Основное логарифмическое тождество

Содержание

История логарифма
Определение логарифма
Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества
Два очевидных следствия определения логарифма
Основные свойства логарифмов
Пример №1
Пример №2
Пример №3
Логарифмическая функция
Логарифмы и их свойства
Пример №4
Пример №5
Пример №6
Пример №7
Пример №8
Формула основного логарифмического тождества
Примеры:

История логарифма

Логарифмы были изобретены в 1614 г шотландским математиком Д. Непером (1550-1617) и, независимо от него, через 6 лет швейцарским механиком и математиком И. Бурги (1552-1632).

Оба ученых хотели найти новые практические средства арифметических вычислений, но их определения логарифма различны и оба не выглядят современными. Понимание логарифма как показателя степени с заданным основанием впервые появилось в 18 в в трудах английского математика У. Гардинера (1742). Широкому использованию этого определения логарифма больше других способствовал Дж. Эйлера, впервые употребившего в связи с этим термин «база».

Термин «логарифм» принадлежит Неперу. Оно возникло из сочетания греческих слов logos — отношение и aritmos — число. Таким образом, слово «логарифм» означало «число отношений».

Пример:

а) запишите число
в виде логарифмов по основанию

б) Запишите число -5 в виде логарифмов с основанием
их

Решение:

а) По определению логарифма имеем:

б) По определению логарифма имеем:

Пример:

Между какими целыми числами находится число

Решение:

Позволять
тогда сходство верно
Потому что
По свойствам показательной функции с основанием 2 имеем
Фонды,
находится между цифрами 4 и 5.

Отвечать:

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

а) Потому что
то по определению логарифма имеем

б)

Отвечать:

Логарифмы по основанию 10 имеют специальное название — десятичные логарифмы. Указан десятичный логарифм числа b
. Таким образом,

▲ Специальное обозначение и название имеют не только десятичные логарифмы, но и логарифмы, основанием которых является число e:

Такие логарифмы называются натуральными.

Логарифмы по основанию e позволяют выразить математическую зависимость, характеризующую многие биологические, химические, физические, социальные и другие процессы. По-видимому, этим и объясняется название «натуральные логарифмы», т е натуральные (этот термин введен в 1659 г итальянским математиком П. Менголи). Натуральные и десятичные логарифмы сыграли важную роль в облегчении вычислений в 17 и 19 веках для создания мощных современных вычислительных инструментов. Натуральные логарифмы также имеют большое теоретическое значение.▲

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа bi по основанию a (a>0, a не равно 1) называется такое число c, что ac = b: logab=c⇔ac=b(a>0,a≠1,b> 0)

Обратите внимание, что логарифм неположительного числа не определен. Основание логарифма также должно быть положительным числом, не равным 1. Например, если возвести в квадрат -2, то получится число 4, но это не значит, что основание логарифма -2 числа 4 равно 2.

Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества

Понятие логарифма и основное логарифмическое тождество тесно связаны, потому что определение логарифма в математической записи является основным логарифмическим тождеством.

Основное логарифмическое тождество следует из определения логарифма:

Определение 1

Логарифм — это показатель степени n, при возведении в которую числа a получают число b.

Примечание 1

Показательное уравнение a^n=b при a > 0, a ne 1 не имеет решений при неположительном b и имеет единственный корень при положительном b. Этот корень называется логарифмом числа b по основанию a и записывается:

Два очевидных следствия определения логарифма

лога = 1 (а> 0, а ≠ 1)

(3)

loga1=0(а>0,а≠1)

(4)

На самом деле, когда мы возводим число а в первую степень, мы получаем то же самое число, а когда мы возводим его в нулевую степень, мы получаем единицу.

Основные свойства логарифмов

Теорема:

При всех положительных значениях b и c справедливо равенство:

Доказательство:

Докажем утверждение (1).

По основному логарифмическому тождеству

по характеристикам степени

Таким образом, мы имеем:

Отсюда получаем равенство (1).

Докажем утверждение (2). Преобразуем левую часть равенства (2):

I используя равенство (1), получаем

Заметим, что равенство (2) можно доказать так же, как и равенство (1) – сделать это самостоятельно.

Равенство (1) означает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Равенство (2) означает, что логарифм дроби с положительными числителем и знаменателем равен разности между логарифмами числителя и знаменателя.

Комментарий. Равенства, доказанные в теореме 1 (как и другие равенства в этом пункте), являются тождествами. Фактически каждое из них превращается в истинное числовое равенство для всех значений a, b и c, для которых выражения, входящие в равенство, имеют смысл.

Теорема:

Для всех значений s и положительных значений b выполняется равенство

Доказательство:

По основному логарифмическому тождеству

по характеристикам степени

Таким образом, у нас есть

Таким образом, вследствие п. 2.3 мы получаем равенство (3).

Следствие 1. Если числа
одного и того же знака, то подобие

Следствие 2. Для любого целого числа
есть сходство

Пример №1

Найдите значение выражения:

Решение:

Отвечать:

Теорема:

Для всех значений
и
истинное равенство

Доказательство:

Способ 1. Согласно основному логарифмическому тождеству имеем

Логарифмируя левую и правую части этого тождества по основанию а, получаем

Используя тождество (3), имеем

Потому что
Следовательно, левую и правую части этого равенства можно разбить на
В результате получаем тождество (6).

Способ 2. Пусть
после этого
Логарифмируя обе части этого равенства по основанию а, получаем

Где мы получаем

Так,

Тождество (6) называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Обычно в таблицах-калькуляторах приводятся значения логарифмов по основанию 10, а когда нужно найти значение логарифма по другому основанию, пользуются формулой перехода от логарифма по основанию числа к логарифм другого основания.

Следствием тождества (6) с основанием a = c является формула

(убедитесь в этом сами).

Пример №2

Найдите значение выражения, если

Решение:

согласно тождеству (6) имеем

используя тождество (3), получаем

используя тождество (1), имеем

при условии
мы получаем

на основании тождеств (6) и (7) получаем

по тождеству (3) и с учетом условия имеем

Отвечать:

Следствие 3. Применяются следующие тождества:

Тождества (8) и (9) можно доказать, используя уже доказанные тождества из этого раздела.

Пример №3

Упростить выражения

Решение:

Используя определение логарифма, представим числа 1 и 3 как логарифмы по основанию 2:

по свойству (2) логарифмов имеем

используя формулу (7), получаем

Отвечать:

Развитие науки, особенно астрономии, уже в 16 веке привело к необходимости громоздких вычислений при умножении и делении многозначных чисел. Эти вычислительные проблемы были в некоторой степени решены с открытием логарифмов и созданием таблиц логарифмов.

Логарифмическая функция

Рассмотрим фразу
где x — переменная, a — константа,
Это выражение имеет смысл для любого значения x > 0 и не имеет смысла для любого значения
Таким образом, естественная область выражения

это множество всех положительных действительных чисел, т.е интервал

Определение:

Логарифмическая функция – это функция вида
где а — постоянная,

Область определения логарифмической функции является естественной областью определения выражения
они куча

Графики для некоторых логарифмических функций показаны на рис. 34. Эти картинки (как и для графиков других функций) можно получить, строя их по точкам. Мы замечаем некоторые особенности на показанных графиках.

График функции
расположена справа от оси Oy и пересекает ось Ox в точке (1; 0).

По мере уменьшения значений аргумента х, т.е стремления к нулю, график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» падает. А по мере увеличения значений аргумента x график поднимается «медленно» (см рис. 34). Соответственно для любой функции
при а > 1 (рис. 35). График функции
расположена справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0) (см рис. 34).

Заметим, что по мере уменьшения значений аргумента х, т.е приближения к нулю, график этой функции «приближается» к оси Оу и одновременно «круто» поднимается вверх. И по мере увеличения значений аргумента x график «медленно» идет вниз. Соответственно для любой функции
при 0 < а < 1 (рис. 36).

Теорема (о свойствах логарифмической функции
)

Областью определения логарифмической функции является интервал
Множество (диапазон) значений логарифмической функции есть множество R всех действительных чисел.
Логарифмическая функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.
График логарифмической функции пересекает абсциссу в точке (1;0) и не пересекает ординату.
Значение аргумента x = 1 равно нулю для логарифмической функции.
6. При а > 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале
А при 0 < a < 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале
и принимает положительные значения на интервале (0; 1).
Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной.
При a > 1 логарифмическая функция возрастает во всей области определения. При 0 < a < 1 логарифмическая функция убывает во всей области определения.
Логарифмическая функция не является периодической.

Изображение графика логарифмической функции позволяет наглядно представить эти свойства.

Набор (диапазон) значений логарифмической функции является проекцией графика на ось Оу, и на рисунках 35 и 36 видно, что этой проекцией является ось Оу. Это означает, что для любой точки
лежит на оси у, это такая точка
который принадлежит интервалу
(свойство 2).

Множеством (диапазоном) значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел, и оно не имеет ни наименьшего, ни наибольшего числа (свойство 3).

График логарифмической функции проходит через точку (1; 0) и лежит в правой полуплоскости (свойства 4, 5).

При a > 1 график логарифмической функции лежит в координатном угле IV, когда
и лежит в I-координатном угле, когда
При 0 < a < 1 график логарифмической функции лежит в I-координатном угле, когда
и лежит в координатном угле IV, когда
(свойство 6).

Областью определения логарифмической функции является интервал
следовательно, логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической (свойства 7, 9).

На рис. 35 показано, что при а > 1 логарифмическая функция на области определения возрастает, а на рис. 36 показано, что при 0 < а < 1 логарифмическая функция на области определения уменьшается (свойство 8).

Пусть точка
лежит на графике функции
Это означает, что верно числовое равенство
следовательно, по определению логарифма верно числовое равенство
В свою очередь, последнее подобие означает, что точка
лежит на графике функции

Обратите внимание, что точки
симметричный относительно прямой
Таким образом, каждая точка M на графике функции
соответствует точка, симметричная ей относительно этой прямой N на графике функции
и наоборот. Отсюда графики функций
симметричны относительно прямой у = х (рис. 37).

Последнее предложение позволяет узнать график функции
нарисовать график функции
(не использует построение после точки).

▲ Симметричность графиков функций
относительно прямой y=x означает, что эти функции взаимно обратны.

Функции
называется взаимно обратным, если для некоторого
истинное равенство
и для любого
истинное равенство

Покажем, что экспоненциальная и логарифмическая функции с одним и тем же основанием а взаимно обратны.

Позволять
Затем

Для всех

Покажем, что графики взаимно обратных функций
симметрично относительно прямой у = х.

Пусть точка
лежит на графике функции
Это означает, что верно числовое равенство
Тогда по определению взаимно обратных функций
И равенство
означает, что точка
лежит на графике функции

Таким образом, каждая точка M на графике функции
соответствует точке N, симметричной относительно прямой у = х на графике функции
и наоборот. Отсюда графики функций
симметричный относительно прямой

Логарифмы и их свойства

В предыдущем разделе вы нашли корни формального уравнения
Например:
Что является корнем уравнения
Графически можно убедиться, что она имеет единственное решение (рис. 28). Это число больше 2 и меньше 3, но как его записать?

Для записи корней показательного уравнения используется термин «логарифм» и соответствующий символ. Корень уравнения
число, записанное как
и прочитайте «логарифм числа 5 по основанию 2».

Рассмотрим общий случай-.

Позволять
действительные числа;

Если
этот номер
называется логарифмом числа
разума

Логарифм числа
разума
назовите степень, в которую нужно возвести число
достигать

Логарифм числа
разума
обозначается символом

Примеры:

потому что

потому что
потому что

Основанием логарифма может быть любое положительное число, кроме единицы. Как известно, если
то область определения экспоненциальной функции
множество всех действительных чисел
а диапазон — это набор всех положительных действительных чисел. Поэтому для таких значений
для любого положительного числа
это так
что
Другими словами: по любой причине
где
для каждого положительного числа существует логарифм. Логарифм отрицательного числа и нуля не существует.

Полезно помнить, что для каждого

(Почему?).

нахождение логарифма числа называется логарифмом. Эта операция обратна возведению в степень с правильным основанием.

Согласно определению логарифма, если
Это разные записи для одной и той же зависимости. Из них следует равенство

которое называется основным логарифмическим тождеством. Это верно для всех положительных

Например:

Используя основное логарифмическое тождество, любое положительное число можно представить в виде степени с заданным основанием.

Например:

Докажем еще некоторые важные свойства логарифмов (для положительных

1) По основному логарифмическому тождеству и основному свойству степени

Так,
— показатель степени, в которую нужно возвести число
достигать
это

Эту формулу можно обобщить на три или более факторов:

Короче говоря, говорят: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.

2) Доказательство аналогично предыдущему:

отсюда

Короче говоря, говорят: логарифм частного равен разности между логарифмами делимого и делителя.

3) Поднимем обе части тождества
до степени

Так,

Проверенные формулы можно использовать и справа налево, например:

В логарифмах можно перейти от одного основания к другому, используя формулу перехода

где

Докажем эту формулу. Поскольку положительные числа
и
равны, то равны и их базовые логарифмы
Поэтому

откуда следует доказываемая формула.

Примечание! В результате формулы перехода можно получить следующие формулы:

Докажите их сами.

Пример №4

Упростите выражение
Решение:

Приведем все логарифмы к основанию 5. Имеем:

Часто используются логарифмы по основанию 10 и 10
они называются десятичными и натуральными логарифмами. Вместо
написать соответственно

Рассмотренные в разделе свойства логарифмов верны при условии, что переменные имеют положительные значения. С помощью модуля вы можете расширить использование некоторых формул. Например: