементарных преобразований.

Ступенчатая матрица — это матрица, удовлетворяющая тому свойству, что если в любой из строк первый ненулевой элемент стоит на l-м месте, то во всех следующих строках первые l разрядов равны нулю:

где элементы
отличны от нуля, а все элементы ниже них равны нулю.

Для вычисления ранга матрицы она приводится к ступенчатому виду с помощью цепочки элементарных преобразований. Тогда ранг матрицы совпадает с количеством ее ненулевых диагональных элементов.

Теоремы о ранге матриц. Свойства ранга матриц

Относительно ранга матриц можно сформулировать следующие теоремы:

Теорема: если матрица имеет ненулевой r-минор такой, что все миноры порядка его содержат
(ограничивающие миноры) равен нулю, то ранг этой матрицы равен r.

Вычисление ранга матрицы предельным методом необходимо производить от младших порядков к высшим. Сначала ищем минор первого порядка (т.е элемент матрицы) или сразу второго порядка, отличного от нуля. Затем вычисляем меньшинство в следующем порядке, окружающее его, пока не найдем среди них ненулевой, и так далее, пока не найдем минор порядка l, отличный от нуля, для которого либо все меньшинства порядка l + 1 вокруг него равна нулю, либо такие миноры не могут быть нарисованы.

Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Доказательство теоремы следует из определения ранга матрицы и свойств определителей.

Пример:

Найдите ранг матрицы:

Решение:

Минор первого порядка в левом верхнем углу равен
. Смежный с ним минор второго порядка:

Вычисляем окружающий его минор третьего порядка:

Итак, ранг матрицы равен 2.

Пример:

Найдите ранг матрицы:

Решение:

Элементарными преобразованиями приводим эту матрицу к ступенчатому виду. На первом шаге умножаем первую строку на 3, 3, 2 по порядку и вычитаем вторую, третью, четвертую строку соответственно:

В эквивалентной матрице прибавьте вторую строку к третьей строке и вычтите вторую из четвертой строки:

(поменять местами третью и четвертую строки)

(третий, четвертый и пятый столбцы заменить вторым и опустить строки, состоящие из нулей)
Матрица была преобразована в ступенчатую форму, имеющую три ненулевых элемента по диагонали. Рейтинг матрицы равен 3.

Отметим некоторые свойства ранжирования матриц.

1. Ранг суммы двух (или более) матриц не больше суммы их рангов.
2. Любая матрица ранга r может быть представлена ​​в виде суммы r матриц ранга 1, но не может быть представлена ​​в виде суммы менее r таких матриц.
3. Любая матрица C ранга r может быть представлена ​​в виде произведения
   , где A состоит из r линейно независимых столбцов, r B состоит из r линейно независимых строк.
4. Ранг произведения матриц порядка n удовлетворяет неравенству
   .

Читайте также: Моря Южного Океана — список всех морей в Южном Океане

Определение системы m линейных уравнений с n неизвестными

Система m линейных уравнений с n неизвестными
называется системой вида:

Число
называются коэффициентами системы и ее свободных членов соответственно. Первый индекс i коэффициента
соответствует номеру уравнения, в которое входит этот коэффициент, а второй индекс соответствует номеру неизвестного
, где стоит этот коэффициент. Бесплатный индекс участников
соответствует номеру уравнения, содержащего
.

Используйте знак плюс
систему (5.3.1) можно записать в виде:

Матрица

состоит из системных коэффициентов
, называется матрицей

системы. Если мы добавим в эту матрицу столбец свободных членов, мы получим расширенную матрицу системы:
Указывает столбец матрицы неизвестных
и матрица столбцов свободных членов
, система (5.3.1) может быть записана в матричной форме:

где

Также используется табличная форма системной записи (5.3.1):

Заметим, что (5.3.1), (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4) — разные способы записи одной и той же системы линейных уравнений.

Решением системы (5.3.1) является любой упорядоченный набор действительных чисел
, которые при замене на (5.3.1) вместо неизвестных
, превращает каждое из уравнений системы в истинное равенство.

Система уравнений (5.3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений не имеет. Общая система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений с одинаковым набором неизвестных
называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Заметим, что для любой системы (5.3.1) возможны только три случая:

1. система (5.3.1) имеет единственное решение;
2. система (5.3.1) имеет бесконечное число решений;
3. система (5.3.1) несовместна.

Множество всех решений системы (5.3.1) называется ее общим решением.

решить систему (5.3.1) означает найти ее общее решение.

Пример:

Пусть система

Тогда эту систему можно записать в матричной форме:

или в виде таблицы:

Система ясна, потому что имеет единственное решение
. Других решений быть не может, так как непосредственно

на координатной плоскости
резать в одной точке.

Экономические задачи, приводящие к системе линейных уравнений

Предположим, что в цехах размещены производственные мощности по изготовлению n различных видов продукции. Позволять
— общая вместимость магазина i, а
— часть производственного аппарата цеха i, необходимая для производства производственной единицы типа j. Тогда обозначим через
количества произведенной продукции, мы получаем систему уравнений, показывающую, как можно полностью использовать имеющиеся мощности.

Широкий круг экономических задач приводит к составлению системы уравнений. Так в примере 4.3.2 была составлена ​​система линейных уравнений (4.3.1) балансовой модели для трех отраслей. В общем случае под балансовой моделью понимается система уравнений, где каэ/сдоэ выражает требование баланса между объемом произведенной продукции и совокупным спросом на этот продукт.

При построении балансовых моделей используется понятие чистой (или технологической) отрасли, т.е условной отрасли, объединяющей все производство данного продукта вне зависимости от ведомственной (административной) подчиненности и формы собственности предприятий и фирм. Вся национальная экономика представлена ​​как совокупность n отраслей, каждая из которых рассматривается как производящая и потребляющая.

Если указано:

• 
  — товаропотоки между отраслями, где i и j — количество производящих и потребляющих отраслей соответственно;
• 
  — валовая продукция i-й отрасли;
  — конечная продукция i-й отрасли, <br>;
• 
  — количество продукции i-й отрасли с учетом только прямых затрат, необходимых для производства единицы продукции j-й отрасли,

то система уравнений баланса может быть записана в виде:

или в матричной форме:

где X — вектор-столбец валового выпуска; Y — вектор-столбец конечного продукта; А — матрица коэффициентов прямых затрат.

Основой экономико-математической модели межотраслевого баланса является технологическая матрица А, содержащая коэффициенты прямых затрат на производство единицы продукции:

Коэффициент!,! прямые затраты достаточно стабильны во времени.

Переписав матричное уравнение (5.4.2) в виде EX-AX = Y или (EA)X = Y, (5.4.3) получим стандартный вид системы уравнений.

Определение ранга матрицы

Ранг матрицы — это ранг системы строк или столбцов. Каждая матрица имеет свои строки и столбцы, которые равны друг другу.

Ранг системы строк — это максимальное количество линейно независимых строк. Ранжирование системы столбцов определяется аналогичным образом.

Примечания:

• Ранг нулевой матрицы (обозначаемой символом «θ») любого размера равен нулю.
• Ранг любой ненулевой строки или вектор-столбца равен единице.
• Если массив любого размера содержит хотя бы один ненулевой элемент, ранг не меньше единицы.
• Ранг массива не больше его минимальной размерности.
• Элементарные преобразования массива не изменяют ранг.

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Определение 1

Минор матрицы k-го порядка — это определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена ​​из элементов матрицы A, размещенных в заранее выбранных k строках и k столбцах, при этом положение элементов матрицы A сохраняется.

Проще говоря, если вычеркнуть (pk) строк и (nk) столбцов матрицы A, а из оставшихся элементов составить матрицу, сохранив расположение элементов в матрице A, то определитель полученной матрицы будет минорным порядка k матрицы A.

Из примера следует, что минором первого порядка в матрице A являются сами матричные элементы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-го порядка. Выделим две строки и два столбца. Например 1 и 2 ряд, 3 и 4 столбец.

При таком выборе элементов минор второго порядка будет равен -1302=(-1)×2-3×0=-2

Другой минор второго порядка матрицы A равен 0011=0

Приведем иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы A:

минор 3-го порядка получается удалением третьего столбца матрицы A:

003112-1-40=0×1×0+0×2×(-1)+3×1×(-4)-3×1×(-1)-0×1×0-0×2×(-4)=-9

Иллюстрация того, как получается минор 3-го порядка матрицы A:

Для данной матрицы нет миноров выше 3-го порядка, так как

к≤мин(р, п)=мин(3,4)=3

Сколько миноров k-го порядка существует у матрицы A порядка p×n?

Количество несовершеннолетних рассчитывается по следующей формуле:

Cpk×Cnk, где Сpk=p!k!(pk)! и Cnk=n!k!(nk)! — количество комбинаций от p до k, от n до k соответственно.

После того, как мы определили, какие миноры в массиве A, мы можем перейти к определению ранга массива A.

Ранг матрицы: методы нахождения

Определение 2

Ранг массива — это наивысший ненулевой порядок в массиве.

Обозначение 1

Ранг(А),Rg(А),Ранг(А).

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становится ясно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Определение 3

Младший метод перечисления — это метод, основанный на определении ранга массива.

Алгоритм действий при переборе миноров:

Необходимо найти ранг матрицы A порядка p×n. Если есть хотя бы один ненулевой элемент, ранг матрицы как минимум равен единице (потому что это ненулевой минор 1-го порядка).

Затем следует перечисление миноров 2-го порядка. Если все 2 минора порядка равны нулю, ранг равен единице. Если имеется хотя бы один ненулевой минор 2-го порядка, то необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, и ранг матрицы в этом случае будет не менее двух.

Проделаем то же самое с рангом 3-го порядка: если все миноры в матрице равны нулю, то ранг будет равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, ранг матрицы не меньше трех. И так далее, аналогично.

Пример 2

Найдите ранг матрицы:

А=-11-1-202260-443111-7

Поскольку матрица не нулевая, ранг как минимум равен единице.

минор 2-го порядка -1122=(-1)×2-1×2=4 отличен от нуля. Это означает, что ранг матрицы A не меньше двух.

Перебираем миноры в 3 порядке: С33×С53=15!3!(5-3)!= 10 штук.

-11-12264311=(-1)×2×11+1×6×4+(-1)×2×3-(-1)×2×4-1×2×11-(-1)×6 ×3=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0 ×3=0

-1-1-22604111=(-1)×6×1+(-1)×0×4+(-2)×2×11-(-2)×6×4-(-1)×2× 1-(-1)×0×11=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0 ×3=0

-1-1026-4411-7=(-1)×6×(-7)+(-1)×(-4)×4+0×2×11-0×6×4-(-1)× 2×(-7)-(-1)×(-4)×11=0

1-1026-4311-7=1×6×(-7)+(-1)×(-4)×3+0×2×11-0×6×3-(-1)×2×(- 7)-1×(-4)×11=0

1-2020-431-7=1×0×(-7)+(-2)×(-4)×3+0×2×1-0×0×3-(-2)×2×(- 7)-1×(-4)×1=0

-1-2060-4111-7=(-1)×0×(-7)+(-2)×(-4)×11+0×6×1-0×0×11-(-2)× 6×(-7)-(-1)×(-4)×1=0

минор 3-го порядка равен нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.

Ответ: Ранг (А) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Определение 3

Метод минорной окантовки — это метод, который позволяет получить результат с меньшими затратами на расчеты.

Окаймляющий минор — это минор Mok (k + 1)-го порядка матрицы A, который образует минор k-го порядка M матрицы A, если матрица, соответствующая минору Mok, «содержит» матрицу, соответствующую минору M.

Проще говоря, матрица, соответствующая ограниченному минору M, получается из матрицы, соответствующей ограничивающему минору Mok, удалением элементов в одной строке и одном столбце.

Пример 3

Найдите ранг матрицы:

А=120-13-2037134-21100365

Для нахождения рейтинга возьмем минор 2-го порядка М=2-141

Запишем все соседние миноры:

12-1-207341.20-10374-21.2-13071411.12-1341006.20-14-21036.2-13411065.

Для обоснования метода граничения с минорами приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Теорема 1

Если все миноры, смежные с минором k-го порядка матрицы A порядка от p до n, равны нулю, то все миноры порядка (k + 1) матрицы A равны нулю.

Алгоритм действий:

Чтобы найти ранг массива, не обязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть границы.

Если ограничивающие миноры равны нулю, ранг матрицы равен нулю. Если есть хотя бы один минор, не равный нулю, то рассматриваем граничные миноры.

Если все равны нулю, Rank(A) равен двум. Если есть хотя бы один ненулевой минор, мы продолжаем вычислять его соседние миноры. И так далее в аналогичном порядке.

Пример 4

Найдите ранг массива, используя метод краевых миноров

А=210-134210-12111-40024-14

Как решить?

Так как элемент a11 матрицы A не равен нулю, берем минор 1-го порядка. Начнем искать побочный ордер меньше нуля:

2142=2×2-1×4=02041=2×1-0×4=2

Мы нашли минор 2-го порядка, который не равен нулю из 2041.

Посчитаем окаймляющие миноры — (их (4-2) × (5-2) = 6 штук).

210421211=0; 20-1410211=0; 20341-121-4=0;210421002=0; 20-1410024=0; 20341-102-14=0

Ответ: Ранг(А) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Вспомните, что такое элементарные преобразования.

Элементарные преобразования:

• путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
• путем умножения всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;

добавлением к элементам любой строки (столбца) элементов, соответствующих другой строке (столбцу) матрицы, которая умножается на произвольное число k.

Определение 5

нахождение ранга матрицы методом Гаусса — это метод, основанный на теории матричной эквивалентности: если матрица B получается из матрицы A с помощью конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость этого утверждения следует из определения матрицы:

• при перестановке строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, он остается равным нулю при перестановке строк или столбцов;
• в случае умножения всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное число k, не равное нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, который равен умножается на к;

в случае сложения элементов одной строки или столбца матрицы соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на число k, не изменяют его определителя.

Суть метода элементарных преобразований: с помощью элементарных преобразований привести матрицу, ранг которой необходимо найти, к трапециевидной.

За что?

Ранг матриц этого типа находится довольно легко. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А так как при элементарных преобразованиях ранг не меняется, то это и будет ранг матрицы.

Проиллюстрируем этот процесс:

• для прямоугольных матриц A порядка p на n, где количество строк больше количества столбцов:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-2b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01000⋯00⋮⋮⋮⋮0, Ранг

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯)⋯bkn000⋯=Ra

• для прямоугольных матриц A порядка p на n, где количество строк меньше количества столбцов:

А~1b12b13⋯b1pb1p+1⋯b1n01b23⋯b2pb2p+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bpp+1⋯bpn, Ранг(A)=p

или

A~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋮⋮⋯⋮⋮⋯00

• для квадратных матриц A порядка n на n:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-1b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01, ранг(A)=n

или

00000000 А)=к, к<>

Пример 5

Найдем ранг матрицы A с помощью элементарных преобразований:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411

Как решить?

Поскольку элемент a11 отличен от нуля, необходимо умножить элементы первой строки матрицы A на 1a11=12:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411~

Мы добавляем элементы в строке 2 к соответствующим элементам в строке 1, которые умножаются на (-3). К элементам в строке 3 мы добавляем элементы в строке 1, которые умножаются на (-1):

~A(1)=112-13300-11-12-75-24-1572-411~A(2)==112-133+1(-3)0+12(-3)0+(-1) (-3)-1+3(-3)1+1(-3)-1+12(-3)2+(-1)(-1)-7+3(-1)5+1(- 5)-2+12(-5)4+(-1)(-5)-15+3(-5)7+1(-7)2+12(-7)-4+(-1)(-7)11+3(-7)=

=112-130-323-100-323-100-929-300-323-10

Элемент a22(2) отличен от нуля, поэтому умножаем элементы второй строки матрицы A на A(2) на 1a22(2)=-23:

А(3)=112-1301-22030-323-100-929-300-323-10~А(4)=112-1301-22030-32+1323+(-2)32-10+203×320- 92+1929+(-2)92-30+203×920-32+1323+(-2)32-10+203×32==112-1301-220300000000000000

• К элементам третьей строки полученной матрицы добавляем соответствующие элементы второй строки, которые умножаются на 32;
• к элементам 4-й строки — элементы 2-й строки, которые умножаются на 92;
• к элементам 5-й строки — элементы 2-й строки, которые умножаются на 32.

Все элементы строки равны нулю. Таким образом, с помощью элементарных преобразований мы привели матрицу к форме трапеции, из чего видно, что Rank (A(4))=2 . Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.

Комментарий

При выполнении элементарных преобразований приблизительные значения не допускаются!

Приведение матрицы к ступенчатому виду

Ранг ступенчатой ​​матрицы равен количеству ненулевых строк. То есть все, что нам нужно сделать, это привести матрицу к правильному виду, например, с помощью элементарных преобразований, которые, как мы уже упоминали выше, не меняют ранг.

Пример
Найдите ранг матрицы B ниже. Мы не берем слишком сложный пример, т.к наша основная цель просто продемонстрировать использование метода на практике.

Решение
1. Сначала вычитаем из второй строки удвоенное первое.

2. Теперь вычтите первую строку из третьей строки, умноженной на четыре.

Таким образом, мы получили ступенчатую матрицу, в которой количество ненулевых строк равно двум, следовательно, и ранг равен 2.