Область определения функции

Понятие и обозначение области определения функции

Самое простое определение этого термина дается в учебниках при первом введении понятия функции как таковой. На данном этапе термин «домен» относится к множеству всех возможных значений аргумента.

По мере углубления знаний о функциях определение сужается и усложняется. Так в одном из учебников можно встретить следующую формулировку:

Определение 1

Числовая функция с областью определения D представляет собой соответствие значений переменной x некоторому другому числу y, находящемуся с x в зависимой связи.

Используя это определение, более четко охарактеризуем нужное нам понятие:

Определение 2

Область действия функции — это набор значений аргументов, на которых эта функция может быть определена.

Теперь подумайте, как изложить это письменно. Ранее мы договорились, что для написания самих функций следует использовать строчные латинские буквы, например g, f и т д. Для обозначения наличия функциональной зависимости используем обозначение y=f(x). Таким образом, функция f представляет собой определенное правило, согласно которому каждому значению переменной x можно поставить в соответствие значение другой переменной y, зависящей от x.

Пример 1

Возьмем в качестве примера функцию y=x2. Вы можете записать это как f(x)=x2. Это функция возведения в квадрат, которая присваивает каждому значению переменной x=x0 значение y=x02. Итак, если мы возьмем число 3, функция присвоит ему 9, так как 32=9.

Для обозначения области определения функции f мы используем обозначение D(f). Однако необходимо помнить, что некоторые функции имеют свои обозначения, например тригонометрические. Поэтому в учебники иногда включают такие записи, как D(sin) или D(arcsin). Их следует понимать как области синуса и арксинуса соответственно. Также допустимо обозначение формы D(f), где f — функция синуса или дуги.

Если мы хотим написать, что функция f определена на множестве значений x, то используем формулировку D(f)=X. Таким образом, для того же арксинуса запись будет иметь вид D(arcsin)= −1, 1 (об области определения арксинуса мы расскажем позже.)

Как найти области определения для основных элементарных функций

После прочтения приведенных выше определений легко понять, что понятие области действия очень важно для любой функции. Это его неотъемлемая часть, которая составляется вместе с самой функцией. То есть когда мы вводим функцию, мы сразу указываем область ее определения. Обычно в рамках школьного курса основные функции изучаются последовательно: сначала прямые пропорции, затем линейные функции, затем у = х2 и так далее, причем в качестве основных свойств указываются их области определения.

В этом подразделе мы описываем, какие домены определения имеют основные элементарные функции.

Область определения постоянной функции

Определение 3

Вспомните формулу, определяющую постоянную функцию: y=C или f(x)=C. Переменная C может быть любым вещественным числом.

Смысл функции в том, что каждому значению аргумента будет соответствовать значение равное C, поэтому областью действия этой функции будет множество всех действительных чисел. Назовем его Р.

Пример 2

Итак, если у нас есть функция y=−3 (или в другом обозначении f(x)=−3), то (D(f)= (−∞, +∞) или D(f)=R).

Если взять функцию y=73, то область определения для нее, как и для любой постоянной функции, будет равна R.

Читайте также: Сложение и вычитание десятичных дробей — как правильно?

Область определения функции с корнем

С помощью знака корня, или радикала, мы можем указать функцию квадратного корня y=x или, в обобщенном виде, функцию корня степени N, которую можно записать в виде формулы y=xn. В этих случаях n может быть любым натуральным числом больше 1.

Диапазон таких функций будет зависеть от того, является ли показатель степени четным или нечетным числом.

Определение 4

1. Сначала возьмем случай, когда n — четное число, т е n=2 m, где m∈N. Тогда областью определения будет множество всех неотрицательных действительных чисел: D2·m=</a>0; +∞).
2. Если n — нечетное число больше 1, т е n=2 m+1, то областью определения будет множество всех действительных чисел: D2 m+1=(-∞; +∞).

Пример 3

Таким образом, областью определения функций с корнем y=x, y=x4, y=x6 является числовое множество 0, +∞), а функций y=x3, y=x5, y=x7 — множество (−∞, +∞).

Пример

Найдите диапазон функции:

Как мы решаем:

Корневое выражение должно быть неотрицательным, но поскольку оно стоит в знаменателе, оно не может быть равно нулю. Поэтому для нахождения области определения необходимо решить неравенство x2 + 4x + 3 > 0.

Для этого решаем квадратное уравнение x2+4x+3=0. Находим дискриминант:

Д = 16 — 12 = 4 > 0

Дискриминатор положительный. В поисках корней

Итак, парабола f(x) = x2 + 4x + 3 пересекает ось x в двух точках. Одна часть параболы расположена ниже оси (неравенство x2 + 4x + 3 < 0), а другая часть — выше оси (неравенство x2 + 4x + 3 > 0).

Так как коэффициент а = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно заключить, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполняется неравенство x2 + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят в бесконечность), а вершина парабола расположена на отрезке (-3; -1) под осью x, что соответствует неравенству x2 + 4x + 3 < 0.

Ответ: область определения: D(f) = (−∞, -3) ∪ (−1, +∞).

Если знаменатель функции является выражением, которое зависит от x, мы должны исключить точки, которые делают знаменатель равным нулю, чтобы найти область определения этой функции.

Область определения степенной функции

Экспоненциальная функция записывается как y=xa или f(x)=xa, где x — это переменная, лежащая в основе показателя степени, а a — конкретное число в показателе степени. Возьмем область определения степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Перечислим возможные варианты.

Определение 5

1. Допустим, а — целое положительное число. Тогда областью определения степенной функции будет множество действительных чисел (−∞, +∞).
2. Если a — нецелое положительное число, то D(f)=0, +∞).
3. В случае, когда a относится к отрицательным целым числам, областью определения такой функции становится множество (−∞, 0)∪(0, +∞).
4. В других случаях, т е когда a является отрицательным нецелым числом, областью определения будет числовой интервал (0, +∞).
5. Если a имеет нулевое значение, такая степенная функция будет определена для всех действительных x, кроме нуля. Это связано с неопределенностью 00. Мы знаем, что любое число, отличное от 1, при возведении в нулевую степень будет равно 1, поэтому при a=0 мы получаем функцию y=x0=1, область определения которой равна (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Поясним нашу мысль на нескольких примерах.

Пример 4

Для функций y=x5, y=x12 областью определения является множество всех действительных чисел R, поскольку показатели степени являются целыми положительными числами.

Пример 5

Для степенных функций y=x63, y=xπ, y=x74, y=x23 будут определены на интервале 0, +∞), так как показатели степени положительные, а не целые.

Пример 6

3. Для функции y=x−5 с отрицательными целыми показателями областью определения является множество (−∞, 0)∪(0, +∞).

Пример 7

4. Для степенных функций y=x-19, y=x-3e, y=x-98, y=x-311 областью определения будет открытый числовой луч (0, +∞), поскольку их показатели нецелое отрицательное число.

Область определения показательной функции

Определение 6

Обычно такую ​​функцию записывают как y=ax, и переменная будет лежать в индексе функции. В основе показателя степени здесь лежит число а, которое больше 0 и не равно 1.

Областью определения такой функции является множество всех действительных чисел, т е. R.

Пример 8

Например, если у нас есть экспоненциальные функции y=14x, y=ex, y=13x, y=15x, то они будут определены на интервале от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения логарифмической функции

Определение 7

Функция логарифма определяется как y=logax , где a — базовое число, большее 0 и не равное 1. Оно определено на множестве всех положительных действительных чисел. Это можно записать как D(loga)=(0, +∞), например, D(ln)=(0, +∞) и D(loga)=(0, +∞).

Пример 9

Так, для логарифмических функций y=log23x, y=log3x, y=log7x, y=lnx областью определения будет множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область действия функции:

Как мы решаем:

Создадим и решим систему:

Графическое решение:

Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Чтобы узнать, на каком интервале должны быть определены тригонометрические функции, нужно вспомнить, как именно они определяются и как называются.

Определение 8

• Формула y=sin x указывает на синусоидальную функцию (sin). Он будет определен на множестве всех действительных чисел. Мы можем написать, что D(sin)=R.
• Формула y=cos x означает функцию косинуса (cos). Он также будет определен на множестве всех действительных чисел, т е. D(cos)=R.
• Формула y=tg x означает функцию тангенса (tg), а y=ctg x означает котангенс. Областью определения касательной будет множество всех действительных чисел, кроме π2+π·k, k∈Z.

Областью определения котангенса также будет множество R, за исключением π·k, k∈Z.

Другими словами, если мы знаем, что x является аргументом для функций тангенса и котангенса, то мы должны помнить, что эти функции определены для x∈R, x≠π2+π k, k∈Z и x∈R, x≠ π k , k∈Z.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Как мы решаем:

Поскольку a(x) = 2x, следующие точки не будут включены в область определения:

Перенесем 2 с левой стороны в знаменатель с правой стороны:

Как результат . Покажем это графически:

Ответ: объем: .

Область определения тригонометрических функций

К обратным тригонометрическим функциям относятся функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Определение 9

• Формула y=arcsin x обозначает функцию арксинуса. Обычно его рассматривают на отрезке −1, 1 и обозначают arcsin. Интервал −1, 1 будет областью определения этой функции, которая нам нужна. Мы можем написать, что D(arcsin)=−1, 1.
• Формула y=arccos x выражает функцию арккосинуса (обозначается как arccos). Он рассчитывается на том же отрезке, что и арксинус. Следовательно, область определения этой функции равна −1, 1, т е. D(arccos)=−1, 1.
• Функции y=arctg x и y=arcctg x означают арктангенс и арккотангенс. Они рассматриваются на множестве всех действительных чисел, а это означает, что их областью определения является R. Можно написать, что D(arctg)=R и D(arcctg)=R.

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомните обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

• Функция, заданная формулой y = arcsinx и вычисляемая на интервале −1, 1, называется arcsin и обозначается arcsin.
  Областью определения арксинуса является множество −1, 1, то есть D(arcsin) = −1, 1.
• Функция, заданная формулой y = arccosx и рассматриваемая на отрезке −1, 1, называется арккосинусом и обозначается arccos.
  Областью определения функции арккосинуса является отрезок −1, 1, то есть D(arccos) = −1, 1.
• Функции, заданные формулами вида y = arctgx и y = arcctgx и рассматриваемые на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсами и арккотангенсами и обозначаются arctg и arcctg.
  Областью определения арктангенса и арккотангенса является все множество действительных чисел R. То есть D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Области определения основных функций в табличном виде

Для того, чтобы запомнить или легко найти нужные нам площади, правила расчета, которые мы объяснили выше, представим всю информацию в табличном виде. Не лишним будет оформить ее на отдельном листе и иметь под рукой, как и таблицу простых чисел, квадратов и т д. Будет очень полезно при работе с функциями, пока вы не выучите содержание наизусть.

<td>0; +∞

Функциональный объем
Функциональность	Его область определения
Константа у=С	Р
Корень у=хп	</a>0; +∞), если n четно -∞; +∞, если n нечетно
Мощность у = ха	-∞; +∞, если a>0, a∈Z<br>[0; +∞), если a>0, a∈R, a∉Z -∞; 0∪0; +∞, если a<0, a∈Z<br>0; +∞, если a∈R, a≠Z -∞; 0∪0, +∞, если а=0
Экспоненциальный y=ax	Р
Логарифмический y=logax
Тригонометрический y=sin xy=cos xy=tg xy=ctg x	RRx∈R, x≠π2+π k, k∈Zx∈R, x≠π k, k∈Z
Обратный тригонометрический y=arcsin xy=arccos xy=arctg xy=arcctg x	<p>-1; 1-1; 1 руб

Подводя итоги статьи, следует отметить, что в рамках школьного курса изучаются не только основные элементарные функции, но и различные их сочетания. Проблемы этого типа очень распространены. Не всегда указываются области определения таких комбинированных функций. Авторы задач предполагают, что в таких случаях областью определения функции можно считать множество таких значений аргумента, при которых она будет иметь смысл. Это позволяет нам приблизиться к ответу на вопрос, как именно вычисляется область определения функции в таких случаях.

Способы нахождения области значений некоторых функций по графику

Чаще всего графический метод применяют для функций с достаточно простой зависимостью. При этом построение графа не вызывает затруднений.

Вот алгоритм нахождения диапазона функции по ее графику:

1. Мы ищем область действия функции. Например, для экспоненциальной функции или параболы аргумент может принимать любое значение из множества действительных чисел R, то есть E(f)=R. Если выражение f(x) является дробью, то область определения находится из условия, что знаменатель не равен нулю. Если выражение f(x) меньше квадратного корня, область определения можно найти из неравенства f(x)≥0.
2. Строим график функции по точкам.
3. По графику функции находим ее минимум. Значение y_{min} будет нижней границей диапазона. В случае, когда минимум нельзя определить визуально, то есть функция не имеет минимума, предел будет равен -∞.
4. Таким же образом мы определяем максимальное значение y_{max} и, следовательно, верхнюю границу диапазона. Если максимум не определен, предел диапазона равен +∞.
5. Записываем диапазон значений функции, при этом необходимо учитывать возможные точки останова. Точки останова возникают, например, при исключении из области определения тех значений аргументов, у которых знаменатель становится равным нулю. Диапазон записывается как числовой диапазон. Границы, входящие в область, заключаются в круглые скобки, не заключаются в круглые скобки. Если диапазон значений включает несколько числовых интервалов, они объединяются знаком «U», например: (-∞; 4]U</a>6; +∞).

Как найти область значений функции по уравнению

нахождение диапазона значений функции по заданному уравнению также сводится к вычислению экстремумов.

Рассмотрим два случая:

1. Найдите область значений функции, непрерывной на заданном интервале.
2. Найдите область значений функции, непрерывной на заданном интервале. Мы также включаем случаи, когда функция не существует в любое время. Например, нулевая точка знаменателя, где функция не существует, а область определения терпит разрыв.

Алгоритм поиска области для первого случая:

1. Находим производную функции.
2. Приравниваем производную к нулю, находим корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует – критические точки.
3. Отмечаем на прямой корни, критические точки и пределы заданного интервала и определяем знаки производной на каждом полученном интервале.
4. Нахождение минимума и максимума функции. Если в момент времени х1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка х1 максимальна, если с «-» на «+» — минимальна.
5. Подставляя значения аргументов минимума и максимума функции в выражение f(x), находим минимальное и максимальное значения функции. В случае наличия точек, где производная не существует, вычисляем значение функции через пределы по формулам: limx→x1-0f(x) и limx→x1+0f(x).
6. Запишите диапазон функции.

Для второго случая:

1. Находим производную, приравниваем ее к нулю и определяем знаки производной на каждом интервале.
2. Определим значение функции в каждой из точек. Для определения значения функции в предельных точках, а также в точках разрыва или точках, где производная не существует, вычисляем пределы функции так же, как указано в разд. 5 для первого случая.
3. Определяем и записываем диапазон значений.

Примеры решений

Придумайте несколько примеров нахождения диапазона функции и приведите их решения.

Задание 1

Найдите диапазон функции y=xi по графику.

Решение:

Найдите область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня всегда положительно, т е x≥0, а область определения равна D(f(x))=</a>0; +∞). Теперь построим график функции.

Из графика видно, что минимальное значение переменной y принимает при x=0. Максимальное значение не определено, и видно, что с увеличением x увеличивается и значение y. Получили, что ymin=0, а площадь E(f(x))=</a>0; +∞).

Ответ: E(f(x))=[0]; +∞).

Задача 2

Найдите область значений функции y=4xx2+2 на интервале [-2; 2].

Решение:

Найдите область определения функции. Функция представляет собой дробь, но ее знаменатель не будет равен нулю ни при каких значениях x. На самом деле квадрат любого числа — положительное число, мы получили сумму положительных чисел в знаменателе. Тогда D=R, где R — множество действительных чисел.

Найдите производную функции: y'(x)=4xx2+2’=4(2-x2)(x2+2)2.

Приравняем числитель производной к нулю и найдем корни полученного уравнения: 8-4×2=0;x1=-2×2=2.

Отмечаем корни на оси координат, и поочередно заменяя значения x=-4,-2,2,4, определяем знаки производной на каждом интервале.

Из рисунка видно, что функция имеет минимум и максимум. Рассчитаем значения ymin и ymax:

умин=у(-2)=4 (-2)(-2)2+2=-2;

ymax=y(2)=4(2)(2)2+2=2.

Крайние точки функции входят в указанный интервал и не являются точками останова области определения функции, то есть минимальное и максимальное значения должны входить в диапазон значений.

Ответ: E(f(x))=[-2;2].

Задача 3

Найдите диапазон функции y=5x+1 на действительных числах.

Решение:

Найдите область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому D(f(x))=(-∞; -1)U(-1;+∞).

Найдите производную: y'(x)=-5(x+1)2.

Мы обнаружили, что производная не равна нулю ни при каком x. При x=-1 знаменатель производной обращается в нуль, то есть в этой точке производная не существует.

Отметим точку x=-1 и рассмотрим два интервала: (-∞;-1) и (-1;+∞).

Определим знаки производной на каждом интервале.

Из рисунка видно, что функция убывает на обоих интервалах и не имеет ни максимума, ни минимума.

Определим теперь значение функции в точке x=-1, для чего вычислим пределы функции при x→-1-0 и x→-1+0.

limx→(-1-0)5x+1=5-1-0+1=5-0=-∞;

limx→(-1+0)5x+1=5-1+0+1=5+0=+∞.

Итак, точка x=-1 является точкой разрыва второго типа.

Значение функции на границах заданного интервала -∞ и +∞ вычисляется также с использованием границ:

limx→-∞5x+1=5-∞+1=0;

limx→+∞5x+1=5+∞+1=0.

Эта функция представляет собой гиперболу с асимптотами x=-1 и y=0.

Площадь E(f(x))=(-∞; 0)U(0;+∞).

Ответ: E(f(x))=(-∞; 0)U(0;+∞).