Острый угол прямоугольного треугольника: синус, косинус, тангенс, котангенс

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90$ градусов.

2. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен $45$ градусам, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Эта нога называется маленькой ногой.)

4. Катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенного к гипотенузе, равна половине, а радиус описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты этого треугольника.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$

Для острого угла $B$: $AC$ — противолежащий катет; $ВС$ — соседняя ветвь.

Для острого угла $A$: $BC$ — противолежащий катет; $AC$ — соседняя нога.

1. Синус $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Касательная $(tg)$ к острому углу прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенс острого угла прямоугольного треугольника $(ctg)$ равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ при остром угле $B$:

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tgB={AC}/{BC};$

$ctgB={BC}/{AC}.$

5. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы различны по знаку: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sinBOA=sinBOC;$

$cos BOA=-cos BOC;$

$tg BOA=-tg BOC;$

$ctg BOC=-ctg BOC.$

Читайте также: Площадь поверхности шара формула

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$сина$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$тга$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctga$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов

$S={AC∙BC}/{2}$

Пример:

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90$ градусов, $AB=10, AC=√{91}$. Найдите косинус внешнего угла в вершине $B$.

Решение:

Так как внешний угол $ABD$ при вершине $B$ и угол $ABD$ смежны, то

$cosABD=-cosABC$

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $ABC$:

$cosABC={BC}/{AB}$

Катет $BC$ можно найти по теореме Пифагора:

$BC=√{10^2-√{91}^2}=√{100-91}=√9=3$

Подставляем найденное значение в формулу косинуса

$cos ABC = {3}/{10}=0,3$

$cos ABD = — $0,3

Ответ: $-0,3$

Пример:

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90$ градусов, $sin⁡A={4}/{5}, AC=9$. Найдите $AB$.

Решение:

Запишем синус угла $A$ по определению:

$sin⁡A={BC}/{AB}={4}/{5}$

Поскольку мы знаем длину катета $AC$ и запись синуса угла $A$ не помогает, мы можем взять $BC$ и $AB$ как части $4x$ и $5x соответственно.

Воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти $»x»$

$AC^2+BC^2=AB^2$

$9^2+(4x)^2=(5x)^2$

$81+16x^2=25x^2$

$81=25x^2-16x^2$

$81=9x^2$

$9=х^2$

$х=3$

Поскольку длина $AB$ составляет пять частей, $3∙5=15$

Ответ: $15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $C$ и высотой $CD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

$CD^2=БД∙AD$

В прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB∙DB$

$AC^2=AB∙AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC∙CB=AB∙CD$

Практика: решить 6 задач и возможности подготовки к ЕГЭ по математике (профиль)

Углы треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:

угол альфа + угол бета + угол гамма = 180°

Так как один из углов прямоугольного треугольника равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.

Следовательно, если известен один из острых углов треугольника, то другой угол можно вычислить по формуле:

угол альфа = 90° — угол бетаугол бета = 90° — угол альфа

Острый угол – это угол, который меньше 90°.

Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол и два других острых угла.

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике

Допустим, у нас есть треугольник (прямоугольный) со сторонами a, b, c и острым углом α.

Для него верно следующее:

1. Синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
   sinα = b/c
2. Косинус угла α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
   cosα = а/с
3. Тангенс угла α равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
   tgα = б/а
4. Котангенс угла α равен отношению прилежащего катета к противолежащему:
   ctgα = a/b
5. Сеанс угла α определяется как отношение гипотенузы к прилежащему катету:
   секα = с/а
6. Косинус угла α определяется как отношение гипотенузы к противолежащему катету:
   cosec α = c/b

Свойства острых углов в прямоугольном треугольнике

Острый угол в прямоугольном треугольнике – это угол
транспортир которого меньше 90º.

1. Если известны 2 угла: чтобы найти острый угол, нужно от 90º
   вычесть известный угол.
2. Катет прямоугольного треугольника против острого угла 30º,
   равна половине гипотенузы.
3. Если острые углы прямоугольного треугольника равны, то равны и катеты.

Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике

1. Если известны 2 угла: чтобы найти острый угол, нужно от 90º
   вычесть известный угол.
2. Если катет а и катет б известны: чтобы найти острый угол, нужно
   использовать формулу касательной.
3. Если известны гипотенуза с и катет а: чтобы найти острый угол, нужно
   использовать формулу синуса.
4. Если известны гипотенуза с и катет b: чтобы найти острый угол, надо
   используйте формулу косинуса.

Определение синуса, косинуса, и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен
отношение катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен
отношение между катетом, противолежащим этому углу, и прилежащим катетом.

Примеры задач

упражнение 1
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 3 см, а гипотенуза 5 см. Найдите угол, противолежащий данному катету.

Решение:
Пусть неизвестный угол равен α. Для нахождения используем формулу синуса:
sin α = 3 см / 5 см = 0,6. Следовательно, угол α = aarcsin (0,6) ≈ 36,87°.

Задача 2
В прямоугольнике один из острых углов равен 45°, а катет, прилежащий к нему, равен 3 см. Найдите гипотенузу.

Решение:
Зная угол (α) и прилежащий катет (a), выводим длину гипотенузы из формулы косинуса (c): c = a / cos α = 3 см / cos 45° ≈ 4,24 см.

Угол треугольника через три стороны

Чтобы найти угол трех сторон, нужно вычислить косинус определенного угла. По закону косинусов «квадрат длины одной стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними.» Если мы соответственно возьмем в качестве предмета расчета угол β, то получим формулу: а² = b² + c² – 2 bc cos(β). Из полученного равенства можно вычислить

cos(α) = (a² + c² — b²) / 2ac
cos(β) = (a² + b² — c²) / 2ab
cos(γ) = (b² + c² — a²) / 2cb

где а, b, с — стороны треугольника.

Пример. Пусть a = 3, b = 7, c = 6. Cos (β) = (7² + 6² — 3²) : (2 7 6) = 19/21. Зная косинус, нужно воспользоваться таблицей Брадиса и найти по ней угол. Согласно таблице Брадиса, если Cos(β) = 19/21, то β = 58,4°.

Угол прямоугольного треугольника через две стороны

Если катет и гипотенуза известны, то угол рассчитывается с помощью синуса. Если катеты известны и нужно найти один из острых углов, то это можно сделать, вычислив тангенс.

sin(α) = cos(β) = a/c
sin(β) = cos(α) = b/c
tg(α) = ctg(β) = a / b
tg(β) = ctg(α) = b / a

где а, b катеты, с гипотенуза.

Пример. Прямоугольный треугольник имеет два катета a = 12, b = 9 и гипотенузу c = 15. Если известны катеты и нужно найти один из острых углов, то это можно сделать, вычислив тангенс: tg(α) = a/b, то есть tg(α) = 12/9. По таблице Брадиса угол α = 53, 13°. Если катет и гипотенуза известны, угол рассчитывается по формуле синуса sin(α) = a / c = 12 / 15 = 0,8. В этом случае по таблице синусов и косинусов Брадиса значение угла равно 36,87°.

Острый угол прямоугольного треугольника через катет и площадь

Для вычисления величины острого угла необходимо составить обратную формулу из площади прямоугольного треугольника, которая вычисляется через катет и острый угол. Выглядит это так: S = (a² * tg β)/2. Из этих показателей известны площадь S и катет a. Отсюда формула нахождения угла будет следующей:

tg(α) = a² / 2S

где а — катет, S — площадь прямоугольного треугольника.

Пример. Пусть S = 34, a = 8. Получается следующее уравнение: tg(α) = a² / 2S = 8² + 2 * 34 = 132. Таким образом, по таблице Брадиса угол с такой касательной равен 43°.

Угол треугольника через высоту и катет

В некоторых прямоугольных треугольниках, при основании которых острый угол, а у другого 90°, один из катетов (вертикальная линия, образующая прямой угол) также называется высотой и обозначается как h.Второй катет a остается со своими общими именами.

sinα = ч / а

где h — высота, а — длина ноги.

Пример. Если высота h = 8, а катет a = 10, то угол α находится по его формуле α = h / a = 8 / 10 = 0,8, поэтому по таблице Брадиса он равен 53°