Отрицательная степень чисел и дробей

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить следующее определение:

«Степень n числа а есть произведение величин на множители n раз подряд»

Например, an — это степень, где:

• а — основа степени,
• n — показатель степени.

Соответственно:

Читается выражение, которое ai в степени n.

Проще говоря, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам, сколько раз данное число (основа степени) должно быть умножено само на себя.

Итак, если у нас возникает задача, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2 в третью степень, то решается она достаточно просто:

23 = 2 2 2, где:

• 2 — основание для получения степени,
• 3 — показатель степени.

Читайте также: Нахождение ранга матрицы: методы, примеры нахождения и определения

Степень с отрицательным показателем

Число в отрицательной степени равно дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — заданное число с положительным показателем степени:

Например, 4 в степени минус 2 равно 1/42, 2 в степени минус 3 равно 1/23, 3 в степени минус 1 равно 1/3, 10 в степени минус 1 равно 1/10 или 0,1.

Примеры

Степени с отрицательными показателями помогают компактно записывать чрезвычайно малые или постоянно уменьшающиеся значения. Например, одну часть миллиарда (0,000000001) можно записать как 10 в степени минус 9 (10-9). В школьной программе такие значения встречаются редко: чаще всего используют 10 в минус 1 градус или 2 в минус 1 градус.

Чтобы узнать, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней на равные степени.

Деление степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями осуществляется по следующей формуле: показатели вычитаются, а основание остается неизменным.

Следовательно, если степень делимого меньше степени делителя, результатом будет число с отрицательной степенью:

а3: а6=а3 — 6 = а-3

Если записать деление в виде дроби, то при уменьшении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

Как работает отрицательная степень

Обозначение an означает, что число a нужно умножить n раз:

Пример 1. 5 3 =5*5*5=125

Деление противоположно умножению. Отрицательный показатель степени означает, сколько раз нужно разделить число.

Число в отрицательной степени -n можно записать так:

Пример 2 можно записать как

Определение. Если a ≠ 0 и n — отрицательное целое число, то

Чтобы вычислить число a -n в отрицательной степени, нужно:

1. Рассчитайте

2. Затем разделить результат на 1, т.е.

Правила возведения числа в отрицательную степень

Для освоения представленного ниже материала необходимо знать, что такое степень числа и какими свойствами оно обладает. Мы подробно обсуждали этот вопрос в отдельной публикации.

Целое число

Алгоритм действий:

1. Представим число в виде обыкновенной дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе — исходное число.
2. Меняем отрицательную степень на положительную.
3. Возведите полученную дробь в степень.

Общая формула выглядит так:

• а ≠ 0;
• n ∈ Z, т.е множество целых чисел.

Примеры:

Примечание: любое число, возведенное в ноль, равно единице.

а0 = 1, где а ≠ 0

Примеры:

• 70 = 1;
• (-16)0 = 1.

Десятичная дробь

Чтобы возвести десятичную дробь в отрицательную степень, выполните те же действия, что и для целых чисел.

Примеры:

Обыкновенная дробь

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, сделайте следующее:

1. Поменять местами числитель и знаменатель;
2. Заменяем отрицательную степень на положительную;
3. Возводим в степень и числитель, и знаменатель.

Примечания:

• Если дробь положительна, возведение ее в любую степень также дает результат больше нуля.
• Если знак дроби отрицательный, то при возведении до нечетного числа получается отрицательная дробь, а при возведении до четного числа получается положительная.

Примеры:

Примечание. Обычную дробь также можно сначала преобразовать в десятичную, а затем возвести в степень.

Пример:

Свойства степени с отрицательным показателем

Рассмотрим свойства отрицательных сил при следующих условиях:

a и b — ненулевые действительные числа, m и n — целые числа

Затем вы можете указать следующие свойства для степени с отрицательным показателем:

1 аман = ам + п
2. (ам) н = ам * н
3 СБН = (СБН) ст
4 часа утра: bm = (a/b)m
5 утра: ан = ам — н
06.00 = 01.00

Рассмотрим свойства отрицательных сил на примерах. Из примеров будет понятно, как использовать свойства отрицательных показателей.

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении отрицательных показателей на одно и то же основание степени суммируются:

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатель делителя вычитается из показателя степени делимого:

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, возведите в эту степень каждый множитель по отдельности:

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, возведите числитель и знаменатель отдельно в эту степень:

Когда вы возводите степень (положительную или отрицательную) в степень (положительную или отрицательную), показатели умножаются:

Умножение отрицательных степеней

Когда вы умножаете отрицательные степени с одним и тем же основанием, степени складываются вместе, как и при умножении положительных степеней:

ам ан = ам + п

Примеры

Деление отрицательных степеней

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатель делителя вычитается из показателя степени делимого, так же как и при делении положительных степеней:

Примеры

Возведение дроби в отрицательную степень

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, возведите числитель и знаменатель отдельно в эту степень:

Возведение произведения в отрицательную степень

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести каждый множитель произведения в эту степень по отдельности:

Как посчитать отрицательную степень

возведение в отрицательную (минусовую) степень происходит по следующей формуле:

Формула

ан = 1/ан

Пример

Например, возведем число 2 в степень −3:

2-3 = 1/(2⋅2⋅2) = 1/(4⋅2) = 1/8 = 0,125