Область ⭐ значений функции 10 класс: алгоритм нахождения области значения функции

Что такое функции, области определения и значений функции

Определение 1

Функция — это тип зависимости, в которой каждый элемент одного набора связан с элементом другого набора.

В общем, функция в алгебре обозначается как y=f(x). Переменная x называется независимой переменной или аргументом функции, переменная y называется зависимой переменной или значением функции.

Основными характеристиками функции являются:

• домен;
• область.

Определение 2

Диапазон — это набор значений, которые может принимать аргумент функции, т.е переменная x. Область определения иногда называют областью допустимых значений. Обозначение диапазона допустимых значений функции f:D(f).

Область определения также можно интерпретировать как проекцию графика функции на ось x.

Определение 3

Диапазон значений — это множество всех значений функции (переменной y), полученных путем перечисления всех значений переменной x из области определения. Для диапазона значений принято следующее обозначение: E (f).

В графическом представлении диапазон значений — это проекция графика функции на ось у.

нахождение диапазона значений производится одним из следующих способов:

• графика;
• аналитически (по уравнению).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x — независимая переменная или аргумент функции, а y — зависимая переменная или значение функции. Функция — это соответствие между двумя множествами, где каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

задание функции означает определение правила, согласно которому соответствующие значения функции могут быть найдены по значениям независимой переменной. Вот способы его установки:

• Табличный метод – помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений и расчетов.
• Графический способ визуален.
• Аналитический метод основан на формулах. Компактный, и вы можете вычислить функцию для произвольного значения аргумента из домена.
• Вербальная манера.

Область действия функции — это набор всех допустимых значений аргумента (переменной x). Геометрически это проекция графика функции на ось Ох.

Например, для функции представления область видимости выглядит так

• x ≠ 0, потому что вы не можете делить на ноль. Вы можете записать это так: D (y): (-∞; 0) ⋃ (0; +∞).

Диапазон функции — это набор всех значений, которые функция принимает в области определения. Геометрически это проекция графика функции на ось Oy.

Например, естественный диапазон функции y = x2 — это все числа, большие или равные нулю. Можно написать так: E(y):[0; +∞).

Читайте также: Что такое взаимно обратные числа?

Понятие графика функции

График функции y = f(x) — это множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением этого графика.

График функции представляет собой набор точек (x; y), где x — аргумент, а y — значение функции, соответствующее данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив вместо функции xi все числа.

Например, возьмем простейшую функцию, где аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не нужно вычислять значение функции для каждого аргумента, так как они равны, поэтому абсцисса для всех точек графика будет равна ординате.

Отметьте на координатной плоскости любые три точки, например: L(-2;-2), M(0;0) и N(1;1).

Если последовательно соединить отмеченные точки от наименьшего значения аргумента к наибольшему, то получится прямая линия. Таким образом, график функции y = x представляет собой прямую линию. На схеме это выглядит так:

Надпись на чертеже у = х есть уравнение графика. Надпись с уравнением удобно нанести на чертеж, чтобы не запутаться при решении задач.

Важно отметить, что прямая бесконечна в обоих направлениях. Хотя мы и называем часть прямым графиком функции, на самом деле на чертеже показана лишь малая часть графика.

Помнить! Не обязательно делать рисунок на весь тетрадный лист, вы можете выбрать удобный для вас масштаб, который будет отражать суть задачи.

Исследование функции

Важные моменты на графике функции y = f(x):

• стационарные и критические точки;
• экстремальные точки;
• нулевые функции;
• точки останова функций.

Стационарные точки — это точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — это точки, в которых производная функции f(x) равна нулю или не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — это максимальное или минимальное значение функции в заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Следовательно, при достижении минимума точка экстремума называется точкой минимума, а при достижении максимума — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

Асимптота – это прямая, обладающая таким свойством, что расстояние от точки до графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном расстоянии от начала координат до точки графика. По способам их нахождения различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам необходимо построить график неизвестной функции, когда невозможно заранее представить форму графика, полезно использовать схему для изучения свойств функции. Это поможет вам получить представление о графике и начать построение по точкам.

Схема построения графика для функции:

1. Найдите диапазон функции.
2. Найдите диапазон допустимых значений функции.
3. Проверьте, является ли функция четной или нечетной.
4. Проверьте, является ли функция периодической.
5. Найдите точку пересечения с осью OY (если есть).
6. Вычислить производную и найти критические точки, определить интервалы возрастания и убывания.
7. Знаковые интервалы.
8. Асимптоты.
9. На основании проведенного исследования постройте график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учащихся 1-11 классов!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, давайте потренируемся на примерах или воспользуемся онлайн-симулятором.

Упражнение 1. Построим график функции

Как мы решаем:

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции представляет собой прямую линию y = x — 1 с пробитой точкой M (-1; -2).

Упражнение 2. Построим график функции

Как мы решаем:

Выделим целую часть формулы функции:

График функции представляет собой гиперболу, сдвинутую на 3 вправо ix и 2 вверх iy и растянутую в 10 раз по сравнению с графиком функции

Упражнение 3. Построить графики функций:

а) у = 3х — 1

б) у = -х + 2

в) у = 2х

г) у = -1

Как мы решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а) у = 3х — 1

икс	у
0	-1
1	2

Как видно, k = 3 > 0 и угол наклона оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

б) у = -х + 2

икс	у
0	2
1	1

k = -1 > 0 и b = 2, мы можем сделать такие же выводы, как и в первом пункте.

в) у = 2х

икс	у
0	0
0	2

k = 2 > 0 — угол наклона оси Ox острый, b = 0 — график проходит через начало координат.

г) у = -1

k = 0 — постоянная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельна оси Ox.

Упражнение 4. Определите знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c по виду графика.

1. 
2. 
3. 

Как мы решаем:

Вспомните, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

1. Ветвится вниз, следовательно, a < 0.

   Точка пересечения с осью Oy c = 0.

   Координата вершины

2. Ветвится вверх, следовательно, a > 0.

   Точка пересечения с осью Oy c > 0.

   Координата вершины
   , так как неизвестное число при делении на положительное число дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

3. Ветвится вниз, следовательно, a < 0.

   Точка пересечения с осью Oy c > 0.

   Координата вершины
   , так как неизвестное число при делении на отрицательное дает положительный результат, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 5. Построить графики функций:

а) у = х² + 1

б)

в) у = (х — 1)² + 2

г)

д)

Как мы решаем:

Вы можете строить графики с помощью элементарных преобразований.

Если построить график функции y = f(x), то сдвигом графика f(x) будут получены следующие графики при a > 0).

• y = f(x) + a — график функции y = f(x) сдвигается вверх на a единиц;
• y = f(x) − a — график функции y = f(x) сдвинут вниз на единицу;
• y = f(x + a) — график функции y = f(x) смещен на одну единицу влево;
• y = f(x − a) — график функции y = f(x) сдвигается на единицу вправо.

Преобразуйте граф по типу y = mf(x): y = f(x) → y = mf(x), где m — положительное число.

• Если m > 1, такое преобразование графа называется растяжением по оси y с коэффициентом m.

  

• Если m < 1, такое преобразование графика называется сжатием к оси x в 1/m раз.

  

один)

Преобразовать в одну операцию как f(x) + a.

у=х²

Переместить диаграмму вверх на 1:

у = х² + 1

б)

Преобразовать в одну операцию как f(x — a).

Сдвиньте диаграмму вправо на 1:

в) у = (х — 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке операций: сначала операции в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

у=х²

Сдвиньте диаграмму вправо на 1:

у = (х — 1)²

Переместите диаграмму вверх на 2:

у = (х — 1)² + 2

г)

Преобразование в один тип действия

у = потому что (х)

Продлим график 2 раза от оси ординат по оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f(x + a), -f(x).

Для выполнения преобразований посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, потом складываем и только потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, выносим двойку из скобок модуля.

Сжимаем график дважды по оси x:

Сдвинем график влево на 1/2 по оси x:

Отразим график симметрично относительно оси x:

Способы нахождения области значений некоторых функций по графику

Чаще всего графический метод применяют для функций с достаточно простой зависимостью. При этом построение графа не вызывает затруднений.

Вот алгоритм нахождения диапазона функции по ее графику:

1. Мы ищем область действия функции. Например, для экспоненциальной функции или параболы аргумент может принимать любое значение из множества действительных чисел R, то есть E(f)=R. Если выражение f(x) является дробью, то область определения находится из условия, что знаменатель не равен нулю. Если выражение f(x) меньше квадратного корня, область определения можно найти из неравенства f(x)≥0.
2. Строим график функции по точкам.
3. По графику функции находим ее минимум. Значение y_{min} будет нижней границей диапазона. В случае, когда минимум нельзя определить визуально, то есть функция не имеет минимума, предел будет равен -∞.
4. Таким же образом мы определяем максимальное значение y_{max} и, следовательно, верхнюю границу диапазона. Если максимум не определен, предел диапазона равен +∞.
5. Записываем диапазон значений функции, при этом необходимо учитывать возможные точки останова. Точки останова возникают, например, при исключении из области определения тех значений аргументов, у которых знаменатель становится равным нулю. Диапазон записывается как числовой диапазон. Границы, входящие в область, заключаются в круглые скобки, не заключаются в круглые скобки. Если диапазон значений включает несколько числовых интервалов, они объединяются знаком «U», например: (-∞; 4]U</a>6; +∞).

Как найти область значений функции по уравнению

нахождение диапазона значений функции по заданному уравнению также сводится к вычислению экстремумов.

Рассмотрим два случая:

1. Найдите область значений функции, непрерывной на заданном интервале.
2. Найдите область значений функции, непрерывной на заданном интервале. Мы также включаем случаи, когда функция не существует в любое время. Например, нулевая точка знаменателя, где функция не существует, а область определения терпит разрыв.

Алгоритм поиска области для первого случая:

1. Находим производную функции.
2. Приравниваем производную к нулю, находим корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует – критические точки.
3. Отмечаем на прямой корни, критические точки и пределы заданного интервала и определяем знаки производной на каждом полученном интервале.
4. Нахождение минимума и максимума функции. Если в момент времени х1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка х1 максимальна, если с «-» на «+» — минимальна.
5. Подставляя значения аргументов минимума и максимума функции в выражение f(x), находим минимальное и максимальное значения функции. В случае наличия точек, где производная не существует, вычисляем значение функции через пределы по формулам: limx→x1-0f(x) и limx→x1+0f(x).
6. Запишите диапазон функции.

Для второго случая:

1. Находим производную, приравниваем ее к нулю и определяем знаки производной на каждом интервале.
2. Определим значение функции в каждой из точек. Для определения значения функции в предельных точках, а также в точках разрыва или точках, где производная не существует, вычисляем пределы функции так же, как указано в разд. 5 для первого случая.
3. Определяем и записываем диапазон значений.

Области значений разных функций

Общая форма	Функция	Площадь (Е)
топор «данные-порядок=»ax»>топор	Линейный	(E = R)» data-order=»Все действительные числа (E = R)»>Все действительные числа (Э=Р)
журнал x»данные-порядок=»log x»> войти х	Логарифмический	Э=Р
lnx «заказ данных=»ln x»>ln х
топор «данные-порядок=»ax»>топор	Демонстрация	Все положительные действительные числа.
ха»заказ данных=»xa»>ха	Власть	Э=Р
х»порядок данных=»грех x»>грех х	Синус	Е =
х»заказ данных=»cos x»> потому что х	Косинус
х»заказ данных=»tg x»>тг х	Тангенс	Е = (-∞; ∞)
х»заказ данных=»ctg x»>ctg х	Котангенс

Область определения постоянной функции

Постоянная функция записывается обычной формулой y = N, а именно f(x) = N, где N — любое действительное число. Другими словами, обычно называют константой.

Определение

Константная функция — это функция, которая всегда принимает одно и то же числовое значение, независимо от числового значения аргумента.

Область определения степенной функции

Экспоненциальная функция выглядит так: y = xk, то есть f(x) = xk, где x — переменная в основании показателя степени, a — любое число в показателе степени.

Область определения степенной функции всегда имеет прямую зависимость от значений показателя степени.

Рассмотрим основные моменты:

Если k — целое неотрицательное число, то областью определения этой функции является множество всех обязательно действительных чисел: (-∞, +∞).

Когда показатель степени не является целым числом, функция имеет следующий вид D(f) = 0, +∞).

Когда k — отрицательное целое число, область определения функции равна (-∞, 0) ∪ (0, +∞).

Для других действительных отрицательных значений a является областью определения степенной функции — числовым интервалом (0, +∞).

Если k равно нулю, функция определена для всех чисел, кроме нуля. Так как ноль нельзя возвести в степень, а любое другое число в нулевой степени равно 1.

То есть при k = 0, y = x0 = 1 в заданной области определения (-∞, 0) ∪ (0, +∞).

Область определения показательной функции

Показательная функция записывается как: y=kx

где значение x является показателем степени;

k — число, которое должно быть больше нуля и не равно единице.

Область определения экспоненциальной функции — это набор значений R.

Основные примеры экспоненциальных функций:

Область определения этих функций записывается следующим образом: (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выражается как: y=log nk

Где значение n имеет значение больше нуля и не меньше единицы. Областью определения логарифма и логарифмической функции является множество положительных значений и действительных чисел.

Рассмотрим на примере характер решения задачи этой функции.

Пример №1

y=ln x определяют область значений натурального логарифма. Д(у)=(0;+).

На заданном интервале производная будет иметь положительное значение, а функция будет возрастать на всем интервале.

y=ln x=frac{1}{x}

Определим односторонний предел, когда аргумент стремится к нулю, а значение x стремится к бесконечности.

Из этого решения мы видим, что значения будут увеличиваться от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Отсюда следует, что сумма всех действительных чисел является размахом функции натурального логарифма ln.

Ответ: множество всех действительных чисел, это диапазон функции ln.

Область определения и множество значений функций косинус, синус, тангенс, котангенс

Множество значений всех действительных чисел будет областью определения функций синуса и косинуса и будет записано следующим образом.

Функции ограничены как сверху, так и снизу.

у = грех х и у = потому что х

Интервал их действия сводится к неравенству -1 ≤ y ≤ 1

Областью определения тангенса функции tg x является выражение x neq frac{pi}{2}+pi k, k in z.

Областью определения функции y = сtg x называется множество чисел [x neq frac{pi}{2}, k in z].

В приведенных ниже примерах подробно описано решение задач при определении области значений функции для заданных интервалов значений.

Пример №1

Определить область значений функции sin x

Этот тип функции относится к периодической категории. Период равен 2π

Определим множество значений на следующем отрезке: (0;2π).

Пример #2

Необходимо определить диапазон функции cos x.

Наименьшее значение равно -1;

Наименьшее значение косинуса равно -1, потому что наименьшее значение x на окружности стремится к этому значению и, следовательно, равно -1.

Максимальное значение косинуса соответственно будет 1. Так как значение окружности x имеет число 1.

Следовательно, значение площади будет от минус одного до плюс одного. [-1;1].

Воспользуемся двойным неравенством и запишем следующее выражение:

[-1 leq cos 1 leq 1]

Диапазон значения косинуса никогда не зависит от аргумента, только если сам аргумент выражается как сложное выражение. При наличии ограничений в отношении объема и степени.

Таким образом, минимальное значение cos x, cos (15α), cos (5-11x) и т д однозначно будет равно -1;

Максимальное значение cos x, cos(4φ), cos(5x+3) равно 1.

Областью действия функции y=cos x также является интервал [-1;1].

Площадью квадрата косинуса будет интервал от нуля до единицы [0;1]. Потому что число в четной степени не является отрицательным.

Таким же образом находим диапазон значений модуля косинуса — интервал [0; 1]

[0 leq(cos альфа) leq 1]

Пример №3

y = tgx на некотором интервале [left(-frac{pi}{2}; frac{pi}{1}right)].

Решение:

Из правил алгебры известно, что производная тангенса имеет положительное значение. Следовательно, функция будет иметь возрастающую характеристику.

Далее необходимо определить функцию функции, в заданных пределах.

После завершения решения получаем увеличение значений от минус до плюс бесконечности. Решение сведется к следующему: множество — это решение заданной функции, это будет множество всех функций функции.

Пример №4

[y=(arcsin x)=frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}] на определенном интервале (-1;1).

Решение:

Для всех значений x производная будет положительной, от -1;1

Следовательно, площадь арксинуса равна:

[E=( arcsin x)=-frac{pi}{2} ; гидроразрыва { пи} {2} ]

Пример №5

Разберем функцию 2sinx2-4, где значение x меньше или равно значению 3. Необходимо вычислить площадь.

[frac{1}{x-3}] , где x > 3

Функция определена для всех значений x.

Мы наблюдаем недопустимое отображение, когда значение аргумента равно -3.

При приближении к заданному аргументу функция стремится к [-2 sin frac{3}{2}-4]. Поскольку x стремится к -3 с правой стороны, значения будут стремиться к -1.

В точке 3 имеется зазор. По мере приближения функции к этому зазору ее численные значения приближаются к -1. Минус бесконечность будет наблюдаться при стремлении к такой точке, но только с правой стороны.

Отсюда следует, что весь диапазон значений этой функции разбит на три интервала. (-;−3, (−3;3, (3;+)(-;-3, (-3;3, (3;+).

Первый интервал имеет функцию следующего вида [y=2 sin frac{3}{2}-4]. Так как синус должен быть меньше или равен 1, либо больше или равен -1. Получаем следующее выражение:

[-1 leq sin frac{3}{2} leq 1] отсюда следует [-2 leq 2 sin frac{3}{2} leq 2 Rightarrow-6 leq 2 sin frac{3}{2}-4 leq-2]

На интервале -∞;-3 функция имеет следующие значения [-6;-2].

Функция y=-1 получается на полуинтервале (−3;3), поэтому на этом интервале все значения будут приведены к одному числу, а именно -1.

Проанализируем второй интервал (3;-+∞). Поскольку функция [y=frac{1}{x-3}] меньше нуля, она будет убывающей [y=frac{-1}{(x-) 2}<0]. Интервал редукции будет от плюс бесконечности до нуля, но до нуля не дойдет.

Если x больше 3, большинство наборов функций будет находиться в диапазоне от нуля до +∞.

f(x)=-6;-2-1∪(0;+∞).

Таблица областей определения функций

Давайте создадим таблицу, в которой мы покажем связь между доменом функции и самой функцией.

Способы задания функции

Аналитический метод в виде формулы. Например:

у = х4-5х3+6х2 ;

у = х2-3х3+6х2 ;

у=х3-2х2+6х2.

Таблица наборов значений (x; y).

Графически. Два значения (x; y) отображаются на координатной плоскости

Методы определения области значения функции

• определить значения аргументов сложной функции;
• метод оценки;
• используя свойства непрерывности и монотонности функции;
• применение производной стоимости;
• использовать максимальное и минимальное значения функции;
• построение графика;
• входные параметры;
• обратная функция и ее функции.

Особенности делятся на две категории:

• даже.
• странный

Определение множества значений функции графическим методом

Графический метод заключается в построении графика функции и изучении этого графика. Этот способ наиболее удобен, если не известна никакая закономерность изменения функции f(x), а есть лишь набор произвольных точек или сам график.

Пример 1

Рисунок 1. Определение набора значений функции графическим методом

На этом рисунке диапазон функции y=f(x) равен E(y)=3, так как функция y не меняет своего значения на всем отрезке и всегда равна 3 , а область определения функции D(y)=[0;3.5].

При этом скобки области определения функции должны быть квадратными, так как обе точки заполнены, то есть включены в отрезок. Если точки не заполнены, то они не включаются в отрезок и тогда используются скобки.

«Набор функциональных величин» Готовые курсовые и рефераты Купить от 250 ₽ Консультация специалиста по теме Найти эксперта Помощь в написании курсовой Получить предложение

Метод нахождения области значения функции через производную

Метод нахождения диапазона функции через производную состоит в том, чтобы сначала оценить диапазон ее определения (то есть определить значения, которые может принимать аргумент x, а затем выполнить процедуру нахождения самой производной. После этого значения x, где производная функции равна нулю и для которых производная не существует.

Рассмотрим пример нахождения диапазона функции через ее производную.

Пример 2

Дана функция f(x)=sqrt{16-x^2}. Найдите диапазон.

Сначала мы определяем, какие значения может принимать x, чтобы функция существовала.

При значении x^2>16 получается отрицательное число под корнем, а значит, область определения функции от [-4;4] включительно.

Теперь найдем производную функции:

(sqrt{16-x^2})’=-frac{x}{sqrt{16-x^2}}

Если знаменатель производной равен нулю, то производная не существует, в этом случае это условие выполняется при x=±4.

Приравняйте производную к нулю и найдите значения x. Производная этой функции имеет нулевое значение при x=0. Теперь подставляем найденные значения производной в нашу функцию и получаем, что наименьшее значение функции равно f(4)$ и $f(-4), для этих значений функция равна ноль, а наибольшее значение f(x) имеет место при x=0, в этот момент функция равна 16.

Метод поиска минимума и максимума

Метод поиска минимума и максимума основан на нахождении максимального и минимального значений, которые функция принимает на интересующей области.

Пример 3

Определить диапазон функции:

y=6-4sinx

Проанализируем эту функцию. Поскольку минимальное значение синуса минус единица, а максимальное значение равно единице, подставляя эти значения, получаем, что max(f(x))=10 при x=frac{3π}{2} , и минимум  min (f(x))=2 при x=frac{π}{2}. Следовательно, набор значений, которые может принимать эта функция, равен E(x)=[2;10].

Области определения основных элементарных функций

Объем функции является неотъемлемой частью самой функции. Когда мы вводим функцию, мы сразу же указываем ее область действия.

На занятиях по алгебре мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямой пропорциональности, линейной функцией, функцией у = ху и другими.

И изучаем области их определения как свойств.

Определения области значения функции x

На примерах рассмотрим, как определить диапазон функции.

Первоначально необходимо определить значения непрерывной функции y=f(x).

Известно, что функция непрерывна и достигает своих максимальных max f(x) и минимальных min f(x) значений в разные периоды. Отсюда следует отрезок, куда помещаются значения исходной функции. Тогда решение состоит в том, чтобы найти максимальную и минимальную точки.

Пример №1

Необходимо рассчитать диапазон уравнения

y = x4-5×3+6×2 на отрезке [1;4][1;4].

Чтобы устранить проблему, выполните следующие действия:

Следующим шагом является определение значений функции в конечной и начальной точках.

Ответ: [left(frac{117-165 cdot sqrt{33}}{512} ; 32right)].

Пример #2

Необходимо рассчитать диапазон уравнения

y = x4-7×3+5×2 на отрезке [1;4] [1;4]

Чтобы устранить проблему, выполните следующие действия:

Следующим шагом является определение значений функции в конечной и начальной точках.

Ответ: [left(frac{231-165 cdot sqrt{33}}{512} ; 34right)].

Пример №3

В этом примере мы подробно рассмотрим, как вычисляются значения непрерывной функции y = f(x), на определенных интервалах.

Для этого сначала вычисляем:

• наименьшее и наибольшее значение;
• определить интервал возрастания и убывания функции;
• односторонние границы;
• предел бесконечности.

Решение:

В качестве решения возьмем функцию [y=frac{1}{x^{2}-4}] и вычислим площадь на интервале (-2;2).

Находим наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке.

Из этих расчетов видно, что максимальное значение равно 0, так как в этот момент у функции меняется знак и, следовательно, функция начинает убывать.

А именно: [y=frac{1}{0^{2}-4}=-frac{1}{4}];

[-frac{1}{4}] — будет наибольшим значением данной функции.

Следующим шагом в нашем решении является нахождение направления функции. Когда значение x стремится к (-2) и (+2).

Другими словами, в алгебре эти значения называются односторонними пределами.

Решение выглядит так.

В итоге получаем, что в диапазоне от -2 до 0 функции будут возрастать от -∞ до [-frac{1}{4}]. Если аргумент изменится с 0 на наоборот, он уменьшится до -∞.

Следовательно, искомый набор значений будет находиться на интервале от -∞ до [-frac{1}{4}].

Ответ: [left(infty-frac{1}{4}right)].

Пример №4

В качестве решения возьмем функцию [y frac{1}{x^{2}-6}] и вычислим площадь на интервале (-2;3).

Находим наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке.

Из этих расчетов видно, что максимальное значение равно 0, так как в этот момент у функции меняется знак и, следовательно, функция начинает убывать.

А именно: [y(0)=frac{1}{0^{2}-6}=-frac{1}{6}];

[-frac{1}{6}] — будет наибольшим значением данной функции.

Следующим шагом в нашем решении является нахождение направления функции. Когда значение x стремится к (-2) и (+4).

Другими словами, в алгебре эти значения называются односторонними пределами.

Решение выглядит так.

В итоге получаем, что в диапазоне от -2 до 0 функции будут возрастать от -∞ до [-frac{1}{6}]. Если аргумент изменится с 0 на наоборот, он уменьшится до -∞.

Следовательно, искомый набор значений будет находиться на интервале от -∞ до [-frac{1}{6}].

Ответ: (-∞ [-frac{1}{6}]).

Область определения функции y

Пример №1

Эта функция имеет определенное значение, только для положительных значений. D(у) = (0;+).

Производная будет выглядеть так: [y=(ln x)=frac{1}{x}].

Так как функция имеет положительное значение, то на всем интервале будет наблюдаться ее возрастание. От -∞ до +∞.

Таким образом, диапазон представляет собой набор всех натуральных значений.

Пример #2

Функция [y=frac{9}{z^{2}-1}];

Если значение z положительно, функция будет считаться определенной.

Вычисляем наибольшее и наименьшее значения, а также интервалы возрастания и убывания.

Если значение x больше или равно 0, функция будет уменьшаться.

Если x меньше или равен нулю, функция будет возрастать.

Затем рассмотрим функцию функции и ее значение на бесконечной прямой.

Вывод: при изменении аргумента от -∞ до 0 значение функции увеличивается от 0 до 9. При изменении значений аргумента от 0 до +∞ значение функции уменьшается от 9 до 0.

Пример №3

Определить площадь [y=frac{x}{x-2}];

По правилам математики знаменатель не может быть равен нулю. Следовательно: D(y)=(-∞;2)(+∞;2).

Определим множества на первом отрезке (-∞;2). На этом отрезке функция будет убывающей и значение будет отрицательным.

Функция начнет асимметрично приближаться к 1 по мере изменения аргумента в сторону минус бесконечности.

Определим множества на втором отрезке (+∞;2). На этом отрезке функция также будет убывающей.

Вывод: E(y) = (∞;1)∪(1;∞).

Пример №4

Вычислить диапазон функции [y=frac{2}{sqrt{2 x-1}}+3]

[y=2 cdot(2 x-1)^{-frac{1}{2}}+3]

Функция и мы получаем следующий вид уравнения: [y=x^{-frac{1}{2}}];

Диапазон значений будет следующим: (0;+∞);

[(2 x-1)^{-frac{1}{2}}>0]

В этом случае: [(2 x-1)^{-frac{1}{2}}>0 Rightarrow 2 cdot(2 x-1)^{-frac{1}{2}}> 0 Стрелка вправо 2 cdot(2 x-1)^{-frac{1}{2}}+3>3]

Следовательно, E(y) = (3;+∞).

Пример №5

Определить площадь [y=frac{x}{x-2}];

По правилам математики знаменатель не может быть равен нулю. Следовательно: D(y)=(-∞;2)(+∞;2).

Определим множества на первом отрезке от минус бесконечности до двух (-∞;2). На этом отрезке функция будет убывающей и значение будет отрицательным.

Функция начнет асимметрично приближаться к 1 по мере изменения аргумента в сторону минус бесконечности.

Определим множества на втором отрезке (+∞;2). В этом сегменте функция также будет сокращена

Вывод решения: E(y) = (+∞;1)∪(1;+∞).

Подводя итоги изученного материала, стоит отметить следующие моменты:

Чтобы вычислить и определить диапазон функции, необходимо знать основные правила математики.

Всегда помните, что делить на ноль ни в коем случае нельзя, это недопустимое действие. Число, из которого вы хотите вычислить корень числа, также должно быть положительным.

Очень удобно свести все основные законы определения диапазона значений в таблицу и использовать ее в процессе обучения.

Примеры решений

Придумайте несколько примеров нахождения диапазона функции и приведите их решения.

Задание 1

Найдите диапазон функции y=xi по графику.

Решение:

Найдите область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня всегда положительно, т е x≥0, а область определения равна D(f(x))=</a>0; +∞). Теперь построим график функции.

Из графика видно, что минимальное значение переменной y принимает при x=0. Максимальное значение не определено, и видно, что с увеличением x увеличивается и значение y. Получили, что ymin=0, а площадь E(f(x))=</a>0; +∞).

Ответ: E(f(x))=[0]; +∞).

Задача 2

Найдите область значений функции y=4xx2+2 на интервале [-2; 2].

Решение:

Найдите область определения функции. Функция представляет собой дробь, но ее знаменатель не будет равен нулю ни при каких значениях x. На самом деле квадрат любого числа — положительное число, мы получили сумму положительных чисел в знаменателе. Тогда D=R, где R — множество действительных чисел.

Найдите производную функции: y'(x)=4xx2+2’=4(2-x2)(x2+2)2.

Приравняем числитель производной к нулю и найдем корни полученного уравнения: 8-4×2=0;x1=-2×2=2.

Отмечаем корни на оси координат, и поочередно заменяя значения x=-4,-2,2,4, определяем знаки производной на каждом интервале.

Из рисунка видно, что функция имеет минимум и максимум. Рассчитаем значения ymin и ymax:

умин=у(-2)=4 (-2)(-2)2+2=-2;

ymax=y(2)=4(2)(2)2+2=2.

Крайние точки функции входят в указанный интервал и не являются точками останова области определения функции, то есть минимальное и максимальное значения должны входить в диапазон значений.

Ответ: E(f(x))=[-2;2].

Задача 3

Найдите диапазон функции y=5x+1 на действительных числах.

Решение:

Найдите область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому D(f(x))=(-∞; -1)U(-1;+∞).

Найдите производную: y'(x)=-5(x+1)2.

Мы обнаружили, что производная не равна нулю ни при каком x. При x=-1 знаменатель производной обращается в нуль, то есть в этой точке производная не существует.

Отметим точку x=-1 и рассмотрим два интервала: (-∞;-1) и (-1;+∞).

Определим знаки производной на каждом интервале.

Из рисунка видно, что функция убывает на обоих интервалах и не имеет ни максимума, ни минимума.

Определим теперь значение функции в точке x=-1, для чего вычислим пределы функции при x→-1-0 и x→-1+0.

limx→(-1-0)5x+1=5-1-0+1=5-0=-∞;

limx→(-1+0)5x+1=5-1+0+1=5+0=+∞.

Итак, точка x=-1 является точкой разрыва второго типа.

Значение функции на границах заданного интервала -∞ и +∞ вычисляется также с использованием границ:

limx→-∞5x+1=5-∞+1=0;

limx→+∞5x+1=5+∞+1=0.

Эта функция представляет собой гиперболу с асимптотами x=-1 и y=0.

Площадь E(f(x))=(-∞; 0)U(0;+∞).

Ответ: E(f(x))=(-∞; 0)U(0;+∞).