Определитель матрицы: алгоритм, примеры вычисления, правила

Что такое определитель матрицы

Чаще всего в различных математических задачах требуется найти определитель матрицы второго и третьего порядка, реже — четвертого и т д. Сразу отметим, что вычислить определитель можно только для квадратной матрицы.

Обычно определитель обозначается двумя вертикальными линиями. Если у нас есть матрица A, то определитель можно обозначить как |A|, буквой D, аббревиатурой «it» или символом △.

Важно помнить, что нельзя менять числа внутри определителя.

Свойства определителя

Определяющие свойства:

• если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
• если поменять местами строки и столбцы, знак изменится на противоположный;
• определитель треугольной матрицы есть произведение элементов, расположенных на главной диагонали.

Комментарий

В рамках курса мы рекомендуем вам обратиться к модулю детерминанты.

Пример 6

А=134021005

Решение:

что А=134021005=1×5×2=10

Комментарий

Определитель массива, содержащий нулевой столбец, равный нулю (представляющий второстепенный).

Алгоритм нахождения определителя

1. Для матриц порядка n=2 определитель вычисляется по формуле: Δ=a11*a22-a12*a21
2. Для матриц порядка n=3 определитель вычисляется алгебраическими сложениями или методом Сарруса.
3. Матрица размерности больше трех разлагается на алгебраические сложения, для которых вычисляются их определители (миноры). Например, определитель матрицы 4-го порядка находится путем разложения по строкам или столбцам (см пример).

Для вычисления определителя, содержащего функции в матрице, используются стандартные методы. Например, вычислите определитель матрицы 3-го порядка:

Давайте воспользуемся расширением первой строки.
Δ = sin(x)×cos(x)×2 — 0×tg(x) + 1×1×0-2×cos(x) = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Читайте также: Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения, формула расстояния между двумя точками

Оптимальный план вычисления определителя через алгебраические дополнения

При вычислении определителя с помощью алгебраических сложений для матриц размерности n>4, чтобы не делать лишних вычислений, можно сначала найти индекс строки или столбца, содержащий максимальное количество нулей.
Например, для массива:

А =	5 4 -2 5 2 0 0 1 0 1 0 2 -2 0 0 -1

наибольшее количество нулей в 3-м столбце, поэтому расширяем с i=3. Меньше для (1,3):

∆1,3 =

2 0 1 0 1 2 -2 0 -1

Найдем определитель этого минора.
∆1,3 = 2*(1*(-1)-0*2)-0+(-2)*(0*2-1*1) = 0
Решающий фактор:
∆ = (-1)1+3*(-2)*0 = -2*0 = 0

Нахождение определителя

Результатом нахождения определителя матрицы является обычное число. Рассмотрим самые популярные варианты.

Второй порядок

Пожалуй, это самая простая задача. Чтобы найти определитель матрицы два на два, используйте следующую формулу:

Пример 1:

Пример 2:

Примечание: Не забывайте учитывать знаки элементов матрицы и учитывать их при расчетах.

Третий порядок

Чтобы вычислить определитель матрицы три на три, используйте следующую формулу:

Пример:

|А| = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 + (-1) ⋅ 6 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 2 ⋅ 9 – (-1) ⋅ 4 ⋅ 9 – 3 ⋅ 2 ⋅ (-6) – 2 ⋅ 6 ⋅ 3 = ⋅ 14.

Как мы видим, формула длинная и ее трудно запомнить. Но для Сарруса есть специальное правило (или метод параллельных полос), благодаря которому не нужно ничего запоминать. Вот что это такое.

В правой части определителя складываем первый и второй столбцы, а затем проводим линии, как показано на рисунке ниже.

Множители, расположенные на красных диагоналях в формуле, участвуют со знаком плюс, синие со знаком минус.

|А| = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 — a3b2c1 — b3c2a1 — c3a2b1

Как видим, это те же множители, что и в первой формуле, но переставленные, что не влияет на результат. Таким образом, используя метод Сарруса, можно значительно снизить риск совершения ошибок в процессе выполнения расчетов.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы
второго порядка необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:

$$слева| begin{массив}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} {a_{21}} и {a_{22}}end{массив}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$

Пример

Упражнение. Вычислите определитель второго порядка $left| begin{массив}{rr}{11} & {-2} {7} & {5}end{массив}right|$

Решение. $влево| begin{массив}{rr}{11} & {-2} {7} & {5}end{массив}right|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14 =69$

Отвечать. $влево| begin{массив}{rr}{11} & {-2} {7} & {5}end{массив}right|=69$

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

нахождение определителя матрицы третьего порядка осуществляется по одному из правил:

• его можно оценить по правилу треугольника;
• расчет также ведется по правилу Сарруса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка методом треугольника (определитель матрицы 3х3)?

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=а11×а22×а33+а31×а12×а23+а21×а32×а13-а31×а22×а13-а21×а12×а33-а11×23×а

Пример 2

А=13402115-1

Решение:

это A=13402115-1=1×2×(-2)+1×3×1+4×0×5-1×2×4-0×3×(-1)-5×1×1=(-2)+3+0-8-0-5=-12

Правило Саррюса

Для вычисления определителя методом Сарруса необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

• добавить первые два столбца слева от определителя;
• перемножить элементы, расположенные на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, брать изделия со знаком «+»;
• перемножьте элементы, расположенные на боковых диагоналях и параллельно им, и возьмите произведения со знаком «—».

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=а11×а22×а33+а31×а12×а23+а21×а32×а13-а31×а22×а13-а21×а12×а33-а11×23×а

Пример 3

A=134021-25-11302-25=1×2×(-1)+3×1×(-2)+4×0×5-4×2×(-2)-1×1×5-3 ×0×(-1)=-2-6+0+16-5-0=3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Для вычисления определителя матрицы четвертого порядка можно использовать один из двух способов:

• разложение элементов строки;
• декомпозиция элементов столбца.

Представленные методы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 путем представления определителя в виде суммы произведений элементов строки (столбца) и их алгебраических дополнений.

Пример 4

Разложение матрицы по элементам строки:

что A=ai1×Ai1+ai2×Ai2+…+аin×Аin

Разложение матрицы по элементам столбца:

что A=a1i×A1i+a2i×A2i+…+ani×Ani

Комментарий

Если матрица разбивается на элементы в строке (столбце), необходимо выбрать строку (столбец), где есть нули.

Пример 5

А=01-132100-24513210

Решение:

• расширить на 2-й строке:

A=01-132100-24513210=2×(-1)3×1-13-251310=-2×1-13451210+1×0-13-251310

• разверните четвертый столбец:

A=01-132100-24513210=3×(-1)5×210-245321+1×(-1)7×01-1210321=-3×210-245321-1×01-1210321

Произвольный размер матрицы

Разложение определителя по строке или столбцу

Первый вариант: определитель равен сумме произведений элементов строки определителя и их алгебраических дополнений.

Второй вариант: определитель равен сумме произведений элементов определительного столбца и их алгебраических дополнений.

Примечание: рекомендуется выбирать для раскрытия ту строку (столбец), в которой больше всего элементов, равных нулю.

Пример. Вычислите определитель приведенной ниже матрицы.

Его определитель выглядит так:

Давайте решим пример, используя расширение в первом столбце.

Теперь мы можем вычислить определитель:

|А| = 3 ⋅ 1 ⋅ ((-2) ⋅ 9) – 6 ⋅ 4) + 0 ⋅ (-1) ⋅ (5 ⋅ 9 – 6 ⋅ 1) + 2 ⋅ 1 ⋅ (5 ⋅ 4 – (-2) ⋅ 1)
|А| = 3 ⋅ (-42) + 0 + 2 ⋅ 22 = -126 + 44 = -82

Приведение определителя к треугольному виду

Выполняя элементарные преобразования над строками или столбцами, определитель можно привести к треугольному виду, после чего вычислить его путем перемножения элементов главной диагонали.

Пример: Найдите определитель матрицы ниже.

Представив матрицу в виде определителя, вычтем из элементов третьей строки удвоенную первую строку.

Поменяем местами второй и третий столбцы, при этом знак определителя поменяется на противоположный.

Мы получили треугольную форму определителя, значение которого равно произведению элементов главной диагонали.

|А| = — (3 ⋅ 3 ⋅ (-1)) = 9

Прикладное использование определителей

Определители обычно рассчитываются для конкретной системы, заданной в виде квадратной матрицы. Рассмотрим некоторые виды задач на нахождение определителя матрицы.

1. Раствор СЛАУ. Если определитель системы не равен нулю (Δ ≠ 0), система имеет решение.
2. При вычислении ранга матрицы также необходимо наличие ненулевого минора (текущий определитель i-й строки и j-го столбца.
3. Алгоритм нахождения обратной матрицы включает вычисление определителя: если определитель равен нулю, обратной матрицы не существует.
4. Определитель используется при вычислении площади треугольника: .
5. Значение определителя служит оценкой, когда конкретный транспортный показатель максимален.
6. Знак определителя задает вид функции (выпуклая или вогнутая) при вычислении матрицы Гессе.
7. Связь между определителями корреляционных матриц позволяет найти множественный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации.

Иногда необходимо найти неизвестный параметр а, у которого определитель будет равен нулю. Для этого необходимо составить уравнение для определителя (например, по правилу треугольников) и, приравняв его к 0, вычислить параметр а.

1 1 2 3 один 1 1 0 -2

Расширим первую строку:
Δ = 1(а*(-2)-0*1) -1(3*(-2)-1*1) + 2(3*0-1*а) = -2а+7-2а = -4а +7 = 0. Отсюда а=7/4

Пример. Найдите определитель матрицы:

А =

1 0 -2 3 2 1 1 2 -2

Найдем определитель, используя разложение по столбцам (по первому столбцу):
Минор для (1,1): удалить первую строку и первый столбец из матрицы.

1	0	-2
3	2	1
1	2	-2

Мы получаем:

∆ 1,1 =

2 1 2 -2

Найдем определитель этого минора. ∆1,1 = (2 • (-2)-2 • 1) = -6.

Определим меньшинство (2,1): для этого удалим из матрицы вторую строку и первый столбец.

1	0	-2
3	2	1
1	2	-2

Мы получаем:

∆ 2,1 =

0 -2 2 -2

Найдем определитель этого минора: ∆2,1 = (0 • (-2)-2 • (-2)) = 4. Минор для (3,1): Удалить 3 строки и 1 столбец из матрицы.

1	0	-2
3	2	1
1	2	-2

Мы получаем:

∆ 3,1 =

0 -2 2 1

Найдем определитель этого минора. ∆3,1 = (0 • 1-2 • (-2)) = 4
Главный определитель: ∆ = (1 • (-6)-3 • 4+1 • 4) = -14

Найдем определитель разложением по строкам (после первой строки):
Минор для (1,1): удалить первую строку и первый столбец из матрицы.

1	0	-2
3	2	1
1	2	-2

Мы получаем:

∆ 1,1 =

2 1 2 -2

Найдем определитель этого минора ∆1,1 = (2 • (-2)-2 • 1) = -6. Минор для (1,2): удалить 1 строку и 2 столбца из матрицы.

1	0	-2
3	2	1
1	2	-2

Мы получаем:

∆ 2,1 =

3 1 1 -2

Вычислим определитель этого минора ∆1,2 = (3 • (-2)-1 • 1) = -7. И чтобы найти минор (1,3), мы удаляем из матрицы первую строку и третий столбец.

1	0	-2
3	2	1
1	2	-2

Мы получаем:

∆ 3,1 =

3 2 1 2

Найдем определитель этого минора. ∆1,3 = (3 • 2-1 • 2) = 4
Найдите главный определитель: ∆ = (1 • (-6)-0 • (-7)+(-2 • 4)) = -14