Окружность и круг: что этот акое и чем отличается

Определение окружности

Окружность – это замкнутая кривая на плоскости, состоящая из точек, равноудаленных от некоторой точки. Эта точка называется центром окружности.

Радиус окружности (R) — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром.

Диаметр окружности (d) – это прямая (хорда), проходящая через центр окружности и соединяющая две лежащие на ней противоположные точки.

Примечание: не путайте круг с кругом, потому что круг — это набор точек на плоскости, ограниченных кругом (т.е лежащих внутри круга).

Обруч и окружность

Вспомним один из предметов инвентаря художественной гимнастики – обруч. Это узкое кольцо большого диаметра, внутри которого ничего нет. Обруч состоит только из «наброска», то есть из того же кольца. Именно с помощью обруча мы подходим к термину «окружность”.

Окружность – это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Рассмотрим подробнее, что означает фраза «равноудален от центра». Предположим, мы точно знаем, где находится центр нашего кольца, и через этот центр мы протянем много-много лент. Тогда получается, что длина каждой полосы от середины до обруча будет одинаковой.

То есть окружность состоит из бесконечного числа точек, находящихся на равном расстоянии от центра.

Свойства окружности

Свойство 1

Через три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и только одну.

Свойство 2

Точка касания двух окружностей (С) лежит на одной прямой (АВ), проходящей через их центры.

Свойство 3

Изопериметрическое неравенство: из всех замкнутых кривых одинаковой длины окружность ограничивает область наибольшей площади.

Формулы

1. Диаметр окружности (d):

2. Окружность (С):

3. Радиус окружности (R):

Элементы окружности

Радиус — это отрезок, проведенный от центра окружности к любой точке окружности.

Если вы помните обруч с полосами, то одна полоса — это радиус. Радиус обозначается буквой R. По кругу можно построить много радиусов, и все они будут равны между собой.

Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности.

Сразу можно заметить, что диаметр будет состоять из двух радиусов, которые проведены по разные стороны от центра круга.

Диаметр обозначается буквой D и равен двум радиусам.

Д=2Р

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. При этом хорда не обязательно проходит через центр окружности.

Где в ловце снов спрятан аккорд? Представьте себе ловца снов. После изготовления нить протягивается от точки на ободе к точке на другом конце обода. Чтобы получился красивый узор, нити должны быть разной длины и проходить через разные точки — не обязательно через середину. Получается, что каждая строка внутри ловца слов будет аккордом.

Таким образом, хорда может быть любого размера и любого направления, лишь бы начало и конец лежали на окружности.

Рассмотрим свойства хорды.

1 свойство. При пересечении двух хорд произведения их отрезков равны.

Пусть в окружности проведены хорды AB и CD, которые пересекаются в точке O. Тогда выполняется равенство AO * OB = CO * OD.

2 собственности. Равные хорды образуют равные дуги.

3 свойство. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и проведенные ею дуги.

Если диаметр CD перпендикулярен хорде AB, то AE = EB.

Рассмотрим, почему это свойство выполняется. Достроим треугольник AOB, где AO и OB — радиусы. Радиусы окружности равны, значит треугольник равнобедренный.

Рассмотрим ОЕ — высоту равнобедренного треугольника, проведенного к основанию.

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой, поэтому ОЕ является медианой, а значит, AE = EB.

Дуга — это часть окружности, начало и конец которой — две произвольные точки.

Допустим, из нашего пяльца вырезана часть. Тогда и вырезанная часть, и оставшаяся часть будут дугами.

Читайте также: Свойства сложения и вычитания

Свойства хорды и диаметра:

1. Диаметр равен двум радиусам $d=2R$; $CE=2CO$

2. Из равных дуг вычитаются равные хорды

Если $AB=CD$, то $∪AB=∪CD$.

3. Весь круг равен $360°$. Диаметр делит окружность на две полуокружности по $180°$.

4. Диаметр, проходящий через центр хорды, перпендикулярен этой хорде.

5. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит пополам хорду и дуги, из которых она проводится.

$DC⊥AB, AM=MB, ∪AC=∪CB$

6. Хорды ​​окружности, равноудаленные от центра, равны.

7. Из двух хорд та, что меньше удалена от центра, больше.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется окружностью.

Часть окружности, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором.

Число $π≈3,14$

Окружность: $C=2πR=πD$

Длина дуги окружности: $l={Cα}/{360}={2πRα}/{360}={πRα}/{180}$, где $α$ — градусная мера центрального угла, основанная на заданная дуга.

Площадь круга: $S=πR^2$

Площадь сектора: $S={S_{окружность}n°}/{360}={πR^{2}n°}/{360}$, где $n°$ — градусная мера центрального угла, пересекающего данный сектор.

Площадь кольца: $S_{кольцо}=S_{внешний круг}-S_{внутренний круг}=πR^2-πr^2=π(R^2-r^2)$

Найдите площадь сектора с углом $36°$ и радиусом $16$. Ответ ${S}/{π}$

Решение:

Площадь сектора составляет:

$S={S_{круг}n°}/{360}={πR^{2}n°}/{360}$

$n°$ — градусная мера угла сектора

$S={π∙16^2∙36°}/{360°}={π∙256∙36°}/{360°}$

Уменьшаем полученную дробь на $36$

$S={π∙256}/{10}$

Эту дробь легко преобразовать в десятичную дробь, нужно всего лишь отделить один символ от конца числа $256.

$S=25,6π$

В результате необходимо указать ${S}/{π}$, поэтому ${S}/{π}={25,6π}/{π}=25,6$

Ответ: $25,6$

Пицца и круг

Мы рассмотрели круг. Тут уже может возникнуть вопрос: чем отличается окружность от окружности?

В чем разница между кругом и пиццей? Представьте пиццу. Он круглый? Да. Она похожа на обруч? Нет. И пицца, и обруч имеют форму круга. Отличие в том, что обруч внутри полый, а пицца состоит исключительно из теста и начинки. Другими словами, пицца имеет не только контур в виде корочки, но и все, что лежит внутри нее. Когда круг внутри заполнен «начинкой» — это уже круг.

Окружность – это геометрическая фигура, ограниченная окружностью.

Элементы круга

Рассмотрим элементы круга.

Радиус, диаметр хорды в окружности имеют те же определения, что и в окружности. Поскольку мы теперь рассматриваем не только контур, а всю фигуру, появляются новые элементы.

Представьте, что к нам в гости пришли друзья, и теперь мы должны разделить пиццу между всеми. Конечно, мы разрежем его на несколько частей.

Форма кусочков пиццы очень похожа на сектор круга.

Сектор – это часть окружности, ограниченная радиусами и дугой.

В этом случае два радиуса делят окружность на два сектора: один побольше, а другой поменьше. На рисунке один из них окрашен в фиолетовый цвет, а другой в белый.

Если мы хотим отрезать только один кусок пиццы, то и отрезанный кусок, и оставшаяся часть пиццы будут частями круга.

Теперь нарежем пиццу по-другому. Отрежем кусок по прямой, не проходя через середину:

Таким образом, мы будем отрезать от пиццы уже не сектор, а сегмент.

Отрезок – это часть окружности, ограниченная хордой и дугой.

Также хорда является границей двух отрезков: и отрезанный кусок пиццы, и остальные будут отрезками. На изображении ниже один сегмент окрашен в фиолетовый цвет, а другой — в белый.

Подведем итог: И в окружности, и в окружности можно встретить радиус, диаметр, хорду и дугу. Сектор и сегмент также отображаются в круге.

Формулы для окружности и круга

Мы рассмотрели окружности и окружность, а также их элементы, но ни одна задача не решается без формул. Давайте посмотрим на них.

Однако перед этим необходимо ввести еще несколько терминов.

Окружность – это длина кривой, образующей окружность.

Если мы используем рулетку для измерения длины нашего пяльца, мы получим только окружность.

Длина дуги — это длина части кривой, образующей окружность.

Единственное отличие от длины окружности в том, что здесь измеряется не вся кривая, а только ее часть.

В следующей таблице приведены основные формулы, которые могут возникнуть при решении задач.

Дуга окружности

Дугу можно измерять не только в единицах длины, но и в градусах. Вся дуга окружности имеет градусную меру 360(circle). Тогда половина дуги окружности будет равна 180.

В этом случае дуга, равная 180(окружность), называется полуокружностью. Полуокружность ограничена двумя концами диаметра.

Мы верим, что хотя бы раз в жизни вы слышали выражение «повернуться на 180(circ) градусов» или «передумать на 180(circ) градусов». Это значит, что человек меняет свое мнение буквально на противоположное. Рассмотрим пример окружности: пусть человек стоит в точке А. Он должен пройти по окружности ровно 180(окружность).

Так как человеку нужно пройти полукруг, он ограничен его диаметром. Проделаем диаметр АВ, тогда наш человек окажется в точке В, то есть на противоположной стороне круга.

А если он пройдет полуокружность дважды, то снова окажется в точке А, то есть пройдет дугу в 2*180=360 градусов.

Следовательно, если человек находится в точке О и хочет повернуться на 180 градусов, вместо точки А он будет смотреть в точку Б. Когда он повернется на 360 градусов, человек снова будет смотреть в точку А.

Почему, если мы хотим что-то сильно изменить, лучше развернуть жизнь на 180 градусов, а не на 360? Когда мы поворачиваемся на 180 градусов, мы смотрим на что-то с совершенно противоположной стороны. Но если мы повернем на 360 градусов, то будем смотреть в ту же точку, на которую смотрели изначально.

Углы в окружности

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. В этом случае угол опирается на дугу окружности.

На рисунке угол АОВ будет центральным.

Центральный угловой объект:

• Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Например, дуга АВ равна 36(окружность), тогда и угол АОВ равен 36(окружность).

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол также должен опираться на дугу окружности.

На рисунке угол ACB вписанный.

Свойства вписанного угла в окружность:

• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Например, дуга АВ равна 50(окружность), тогда угол АСВ равен 25(окружность).

• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Пусть углы DIA, AEB и AKB покоятся на душе AB. Тогда эти углы будут равны между собой.

• Вписанный угол, основанный на диаметре, равен 90(окружность).

Помните, что диаметр делит окружность на две полуокружности, размер которых равен 180(окружность). Тогда вписанный угол будет 180(окружность) : 2 = 90(окружность).

Также важно отметить, что вписанный угол равен половине центрального угла. При этом эти углы обязательно должны опираться на дугу.

Это легко доказать, если вспомнить, что:

• центральный угол равен мере дуги, на которую он опирается,
• вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Следовательно, (∠ACB = frac{1}{2}∠AOB).

Уравнение окружности

1. Уравнение окружности радиусом r с центром в начале декартовой системы координат:

г2 = х2 + у2

2. Уравнение окружности радиусом r с центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

г2 = (х — а)2 + (у — Ь)2

3. Параметрическое уравнение окружности радиусом r с центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

{	х = а + г кос т
y = b + r злой

Касательная окружности и ее свойства

Определение: Касательная к окружности – это прямая линия, которая касается окружности только в одной точке.

Основные свойства касательных к окружности

1. Касательная всегда перпендикулярна радиусу окружности, проведенной в точке касания.2. Кратчайшее расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу окружности.
3. Если две касательные с точками касания В и С на одной и той же окружности не параллельны, то они пересекаются в точке А, и отрезок между точкой касания и точкой пересечения одной касательной равен одному и тому же отрезок по другой касательной:

АВ=АС

Также, если провести линию через центр окружности О и точку пересечения А этих касательных, то углы, образованные между этой линией и касательными, будут равны:

∠ОАС = ∠ОАБ

Секущая окружности и ее свойства

Определение: секущей окружности называется прямая, проходящая через две точки окружности.

Основные свойства секущих

1. Если из точки вне окружности (Q), которая пересекает окружность в двух точках А и В по одной секущей и С и D по другой секущей, выходят две секущие, то произведения отрезков двух секущих равны друг другу:

AQ ∙ BQ = CQ ∙ DQ

2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая, пересекающая окружность в двух точках А и В, и касательная с точкой касания С, то произведение отрезков секущей равно квадрату длина касательного отрезка:

AQ ∙ BQ = CQ2

Хорда окружности ее длина и свойства

Определение: Хорда окружности – это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Длина хорды

1. Длина хорды через центральный угол и радиус:

АВ = 2r sin α2

2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:

АВ = 2r sin α

Основные свойства хорд

1. Две одинаковые хорды образуют две одинаковые дуги:

если хорды AB = CD, то

дуги ◡ AB = ◡ CD

2. Если хорды параллельны, дуги между ними будут одинаковыми:

если хорды AB ∣∣ CD, то

◡АД = ◡БК

3. Если радиус окружности перпендикулярен хорде, он делит хорду пополам в точке пересечения:

если OD ┴ AB, то

АС=ВС

4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, образованных в точке пересечения одной хорды, равно произведению отрезков другой хорды:

AQ ∙ BQ = DQ ∙ QC

5. Хорды ​​одинаковой длины находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

если хорды AB = CD, то

ВКЛ = ОК

6. Чем больше хорда, тем ближе она к центру.

если CD > AB, то

ВКЛ < ОК

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Определение Центральный угол окружности – это угол, вершина которого является центром окружности. Определение Вписанный в окружность угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.

Основные свойства углов

1. Все вписанные углы, зависящие от одной дуги, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, будет прямым (90°).
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, который зависит от той же дуги

β = α2

4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и лежат по разные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.

α + β = 180°

Определение Дуга окружности (◡) — это часть окружности, соединяющая две точки на окружности. Определение Градусная мера дуги — это угол между двумя радиусами, ограничивающими эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, ограничивающего эту дугу со сторонами.
Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):

l = πr180°∙α

Определение.Полуокружность — дуга, концы которой соединены диаметром окружности.Определение.Полуокружность (◓) — часть окружности, ограниченная полуокружностью и диаметром.Определение.Сектор (◔) — часть окружности, ограниченная два радиуса и дуга между этими радиусами.
Формула. Формула площади сектора в виде центрального угла (в градусах)

S = πr2360°∙α

Определение. Отрезок – это часть окружности, ограниченная дугой и хордой, соединяющей концы. Определение. Концентрические окружности — это окружности с разными радиусами, имеющими общий центр. Определение. Кольцо — это часть плоскости, ограниченная двумя концентрическими окружностями.

Как найти длину окружности через диаметр

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:

l=πd, где

π — пи — математическая константа, примерно равная 3,14

d — диаметр круга

Как обозначается окружность Окружность обозначается буквой .

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

l=2πr , где

π — число пи, примерно равное 3,14

г — радиус окружности

Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы можете доказать самостоятельно, используя основные формулы и свойства геометрических фигур.

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если известна площадь круга, то можно найти и длину окружности:

, Где

π — число пи, примерно равное 3,14

S — площадь круга

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:

l=πd, где

π — число пи, примерно равное 3,14

d — диагональ прямоугольника

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:

l=πа, где

π — математическая константа, примерно равная 3,14

а — сторона квадрата

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Чему равен периметр, можно найти, если в него вписан треугольник и известны все три стороны, а также известна площадь:

, Где

π — математическая константа, она примерно равна 3,14

а — первая сторона треугольника

б — другая сторона треугольника

с — третья сторона треугольника

S — площадь треугольника

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Определить, чему равна длина окружности, можно, если окружность вписана в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его половина окружности.

Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Половина окружности — это половина суммы, поэтому, чтобы ее найти, нужно вычислить длину окружности и разделить ее на два.

, Где

π — математическая константа, примерно равная 3,14

S — площадь треугольника

p — полупериметр треугольника

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Давайте разберемся, как измерить окружность в этом случае. Для этого нужно посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Помните, что у правильного многоугольника все стороны равны, как и у квадрата.

Формула расчета длины окружности:

, Где

π — математическая константа, примерно равная 3,14

а — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника