Основные свойства правильного многоугольника: углы, диагонали, окружности

Что такое правильный многоугольник

Определение 1

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Ниже приведены некоторые распространенные полигоны

Прямоугольный: Все углы прямоугольного треугольника равны 60°.

Правильный квадрат (квадрат): все углы квадрата равны 90°.

Правильный пятиугольник: Все углы правильного пятиугольника равны 108°.

Правильный шестиугольник: Все углы правильного шестиугольника равны 120°.

Правильный шестиугольник: Все углы правильного полушарнира равны 128,57°.

Правильный восьмиугольник: Все углы правильного восьмиугольника равны 135°.

Нарисуйте правильный многоугольник: многоугольник будет правильным, если все стороны равны a1=a2=a3=…=an и все углы равны α1=α2=α3=…=αn.

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: Все стороны и углы равны:

a1=a2=a3=…=an-1=an

α1 = α2 = α3 =… = αn-1 = αn

Внешний угол многоугольника

Определение 5. Два угла называются смежными, если они имеют общую сторону и их сумма равна 180° (рис. 1).

Рисунок 1

Определение 6. Внешним углом многоугольника называется угол, примыкающий к внутреннему углу многоугольника (рис. 2).

Рис.2

Комментарий. Мы рассматриваем выпуклые многоугольники только как выпуклые многоугольники .

Доказательства свойств углов многоугольника

Теорема 1. В любом треугольнике сумма углов равна 180°.

Доказательство. Например, проведем через вершину В произвольного треугольника АВС прямую DE, параллельную прямой АС, и рассмотрим углы, полученные с вершиной в точке В (рис. 3).

Рис.3

Углы ABD и BAC равны внутри поперечно. По той же причине углы ACB и CBE равны. Так как углы ABD, ABC и CBE в сумме образуют прямой угол, сумма углов треугольника ABC равна 180°. Теорема доказана.

Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство. Проведем через вершину С прямую СЕ, параллельную прямой АВ, и продолжим отрезок АС за точку С (рис. 4).

Рис.4

Углы ABC и BCE равны внутри поперечно. Углы BAC и ECD равны равны равным равным . Следовательно, внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC. Теорема доказана.

Комментарий. Теорема 1 является следствием теоремы 2.

Теорема 3. Сумма углов — квадрата n равна

Доказательство. Выберем произвольную точку O внутри n-угольника и соединим ее со всеми вершинами n-угольника (рис. 5).

Рис.5

Получаем n треугольников:

ОА1А2, ОА2А3, … ОАнА1

Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n-угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O. Следовательно, сумма всех углов n-угольника является

qED

Теорема 4. Сумма внешних углов — gon n , взятых по одному в каждой вершине, равна 360°.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Рис. 6

В соответствии с рисунком 6 сходство

Теорема доказана.

Читайте также: Что такое арифметические действия

Свойства правильного многоугольника

Свойство 1

Внутренние углы правильного многоугольника (α) равны друг другу и могут быть рассчитаны по формуле:

где n — количество сторон фигуры.

Свойство 2

Сумма всех углов правильного n-угольника равна: 180° · (n-2).

Свойство 3

Количество диагоналей (Dn) правильного n-угольника зависит от количества сторон (n) и определяется следующим образом:

Свойство 4

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и описать окружность вокруг нее, при этом их центры будут совпадать, в том числе и центр самого многоугольника.

В качестве примера на рисунке ниже показан правильный шестиугольник (гексагон) с центром в точке О.

Площадь (S) кольца, образованного окружностями, рассчитывается через длину стороны (а) фигуры по формуле:

Существует отношение между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей:

Свойство 5

Зная длину стороны (а) правильного многоугольника, можно вычислить следующие связанные с ним величины:

•  Квадрат (S):

•  Периметр (П):

•  Радиус описанной окружности (R):

•  Радиус вписанной окружности (r):

Свойство 6

Площадь (S) правильного многоугольника может быть выражена через радиус описанной/вписанной окружности:

Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника

Определение 2

Вписанная окружность — это окружность, лежащая внутри многоугольника и касающаяся всех сторон.

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен:

Формула 4

r=an2 tg180°n

где r — радиус окружности, описанной вокруг правильного многоугольника,

n — количество вершин многоугольника,

an — сторона многоугольника.

Определение 3

Описанная окружность — это окружность, лежащая вне многоугольника и проходящая через все вершины.

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен:

Формула 5

R=an2sin180°n

где R — радиус окружности, описанной вокруг правильного многоугольника,

n — количество вершин многоугольника,

an — сторона многоугольника.

На рисунке показаны вписанная и описанная окружности правильного шестиугольника. R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности. Точка O является центром вписанной и описанной окружностей.

Формулы для правильного многоугольника

Сторона правильного многоугольника через радиус описанной окружности:

Формула 6

ан=2R sin180°n

где R — радиус окружности, описанной вокруг правильного многоугольника,

n — количество вершин многоугольника,

an — сторона многоугольника.

Сторона правильного многоугольника через радиус вписанной окружности:

Формула 7

an=2r tg180°n

где r — радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник,

n — количество вершин многоугольника,

an — сторона многоугольника.

Площадь правильного многоугольника, если известна сторона:

Формула 8

Sn=n an24tg(180°n)

где Sn – площадь правильного многоугольника,

n — количество вершин многоугольника,

an — сторона многоугольника.

Площадь правильного многоугольника, если известны его сторона и радиус вписанной окружности:

Формула 9

Sn=r P2

где Sn – площадь правильного многоугольника,

r — радиус вписанной окружности многоугольника,

P — периметр правильного многоугольника, P=n·an.

Площадь правильного многоугольника, если известен радиус описанной окружности:

Формула 10

Sn=12R2n sin(2πn)

где Sn – площадь правильного многоугольника,

R — радиус вписанной окружности многоугольника,

n — количество вершин в правильном многоугольнике.

Формулы длины стороны правильного n-угольника

•  Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

а = 2г тг	180°
н

а = 2г тг	π
н

•  Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

а = 2 R sin	180°
н

а = 2 R sin	π
н

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

г = а : (2tg	180°	)
н

г = а : (2tg	π	)
н

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

R = а : (2sin	180°	)
н

R = а : (2sin	π	)
н

Формулы площади правильного n-угольника

•  Формула площади n-угольника через длину стороны:

С =	на2	кТГ	180°
4	н

•  Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:

С =	№2 тг	180°
н

•  Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:

С =	nR2	грех	360°
2	н

Формула периметра правильного многоугольника:

Формула периметра правильного n-угольника:

П = нет данных

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

αn =	п — 2	180°
н

 

Рис.3

 

Построение правильных многоугольников

Построение правильного треугольника с помощью циркуля и линейки:

1. Чтобы построить правильный треугольник с заданной стороной а, построим отрезок АВ, равный а. Точки А и В являются двумя вершинами правильного треугольника.
2. Далее строим две дуги радиусом а с центрами в точках А и В. Точка пересечения С равноудалена от точек А и В и является третьей вершиной треугольника.
3. Соединим углы. ΔABC построен.

Правильный треугольник можно построить с помощью транспортира, так как размеры углов известны.

1. Построим отрезок AB произвольной или заданной длины. Точки А и В являются вершинами правильного треугольника.
2. С помощью транспортира из точки А от отрезка АВ откладываем угол 60° и проводим луч.
3. Отложите угол 60° и проведите луч из точки В.
4. Два луча пересекаются в точке С, третьей вершине равностороннего треугольника.
5. Соединяем вершины А и С, В и С. Строится правильный ΔABC.

Построение квадрата с линейкой и циркулем:

1. Построим одну из сторон квадрата — отрезок АВ.
2. Построим перпендикуляры к АВ в точках А и В, лежащих по одну сторону от отрезка АВ.
3. На построенных перпендикулярах откладываем отрезки AD и BC, равные отрезку AB.
4. Соедините точки C и D. Построен квадрат ABCD.

Построение правильного пятиугольника:

1. Постройте окружность произвольного радиуса с центром в точке А.
2. Отметим произвольно точку B, лежащую на окружности.
3. Проведем линию АВ.
4. Построим перпендикуляр к прямой АВ в точке А. Назовем одно из пересечений этого перпендикуляра и окружности точкой С.
5. Найдите середину отрезка АС — точку D.
6. Измерим расстояние DB компасом. Не меняя решения циркуля, проводим вспомогательную дугу с центром в точке D, и пересекаем прямую AC внутри окружности. Назовем точку пересечения Е.
7. Расстояние между точками B и E равно стороне правильного пятиугольника. Измеряем ВЕ циркулем и, не меняя решения циркуля, строим две вспомогательные дуги с центром в точке В, которые пересекают окружность. Пусть M и K — точки пересечения. Точки M и K являются вершинами правильного пятиугольника.
8. Используя тот же раствор компаса, мы проводим вспомогательную дугу с центром в точке M. Дуга пересекает окружность в точке P, одной из вершин правильного пятиугольника.
9. Не меняя решения компаса, построим дугу с центром в точке К. Точкой пересечения этой дуги и окружности будет точка Q. Q — вершина пятиугольника.
10. Нарисуем отрезки VK, KQ, QP, PM, MB. Построен правильный пятиугольник VKQRM.

Построение правильного шестиугольника:

1. Построим окружность с произвольным или заданным радиусом а, равным стороне будущего правильного шестиугольника. Точка С является центром этой окружности.
2. Отмечаем произвольную точку D на окружности и проводим линию DC. Назовем вторую точку пересечения с окружностью точкой G. Точки D и G являются вершинами правильного шестиугольника.
3. Используя тот же раствор компаса, мы строим вспомогательную дугу радиуса a с центром в точке D. Дуга пересекает окружность в двух точках. Назовем точки пересечения Е и В. Эти точки являются вершинами шестиугольника.
4. Не меняя решения циркуля, проводим вспомогательную дугу с центром в точке G и находим точки пересечения дуги с окружностью — два угла шестиугольника. Назовем точки пересечения А и F.
5. Проведем отрезки AB, BD, DE, EF, FG, GA. ABDEFGA — правильный шестиугольник, у которого все стороны равны по конструкции.