Элементы конуса
Определение. Вершиной конуса является точка (К), из которой выходят лучи. Определение. Основание конуса — это плоскость, образованная пересечением плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основания, как окружность, эллипс, гипербола и парабола. Определение Образующая конуса (L) — это любой отрезок, соединяющий вершину конуса с границей основания конуса. Образующая — это отрезок луча, выходящего из вершины конуса):
Л 2 = Р 2 + Н 2
Определение. Направляющая конуса – это кривая, описывающая контур основания конуса. Определение. Боковая поверхность конуса есть сумма всех образующих конуса. То есть поверхность, образованная движением образующей по направляющей конуса Определение Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса Определение Высота конуса (Н) – это отрезок, выходящий из вершине конуса и перпендикулярна основанию. Определение. Ось конуса (а) представляет собой прямую линию, проходящую через вершину конуса и центр основания конуса. Определение конусности (С) конуса – это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса это отношение разности диаметров сечений D и d усеченного конуса и расстояния между ними:
| С = | Д | и С = | Д — д |
| ЧАС | час |
где C — конусность, D — диаметр основания, d — диаметр меньшего основания, h — расстояние между основаниями.
Конусность характеризует остроту конуса, то есть угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее будет угол наклона угла конусности α:
| α = 2 угл | Р |
| ЧАС |
где R — радиус основания, H — высота конуса. 
Определение: осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, где стороны образованы образующими, а основание треугольника является диаметром основания конуса.
Определение: Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению конуса. Конус, покоящийся на окружности, эллипсе, гиперболе или параболе, называется круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом соответственно (последние два имеют бесконечный объем).
Определение: Прямой конус — это конус, ось которого перпендикулярна основанию. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой Формула Объем круглого конуса:
| В = | 1 | πHR2 |
| 3 |
где R — радиус основания, а H — высота конуса. Формула. Площадь боковой поверхности (Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:
Sb=πRL
Формула. Суммарная площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса по радиусу R и длине образующей L:
Sp = πRL + πR2
Определение: Наклонный (наклонный) конус – это конус, ось которого не перпендикулярна основанию. У такого конуса ось не совпадает с высотой Формула Объем любого конуса:
| В = | 1 | Ш |
| 3 |
где S — площадь основания, а H — высота конуса. 
Определение. Усеченный конус — это часть конуса, расположенная между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельной основанию. Формула. Объем усеченного конуса:
Читайте также: Радиус окружности — что такое, формула, как найти ⚪
| В = | 1 | (S2H-S1h) |
| 3 |
где S1 и S2 — площади меньшего и большего основания соответственно, а H и h — расстояние от вершины конуса до центра нижнего и верхнего основания соответственно.
Уравнение конуса
1. Уравнение прямого кругового конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
| х2 | + | у2 | — | z2 | = 0 |
| а2 | а2 | с2 |
2. Уравнение прямого эллиптического конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
| х2 | + | у2 | = | z2 |
| а2 | би 2 | с2 |
Свойства конуса.
- Когда площадь основания имеет предел, объем конуса также имеет предел и равен третьей части произведения высоты на площадь основания.
где S — площадь основания, H — высота.
Таким образом, каждый конус, опирающийся на это основание и имеющий вершину, лежащую на плоскости, параллельной основанию, имеет одинаковый объем, так как их высоты одинаковы.
- Центр тяжести каждого конуса с объемом, имеющим границу, составляет одну четвертую высоты от основания.
- Весь угол при вершине прямого кругового конуса можно выразить следующей формулой:
где α — угол раскрытия конуса.
- Площадь боковой поверхности такого конуса, формула:
S=πRl,
и общей площади поверхности (то есть суммы площадей боковой поверхности и основания), формула такова:
S=πR(l+R),
где R — радиус основания, l — длина образующей.
- Объем круглого конуса, формула:
- Для усеченного конуса (не только прямого или круглого) формула объема такова:
Нахождение радиуса сферы/шара
Вблизи любого конуса можно описать сферу (сферу). Другими словами, конус можно вписать в любую сферу.
Чтобы найти радиус сферы (сферы), описанной вокруг конуса, чертим осевое сечение конуса. В результате получаем равнобедренный треугольник (в нашем случае АВС), вокруг которого описана окружность радиуса r.
Радиус основания конуса (R) равен половине основания треугольника (AC), а образующими (l) являются стороны (AB и BC).
Радиус окружности (r), описанной вокруг треугольника ABC, также является радиусом сферы, описанной вокруг конуса. Он существует по следующим формулам:
1. Через образующую и радиус основания конуса:
2. Через высоту и радиус основания конуса
Высота (h) конуса — это сегмент BE на рисунках выше.
Формулы площади и объема сферы/шара
Зная радиус (r), можно найти площадь поверхности (S) сферы и объем (V) сферы, ограниченной этой сферой:
Примечание: π округляется до 3,14.
