Объём конуса

Элементы конуса

Определение. Вершиной конуса является точка (К), из которой выходят лучи. Определение. Основание конуса — это плоскость, образованная пересечением плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основания, как окружность, эллипс, гипербола и парабола. Определение Образующая конуса (L) — это любой отрезок, соединяющий вершину конуса с границей основания конуса. Образующая — это отрезок луча, выходящего из вершины конуса):

Л 2 = Р 2 + Н 2

Определение. Направляющая конуса – это кривая, описывающая контур основания конуса. Определение. Боковая поверхность конуса есть сумма всех образующих конуса. То есть поверхность, образованная движением образующей по направляющей конуса Определение Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса Определение Высота конуса (Н) – это отрезок, выходящий из вершине конуса и перпендикулярна основанию. Определение. Ось конуса (а) представляет собой прямую линию, проходящую через вершину конуса и центр основания конуса. Определение конусности (С) конуса – это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса это отношение разности диаметров сечений D и d усеченного конуса и расстояния между ними:

С =	Д	и С =	Д — д
ЧАС	час

где C — конусность, D — диаметр основания, d — диаметр меньшего основания, h — расстояние между основаниями.
Конусность характеризует остроту конуса, то есть угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее будет угол наклона угла конусности α:

α = 2 угл	Р
ЧАС

где R — радиус основания, H — высота конуса.
Определение: осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, где стороны образованы образующими, а основание треугольника является диаметром основания конуса.
Определение: Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению конуса. Конус, покоящийся на окружности, эллипсе, гиперболе или параболе, называется круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом соответственно (последние два имеют бесконечный объем).
Определение: Прямой конус — это конус, ось которого перпендикулярна основанию. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой Формула Объем круглого конуса:

В =	1	πHR2
3

где R — радиус основания, а H — высота конуса. Формула. Площадь боковой поверхности (Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:

Sb=πRL

Формула. Суммарная площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса по радиусу R и длине образующей L:

Sp = πRL + πR2

Определение: Наклонный (наклонный) конус – это конус, ось которого не перпендикулярна основанию. У такого конуса ось не совпадает с высотой Формула Объем любого конуса:

В =	1	Ш
3

где S — площадь основания, а H — высота конуса.
Определение. Усеченный конус — это часть конуса, расположенная между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельной основанию. Формула. Объем усеченного конуса:

В =	1	(S2H-S1h)
3

где S1 и S2 — площади меньшего и большего основания соответственно, а H и h — расстояние от вершины конуса до центра нижнего и верхнего основания соответственно.

Читайте также: Калькулятор преобразования ампер (А) в кВА

Уравнение конуса

1. Уравнение прямого кругового конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):

х2	+	у2	—	z2	= 0
а2	а2	с2

2. Уравнение прямого эллиптического конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):

х2	+	у2	=	z2
а2	би 2	с2

Связанные определения для конуса

Генератор конуса. Отрезок, соединяющий вершину и ребро основания, называется образующей конуса.

Образующая поверхность конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.

Коническая поверхность. Образующей конуса является коническая поверхность.

Высота конуса (H). Отрезок, падающий перпендикулярно вершине на плоскость основания (как и длина такого отрезка), называется высотой конуса.

угол раскрытия конуса. Угол раскрытия конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол в вершине конуса, внутри конуса).

Прямой конус. Если основание конуса имеет центр симметрии (это, например, окружность или эллипс) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.

Косой (наклонный) конус. Косой (наклонный) конус — это конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.

Круглый конус. Круглый конус — это конус, основание которого — круг.

Прямой круглый конус. Прямоугольный конус (часто называемый просто конусом) можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг линии, содержащей катет (эта линия представляет собой ось конуса).

Эллиптический конус. Конус, основанный на эллипсе, параболе или гиперболе, называется эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом соответственно (последние два имеют бесконечный объем).

Расстроенный. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию, и расположенная между вершиной и низом, называется усеченным конусом, или коническим слоем.

Объем произвольного конуса

Теорема Объем произвольного конуса равен одной трети произведения основания на высоту, т.е.

V = 1/3QH, (1)

где Q — площадь основания, а H — высота конуса.

Рассмотрим конус с вершиной S и основанием Ф (рис.).

Пусть площадь основания Ф равна Q, а высота конуса равна H. Тогда существуют последовательности многоугольников Фn и Ф’n с площадями Qn и Q’n такие, что
Фn ⊂ Фn ⊂ Ф’n и (lim_{n rightarrow infty}) Q’n = (lim_{n rightarrow infty}) Qn = Q.

Ясно, что пирамида с вершиной S и основанием Фn будет вписана в данный конус, а пирамида с вершиной S и основанием Фn будет вписана близко к конусу.

Объемы этих пирамид соответственно равны

Vn = 1/3QnH, V’n = 1/3Q’nH

Потому что

(lim_{n rightarrow infty}) Vn = (lim_{n rightarrow infty}) V’n = 1/3QH

то формула (1) доказана.

Следствие. Объем конуса, основанием которого является эллипс с полуосями a и b, вычисляется по формуле

V = 1/3 π abH (2)

В частности, объем конуса, основанием которого является окружность радиуса R, вычисляется по формуле

V = 1/3 π R2H (3)

где H — высота конуса.

Как известно, площадь эллипса с полуосями а и b равна π ab, поэтому формула (2) получается из (1) при Q = π ab. Если a = b = R, получается формула (3).

Объем прямого кругового конуса

Теорема 1. Объем прямого кругового конуса высотой H и радиусом основания R вычисляется по формуле

V = 1/3 π R2H

Этот конус можно рассматривать как тело, полученное вращением вокруг оси ox треугольника с вершинами в точках O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) (рис.).

Треугольник OAB представляет собой криволинейную трапецию, соответствующую функции
y = R/H x, x ∈ . Поэтому, используя известную формулу, получаем

$ $ V = pi int_ {0} ^ {H} ( frac {R} {H} x) ^ 2dx = = frac { pi R ^ 2} {H ^ 2} cdot frac {x^3}{3}left|begin{array}{c}H 0end{array}right.==frac{1}{3}pi R^2H $

Последствие. Объем прямого кругового конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т.е.

V = 1/3 QH

где Q — площадь основания, а H — высота конуса.

Теорема 2. Объем усеченного конуса с радиусами основания r и R и высотой H вычисляется по формуле

V = 1/3 πH(r2 + R2 + rR).

Усеченный конус можно получить, вращая вокруг оси Ox трапецию O ABC (рис.).

Прямая AB проходит через точки (0; r) и (H; R), поэтому имеет уравнение

$$ y=frac{Rr}{H}x + r $

мы получаем

$$ V=piint_{0}^{H}(frac{Rr}{H}x + r)^2dx $

Для вычисления интеграла делаем замену

$$ u=frac{Rr}{H}x + r, du=frac{Rr}{H}dx $

Конечно, когда x изменяется от 0 до H, переменная и изменяется от r до R и т д

$$ V=piint_{r}^{R}u^2frac{H}{Rr}du==frac{pi H}{Rr}cdotfrac{u^3} {3}left|begin{array}{c}R rend{массив}right.==frac{pi H}{3(Rr)}(R^3- r ^ 3) = = frac {1} {3} pi H (R ^ 2 + r ^ 2 + Rr) $

Объем прямого углового конуса

Конус представляет собой геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Первый способ вычисления объема конуса

Объем конуса равен одной трети произведения основания на высоту

НАИБОЛЬШИЙ V = frac{H}{3} S

где:
V — объем конуса
S — площадь основания конуса
H — высота конуса

Второй способ вычисления объема конуса

Объем конуса равен одной трети произведения числа пи (3,1415), умноженного на квадрат радиуса основания, умноженный на высоту.

БОЛЬШОЕ V = frac{H}{3} pi r^2

где:
V — объем конуса
H — высота конуса
π — число пи (3,1415)
r — радиус конуса

Через площадь основания и высоту

Площадь основания Сосн = мм²см²дм²м²
Высота h = ммсмдмм
V =0мм³см³дм³м³лмл

Через радиус и другие параметры

Генерирует lHeight h Угол раскрытия конуса αAngle βAngle γ = mmsmdmm°
Радиус основания r Диаметр основания d = mmsmdmm
V = 0мм³см³дм³м³лмлОк

Объем усеченного конуса

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело, ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса, называется усеченным конусом.

Первый способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса рассчитывается по формуле:

БОЛЬШОЕ V = frac{1}{3} left(Hcdot S_2 + h cdot s_1 right)

где:
V — объем конуса
h — расстояния от плоскости до верхнего основания до вершины
H — расстояния от плоскости нижнего основания до верхнего
S1 — площадь верхнего (ближайшего к вершине) основания
S2 — площадь нижнего основания

Второй способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса рассчитывается по формуле:

БОЛЬШОЕ V = frac{1}{3} pi h left(R^2 + R cdot r + r^2 right)

где:
V — объем конуса
h — высота конуса
R — нижний радиус
r — радиус верхнего основания

Объём конуса через площадь основания и высоту

Чему равен объем конуса V, если площадь основания Sоснования, а высота h:

Формула

V = ⅓ ⋅ Sprim ⋅ ч

Пример

Например, посчитаем, чему равен объем конуса, где площадь основания Sбн = 3 см², а высота h = 5 см :

V = ⅓ ⋅ 3 ⋅ 5 = 15⁄3 = 5 см³

Объём конуса через образующую и радиус

Каков объем конуса V, если образующая l, радиус основания r?

Формула

V = ⅓ ⋅ π ⋅ r² ⋅ √l² — r²

сквозной диаметр:

V = ⅓ ⋅ π ⋅ (d/2)² ⋅ √l² — (d/2)²

Пример

Например, посчитаем, чему равен объем конуса, где образующая l = 5 см, а радиус основания r = 2 см:

V = ⅓ ⋅ 3,14 ⋅ 2² ⋅ √5² — 2² = ⅓ ⋅ 12,56 ⋅ √21 ≈ 4,19 ⋅ 4,58 ≈ 19,19 см³

Объём конуса через радиус и высоту

Чему равен объем конуса V, если радиус основания равен r, а высота равна h?

Формула

V = ⅓ ⋅ π ⋅ r² ⋅ ч

сквозной диаметр:

V = ⅓ ⋅ π ⋅ (d/2)² ⋅ ч

Пример

Например, рассчитаем объем конуса высотой h = 6 см и радиусом основания r = 3 см:

V = ⅓ ⋅ 3,14 ⋅ 3² ⋅ 6 = 169,56/3 = 56,52 см³

Объём конуса через угол раствора (α) и радиус

Каков объем конуса V, если угол раскрытия равен α, а радиус основания равен r?

Формула

V = ⅓ ⋅ π ⋅ r³/tg (α/2)

Пример

Например, рассчитаем объем конуса с углом раскрытия α = 30° и радиусом основания r = 2 см:

V = ⅓ ⋅ 3,14 ⋅ 2³/тг(30/2) ≈ 1,0467 ⋅ 8 / 0,2679 ≈ 31,25 см³

Объём конуса через угол β и радиус

Каков объем конуса V, если известны угол β и радиус основания r?

Формула

V = ⅓ ⋅ π ⋅ r³/tg β

Пример

Например, рассчитаем объем конуса с углом β = 20° и радиусом основания r = 3 см:

V = ⅓ ⋅ 3,14 ⋅ 3³/тг 20 ≈ 1,0467 ⋅ 27 / 0,36397 ≈ 77,64 см³

Объём конуса через угол γ и радиус

Каков объем конуса V, если известны угол γ и радиус основания r?

Формула

V = ⅓ ⋅ π ⋅ r³ ⋅ тангенс γ

Пример

Например, рассчитаем объем конуса с углом γ = 45° и радиусом основания r = 2 см:

V = ⅓ ⋅ 3,14 ⋅ 2³ ⋅ tg 45 ≈ 1,0467 ⋅ 8 ⋅ 1 ≈ 8,37 см³

Примеры задач

упражнение 1
Найдите объем конуса, если известна площадь основания — 50,24 см2, а также высота равна 9 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, и подставим в нее заданные значения:

Задача 2
Высота конуса 7 см, а радиус 3 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Используя вторую, более расширенную формулу, получаем: