Обыкновенные дроби

Доля целого

Доля – это каждая из равных частей, на которые делится целое.

Возьмем, к примеру, два мандарина. Когда мы их очистим, у нас получится разное количество долек или частей в каждом мандарине. У одного их может быть 6, а у другого целых 9. Размеры подвоев у каждого мандарина тоже разные.

Каждая акция имеет свое название: оно зависит от количества акций в конкретном субъекте. Если в мандате шесть долей, то каждая из них будет определяться как одна шестая часть всего.

• Половина — одна вторая доля предмета или 1/2.
• Третий — треть предмета или 1/3.
• Четверть — четверть предмета или 1/4.

Понятие пропорции можно применять не только к объектам, но и к количествам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ширина составляет треть метра.

Читайте также: Система СИ

Как устроена обыкновенная дробь

Правильная дробь — это запись вида m/n, где m и n — натуральные числа.

Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая черта.

Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m над чертой. Числитель — это дивиденды — то, что мы делим.

Знаменатель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число n под чертой. Знаменатель — это делитель, то есть на сколько мы делим.

Линия между числителем и знаменателем является знаком деления.

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых верно равенство: a*d=b*c Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1*4=2* 2.

Разные обыкновенные дроби — это обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c неверно.

Числитель и знаменатель

Определение 4

Числитель обыкновенной дроби mn или m/n — натуральное число m.

Знаменатель обыкновенной дроби mn или m/n — натуральное число n.

Числитель — это число над чертой в правильной дроби (или слева от косой черты), а знаменатель — число под чертой (справа от косой черты).

Что означают числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает, из скольких долей состоит статья, а числитель дает нам информацию о том, сколько таких долей считается. Например, обыкновенная дробь 754 указывает нам на то, что некий объект состоит из 54 долей, а мы для рассмотрения взяли 7 таких долей.

Как устроена десятичная дробь

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т д. Получается, что десятичная дробь — это то, что получается при делении числителя на знаменатель. Десятичная дробь записывается в строке, разделенной запятой, чтобы отделить целую часть от дробной части. Как это:

• 0,3
• 4.23
• 9939

Замыкающая десятичная дробь — это дробь, в которой точно определено количество цифр после запятой.

Бесконечное десятичное число — это когда количество цифр после запятой бесконечно. Для удобства математики договорились округлить эти числа до 1-3 после запятой.

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Знаменатель правильной дроби может быть равен единице. В этом случае можно говорить о том, что рассматриваемый объект (ценность) является неделимым, чем-то целым. Числитель в такой дроби будет указывать, сколько таких предметов взято, т е обыкновенная дробь вида m1 имеет смысл натурального числа m. Это утверждение обосновывает равенство m1 = m.

Запишем последнее равенство так: m = m1. Это даст нам возможность использовать любое натуральное число в виде обыкновенной дроби. Например, число 74 является обыкновенной дробью формы 741.

Определение 5

Любое натуральное число m можно записать в виде правильной дроби, где знаменатель равен единице: m1.

В свою очередь, любая обыкновенная дробь вида m1 может быть представлена ​​натуральным числом m.

Равные и неравные обыкновенные дроби

Логическим действием является сравнение обыкновенных дробей, ведь очевидно, что, например, 18 яблок отличны от 78.

Результат сравнения обыкновенных дробей может быть: равным или неравным.

Определение 6

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби ab и cd, для которых верно равенство: a · d = b · c.

Разные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби ab и cd, для которых равенство: a · d = b · c не выполняется.

Пример равных дробей: 13 и 412 — так как выполняется равенство 1 12 = 3 4.

В случае, когда оказывается, что дроби не равны, обычно необходимо также выяснить, какая из данных дробей меньше, а какая больше. Чтобы ответить на эти вопросы, сравнивают обыкновенные дроби, приводя их к общему знаменателю, а затем сравнивая числители.

Дробные числа

Каждая дробь представляет собой запись дробного числа, которая на самом деле является лишь «оболочкой», визуализацией смысловой нагрузки. Но все же для простоты мы объединяем термины дробь и дробное число, проще говоря — дробь.

Черта дроби как знак деления

Приведенное выше представление данного объекта в виде n долей есть не что иное, как деление на равные части. Когда объект делится на части, у нас есть возможность разделить его поровну между n людьми — каждый получает свою долю.

В случае, когда у нас изначально есть m одинаковых предметов (каждый разделен на части), эти m предметов можно разделить поровну между n людьми, что дает каждому из них долю от каждого из m предметов. В этом случае у каждого человека будет m долей по 1n, а m долей по 1n дадут обыкновенную дробь mn. Следовательно, обыкновенную дробь mn можно использовать для обозначения деления m элементов между n людьми.

В полученном предложении устанавливается связь между обыкновенными дробями и делением. И эту связь можно выразить так: черту дроби можно понимать как знак деления, т е m/n = m : n.

Используя обыкновенную дробь, мы можем записать результат деления двух натуральных чисел. Например, деление 7 яблок на 10 человек будет записано как 710: каждый получит по семь десятых.

Дроби на координатном луче

Все дробные числа, как и все другие числа, имеют свое уникальное расположение на координатном луче: между дробями и точками на координатном луче существует взаимно однозначное соответствие.

Чтобы найти точку на координатном луче, обозначающую долю mn, необходимо отложить в положительном направлении от начала координат m отрезков, длина каждого из которых будет составлять 1n долю единичного отрезка. Сегменты можно получить, разделив один отрезок на одинаковые части.

В качестве примера обозначим точку М на координатном луче, что соответствует дроби 1410. Длина отрезка, концами которого являются точка О и ближайшая точка, отмеченная черточкой, равна 110 долям единичный сегмент. Точка, соответствующая дроби 1410, находится на расстоянии 14 таких отрезков от начала координат.

Если дроби равны, т е соответствуют одному и тому же дробному числу, то эти дроби выступают координатами одной и той же точки на координатном луче. Например, координаты в виде равных дробей 13, 26, 39, 515, 1133 соответствуют одной и той же точке координатного луча, расположенной на расстоянии одной трети единичного отрезка, смещенного от начала координат в положительном направлении.

Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном координатном луче, направленном вправо, точка, соответствующая большей дроби, будет располагаться правее точки, соответствующей меньшей дроби. И наоборот: точка, координата которой составляет меньшую дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует большая координата.

Правильные и неправильные дроби, определения, примеры

Деление дробей на правильные и неправильные основано на сравнении числителя и знаменателя внутри одной и той же дроби.

Определение 7

Правильная дробь – это обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя. То есть, если выполняется неравенство m < n, то обыкновенная дробь mn правильная.

Неправильная дробь – это правильная дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. То есть, если неравенство не определено, то обыкновенная дробь mn неправильная.

Вот несколько примеров: — Правильные дроби:

Пример 1

5/9, 367, 138514;

— неправильные дроби:

Пример 2

13/13, 573, 901112, 167.

Также можно дать определение правильной и неправильной дроби, основанное на сравнении дроби с единицей.

Определение 8

Правильная дробь – это правильная дробь, которая меньше единицы.

Неправильная дробь – это обыкновенная дробь, которая больше или равна единице.

Например, дробь 812 верна, потому что 8 12< 1. Дроби 532 и 1414 неверны, потому что 532 > 1 и 1414 = 1.

Давайте немного углубимся в размышления о том, почему дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю, называются неправильными».

Рассмотрим неправильную дробь 88: она говорит нам, что взято 8 частей предмета, состоящего из 8 частей. Таким образом, из имеющихся восьми долей можно составить целый объект, т.е данная дробь 88 по существу представляет собой весь объект: 88=1. Дроби, у которых числитель и знаменатель совпадают, полностью заменяют натуральное число 1.

Также рассмотрим дроби, у которых числитель превышает знаменатель: 115 и 363. Понятно, что дробь 115 указывает на то, что мы можем составить из нее целых два предмета и она все равно будет пятой частью. Дробь 115 – это 2 элемента и еще 15 от нее. В свою очередь, 363 — это дробь, которая на самом деле означает 12 целых объектов.

Эти примеры позволяют сделать вывод, что неправильные дроби можно заменить натуральными числами (если числитель делится на знаменатель без остатка: 88 = 1; 363 = 12) или суммой натурального числа и правильной дроби (если числитель не делится на знаменатель без остатка: 115 = 2 + 15). Наверное, поэтому такие дроби и называются «неправильными».

Здесь мы также встречаемся с одним из самых важных навыков работы с числами.

Определение 9

извлечь из неправильной дроби целую часть — значит записать неправильную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

Также обратите внимание, что существует тесная связь между неправильными дробями и смешанными числами.

Положительные и отрицательные дроби

Выше мы сказали, что каждой обыкновенной дроби соответствует положительное дробное число. Обыкновенные дроби — положительные дроби. Например, дроби 517, 698, 6479 положительные, а когда нужно подчеркнуть «положительность» дроби, то ее пишут со знаком плюс: +517, +698, +6479.

Если мы присвоим правильной дроби знак минус, то результирующая запись будет записью с отрицательным номером дроби, а в данном случае речь идет об отрицательных дробях. Например -817, -7814 и так далее

Положительные и отрицательные дроби mn и -mn являются противоположными числами. Например, дроби 78 и -78 противоположны.

Положительные дроби, как и вообще все положительные числа, означают прибавление, изменение в сторону увеличения. В свою очередь отрицательные дроби соответствуют потреблению, изменению в сторону снижения.

Если мы рассмотрим координатную линию, то увидим, что отрицательные дроби расставлены слева от точки отсчета. Точки, соответствующие противоположным дробям (mn и -mn), располагаются на одинаковом расстоянии от начала координат О, но по разные стороны от него.

Здесь мы также говорим отдельно о дробях, записанных как 0n. Такая дробь равна нулю, т.е. 0n=0.

Суммируя все вышесказанное, мы пришли к важнейшему понятию рациональных чисел.

Определение 10

Рациональные числа представляют собой набор положительных дробей, отрицательных дробей и дробей вида 0n.

Свойства дробей

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то получится дробь, равная заданному. Формула выглядит следующим образом:

где а, b, k — натуральные числа.

Основные характеристики Дробь не имеет значения, если знаменатель равен нулю. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.

Обычные и десятичные дроби — старые друзья. Вот как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, целая часть равна нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в ее обыкновенной форме, если знаменатель обыкновенной дроби содержит числа 10, 100, 1000 и т д
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если знаменатель обыкновенной дроби содержит числа 10, 100, 1000 и т д. То есть 1 цифра является делителем 10 , 4 цифры — это делитель 10000.

У нас отличные курсы по математике для школьников с 1 по 11 класс, записывайтесь!

Действия с дробями

С дробями можно производить те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А дроби можно сокращать и сравнивать друг с другом. Давай попробуем.

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой больше числитель.

Сравните 1/5 и 4/5. Как мы спорим:

1. Обе дроби имеют знаменатель 5.
2. Числитель равен 1 в первой дроби и 4 во второй дроби.1 < 4

    

3. Следовательно, первая дробь на 1/5 меньше второй на 4/5.
   

Из двух дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше.

Сравните 1/2 и 1/8. Как мы спорим:

Допустим, у нас есть торт. Так как знаменатель первой дроби равен 2, делим торт на две части и берем одну себе, то есть половину торта.

Знаменатель второй дроби равен 8, делим торт на восемь частей и откусываем понемногу. Половина торта больше, чем маленький кусочек.

Итак, 1/2 > 1/8.

Чтобы сравнивать дроби с разными знаменателями, необходимо привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю можно использовать правило для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравните 2/7 и 1/14.

Как мы спорим:

1. Приведем дроби к общему знаменателю:
   
2. Сравните дроби с одинаковыми знаменателями:
   

Ответ: 2/7 > 1/14.

Важно помнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.

Для сравнения дробей с разными числителями и знаменателями:

• привести дроби к общему знаменателю;
• сравните полученные дроби.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно:

1. Найдите общее кратное знаменателей дробей, которое и будет их общим знаменателем.
2. Разделите общий знаменатель на знаменатель данных дробей, то есть найдите дополнительный множитель для каждой дроби.
3. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.

Сокращение дробей

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сокращение дроби означает ее сокращение и облегчение чтения. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и аккуратнее, чем 27/81.

Сокращение дроби выглядит так: зачеркните числитель и знаменатель, а рядом запишите результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

В этом примере мы делим обе части дроби на два.

Нельзя никуда спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями числитель второй дроби прибавляется к числителю первой дроби (числитель второй вычитается из числителя первой) и остается тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можете ли вы уменьшить дробь и изолировать всю часть.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями найдите наименьший общий знаменатель, сложите или вычтите полученные дроби (используйте предыдущее правило).

Вот что нужно сделать:

1. Найдите наименьшее общее кратное, чтобы определить общий делитель.
   Для этого впишите в столбик числа, которые в сумме составляют значения делителей. Затем умножаем результат и получаем НОК.

   

   НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

    

2. Найдите несколько факторов для каждой дроби. Для этого разделим НОК на каждый знаменатель:90 : 15 = 6

   90 : 18 = 5.

   Полученные числа пишем справа сверху над счетчиком.

   

3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: умножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель. После умножения знаменатель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы вычислили ранее. Затем можно переходить к дополнениям.
   
4. Проверяем результат:
   • если числитель больше знаменателя, необходимо преобразовать дробь в смешанное число;
   • если есть что резать, надо резать.

Решение в одну строку:

сложение или вычитание смешанных чисел может привести к раздельному сложению их целых и дробных частей. Для этого нужно действовать по шагам:

1. Соберите целые части.
   
   
2. Добавьте дроби.
   
   Надо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.

    

3. Подведите итоги.
   

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, выделите целую часть и прибавьте ее к ранее полученной целочисленной части.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

Не забывайте о сокращении. Это может облегчить расчеты.

Чтобы умножить два смешанных числа:

1. преобразовать смешанные дроби в нелегитимные;
2. умножать числители и знаменатели дробей;
3. уменьшить полученную фракцию;
4. если получилась неправильная дробь, преобразовать ее в смешанную.

Чтобы разделить дробь на дробь, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

• умножьте числитель первой на знаменатель второй, результат произведения введите в числитель новой дроби;
• умножьте знаменатель первой на числитель второй, результат произведения введите в знаменатель новой дроби.

Другими словами, это правило звучит так: чтобы разделить дробь на другую, надо первую умножить на обратную вторую.

Числа, произведение которых равно 1, называются обратными.

Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей не имеют значения, ведь все дроби делятся по описанному выше правилу.

Как делить смешанные числа:

• представлять числа в виде неправильных дробей;
• делитесь полученным.

Возведение в степень и извлечение корня

Дроби можно возводить в степени. В этом случае необходимо произвести арифметическую операцию возведения в степень отдельно со знаменателем и числителем этой дроби:

абн=анбн,б≠0.

Пример 8

233=2333=827

Вы можете получить корень из дробей. Чтобы справиться с такой задачей, необходимо отдельно из числителя и знаменателя извлечь данный корень:

абн=анбн,б≠0.

Пример 9

641253=6431253=45.

Перевод других видов дробей в правильную форму

Чтобы преобразовать неправильную дробь в правильную или выполнить обратную операцию, необходимо соблюдать определенный порядок. Прямой перевод невозможен. Результатом такой операции будет преобразованная запись, содержащая как целое, так и дробное число. Последовательность действий:

• упростить запись дробного соотношения;
• вычислить произведение целой части на делитель дробной части;
• прибавьте результат умножения к числителю;
• полученную величину запишите в виде делимого преобразованного выражения;
• знаменатель должен остаться прежним.

Достаточно простым методом удобно преобразовывать числа из одной формы в другую. Этот алгоритм можно записать в виде математического уравнения:

na÷b=((n×b)+a)÷b

Смешанные отношения – это сумма целого и части. Чтобы понять, как преобразовывать дроби, вы должны выполнить сложение как арифметическую операцию. При этом первый член необходимо записать в виде неправильной дроби путем деления целого числа на 1. Кроме того, целесообразно использовать правило сложения дробей. Производится поиск общего знаменателя, дополнительных множителей, сложение в числителе. Формула выглядит следующим образом:

na÷b=n÷1+a÷b=((n×b)+a)÷b

Вы можете превратить неправильную дробь в правильную дробь, преобразовав ее в смешанную дробь. При этом выражение записывается в виде суммы натурального числа и правильной дроби:

1. Найдите отношение между делимым и делителем.
2. Запишите результат в счетчик.
3. Знаменатель будет равен исходному числу в делителе.
4. Присвойте частное выражению в виде целой дроби.

Более простой способ преобразования дробей — представить делимое в виде суммы дробей. Важно, что при делении одного из них не остается остатка:

m÷n=(k+c)÷n=k÷n+c÷n

Здесь k÷n — целое число, а c÷n — правильная дробь.

Нахождение части от целого (дроби от числа)

Чтобы найти часть целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и умножить результат на числитель той же дроби.

Задача нахождения части целого — это, по сути, задача нахождения дроби числа. Чтобы найти дробь (часть) числа, необходимо умножить число на эту дробь.

Нахождение целого по его части (числа по его дроби)

Чтобы найти целое с его частью, нужно число, соответствующее этой части, разделить на числитель дроби, выражающей эту часть, и умножить результат на знаменатель той же дроби.

Задача нахождения целого из его части по сути является задачей нахождения числа из дроби. Чтобы найти число после дроби, нужно данное значение разделить на эту дробь.

Правильная дробь — что это такое в математике

Определение 1

Дробью в математике называется число, включающее в себя одну или несколько равных частей (или дробей) единицы.

Виды дробей в зависимости от формы записи:

Здесь число над чертой является счетчиком. Под чертой находится знаменатель. Числитель — делимое, а знаменатель — делитель.

Определение 2

Правильная дробь — это дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя.

Определение 3

Неправильная дробь — это дробь, числитель которой по модулю больше или равен знаменателю.

Пример 1

Правильные дроби:

Неправильные дроби:

Примечание 1

Любое целое число, не равное нулю, можно записать в виде неправильной обыкновенной дроби. Тогда знаменатель будет равен 1.

Основное свойство дроби можно сформулировать так: при умножении или делении числителя и знаменателя, принадлежащих одной и той же дроби, на одно и то же число дробь не изменится, изменится только ее запись. Например:

Чем отличается правильная от неправильной и смешанной, как определить

Правильная дробь отличается тем, что у нее числитель меньше знаменателя.

В качестве наглядного примера мы можем написать правильные дроби:

Обратите внимание, что во всех зафиксированных случаях числитель меньше знаменателя.

По сравнению с неправильной дробью правильная дробь всегда меньше 1. В то время как неправильная дробь больше или равна 1.

Сравнение различных типов фракций:

Обращение числа с целой и дробной частями в неправильную дробь

Число, состоящее из целого числа и дроби, можно преобразовать в неправильную дробь. Например,

.

.

В общем случае, чтобы записать число в виде неправильной дроби, умножьте целую часть на знаменатель дроби и прибавьте числитель дроби к произведению. Полученная величина будет числителем дроби, а знаменатель – знаменателем дроби.

Как выделить целую часть из неправильной дроби

Из любой неправильной дроби можно извлечь целую часть. Для этого делим числитель на знаменатель с остатком. Частное от деления будет целой частью числа, остаток — числителем, а делитель — знаменателем. Например, .

Примеры задач с решением

Задание 1

В учебнике 100 листов. Студент прочитал ½ от общего количества страниц. Необходимо определить количество листов, которые прочел студент.

Решение

100÷2×1=50

Ответ: Ученик прочитал 50 страниц учебника.

Задача 2

Представляет собой стеклянную емкость, наполненную водой, весом 550 гр. Половину воды вылили, а масса остатка составила 300 грамм. Необходимо рассчитать первоначальный вес воды и массу пустой емкости.

Решение

Величина вылитой массы воды:

550 — 300 = 250

250 г — это половина всей воды, поэтому вся вода весит:

250×2=500

550 — 500 = 50

Ответ: сначала в сосуде было 500 грамм воды, масса сосуда 50 грамм.

Задача 3

Кассир удерживает сумму 450 руб. Необходимо определить сумму в кассе после вычета 1/3 от общей суммы.

Решение

450÷3×1=150

450 — 150 = 300

Ответ: В кассе осталось 300 рублей.