- Определение дроби
- Запись
- Произношение
- Переход к периодической десятичной дроби
- Получаем периодическую дробь
- Определение периодической дроби
- Виды периодических дробей
- Избавляемся от хвоста
- Перевод периодической дроби в обыкновенную
- Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную
- Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную
- Алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь
Определение дроби
Прежде чем ответить на вопрос, как найти десятичную дробь, давайте рассмотрим основные определения, виды дробей и разницу между ними.
Дробь — это представление числа в математике, где a и b — числа или выражения. На самом деле это только одна из форм, в которой может быть представлено число.Существует два формата записи:
- обычный вид — ½ или а/б,
- десятичная форма — 0,5.
В правильной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда стоит делитель, который называется знаменателем. Линия между числителем и знаменателем означает деление.
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается при делении числителя на знаменатель. Десятичная дробь записывается в строке, разделенной запятой, чтобы отделить целую часть от дробной части. Как это:
- 0,7
- 6,51
- 9932
Замыкающая десятичная дробь — это дробь, в которой точно определено количество цифр после запятой.
Бесконечное десятичное число — это когда количество цифр после запятой бесконечно. Для удобства математики договорились округлить эти числа до 1-3 после запятой.
Запись
Повторяющаяся цифра (цифры) представляет собой период дроби и записывается в круглых скобках, чтобы сократить длину записи. Например, приведенные выше дроби следует сократить следующим образом:
- 0,17(3)
- 2,45(29)
- 4.1038(476)
Произношение
- 0.17(3) — нулевая точка, семнадцать сотых и три в периоде;
- 2,45 (29) — два целых, сорок пять сотых и двадцать девять в периоде;
- 4.1038(476) — это четыре целых числа, одна тысяча тридцать восемь десятитысячных и четыреста семьдесят шесть в периоде.
Переход к периодической десятичной дроби
Рассмотрим правильную дробь вида a/b. Разложим его знаменатель на простые множители. Здесь есть два варианта:
- В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко сводятся к десятичным.
- В разложении есть что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь не может быть представлена десятичной, но ее можно сделать периодической десятичной.
Чтобы сформулировать периодическую десятичную дробь, нужно найти ее периодическую и непериодическую части. Для этого необходимо преобразовать дробь в неправильную, а затем разделить числитель на знаменатель на один столбец.
Что будет в процессе:
- сначала нужно разделить всю деталь, если она есть;
- после запятой может быть больше цифр;
- через некоторое время числа начнут повторяться.
Повторяющиеся цифры после запятой обозначаются как периодическая часть, а то, что стоит впереди — непериодическая.
Пример. Преобразование обыкновенных дробей в периодические десятичные дроби:
Как мы решаем:
Не все дроби имеют целую часть, поэтому просто делим числитель на знаменатель уголком:
Остальное начало повторяться. Запишем дробь в соответствии с условиями задачи: 1,733… = 1,7(3).
В результате получаем: 0,5833… = 0,58(3).
Фиксируем: 4.0909… = 4.(09).
Получаем десятичную периодическую дробь: 0,4141… = 0, (41).
Получаем периодическую дробь
Попробуем разделить 1 на 3. Подробно останавливаться на том, как это сделать, мы не будем. Подробно этот момент описан в уроке о десятичных дробях, в теме деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.
Значит делим 1 на 3
Видно, что мы постоянно получаем остаток от 1, затем присваиваем ему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется снова и снова. В результате в дроби каждый раз получается число 3. Деление 1 на 3 будет производиться бесконечно, поэтому разумнее будет на этом остановиться.
Такие дроби называются периодическими, потому что они имеют период цифр, который повторяется до бесконечности. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять из одной, как в нашем примере.
В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333 — это число 3. Обычно такие дроби сокращают. Сначала запишите весь раздел, затем поставьте запятую и в скобках введите точку (число, которое повторяется).
В нашем примере повторяется число 3, это период в дроби 0,33333. Таким образом, сокращение будет выглядеть так:
0, (3)
Это читается как «целое ноль и три в периоде»
Пример 2: разделить 5 на 11
Это тоже периодическая дробь. Периодом этой дроби являются числа 4 и 5, эти числа повторяются до бесконечности. Сокращение будет выглядеть так:
0, (45)
Это читается как «ноль и сорок пять точек в периоде»
Пример 3: Разделите 15 на 13
Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно числа 153846. Для наглядности периоды разделены синей линией. Сокращенное обозначение этой периодической дроби будет выглядеть так:
1, (153846)
Он читается как: «сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».
Пример 4. Разделите 471 на 900
В данном примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2. Сокращенное обозначение этой периодической дроби будет выглядеть так:
0,52(3)
Он читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».
Читайте также: Положительные и отрицательные числа: определение, примеры, какое число больше положительное или отрицательное
Определение периодической дроби
Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой с определенного места периодически повторяется определенная группа цифр.
Периодическая часть дроби – это набор повторяющихся цифр, составляющих значащую часть.
В кратком обзоре периодической дроби повторяющиеся числа пишутся в скобках и называются периодом дроби. Например, вместо 1,555. записывают 1, (5) и читают «одно целое и пять в периоде».
Оставшийся отрезок значимой части, который не повторяется, называется непериодической частью.
Виды периодических дробей: чистые и смешанные.
Чистая повторяющаяся десятичная дробь — это десятичная дробь с точкой сразу после запятой. Например: 1,(4); 4, (25); 21, (693).
Смешанное повторяющееся десятичное число — это десятичное число, в котором точка начинается после одной или нескольких цифр после запятой. Например: 3,5(1); 0,02 (89); 7,0(123) и так далее
Рассмотрим примеры дробей, чтобы научиться определять части и периоды.
1/3 = 0,3333… = 0,(3)
Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; продолжительность периода: 1.
Читаем так: ноль целых три десятых в периоде.
7/12 = 0,583333… = 0,58(3)
Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.
Читаем так: ноль целых пятьдесят восемь сотых и три в точке.
17/11 = 1,545454… = 1,(54)
Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.
Читаем так: одна целых пятьдесят четыре сотые в периоде.
25/39 = 0,641025 641025… = 0,641025
Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6.
Читаем так: ноль целых шестьсот сорок одна двадцать пять миллионных периода.
пятьдесят четыре сотые за период.
9200/3 = 3066,666…= 3066, (6)
Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; продолжительность периода: 1.
Читаем так: три тысячи шестьдесят шесть целых и шесть в периоде.
Виды периодических дробей
Различают два вида периодических дробей: чистые и смешанные.
Если период периодической дроби начинается сразу после запятой, такая периодическая дробь называется чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:
0, (3)
0, (6)
0, (5)
Видно, что в этих дробях точка начинается сразу после запятой.
Если период в периодической дроби начинается не сразу, а через определенное количество неповторяющихся цифр, такая периодическая дробь называется смешанной. Например, смешиваются следующие периодические дроби:
0,52 (3)
0,16 (5)
0,31 (6)
Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а через определенное количество неповторяющихся цифр.
Избавляемся от хвоста
Так же, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавиться от повторяющейся точки в периодической дроби. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нужного разряда.
Например, округлим периодическую дробь 0, (3) до сотых. Чтобы увидеть сохраненную и выброшенную цифру, временно запишем дробь 0, (3) не сокращенно, а полностью:
Помните правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр равна 0, 1, 2, 3 или 4, сохраняемая цифра остается неизменной.
Это означает, что периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых становится дробью 0,33
0, (3) ≈ 0,33
Округлим периодическую дробь 6,31(6) до тысячных.
Запишем эту дробь полностью, чтобы увидеть сохраненную и выброшенную цифру:
Помните правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Значит периодическая дробь 6,31(6) округляется до тысячных до дроби 6,317
6,31 (6) ≈ 6,317
Перевод периодической дроби в обыкновенную
Давайте посмотрим, как преобразовать повторяющуюся десятичную дробь в правильную дробь.
Если период дроби равен нулю, решение будет быстрым. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется конечной десятичной дробью, и процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.
Пример. Преобразуем периодическую дробь 1,32(0) в правильную.
Для этого отбрасываем нули справа и получаем последнюю десятичную дробь 1,32. Далее следуем алгоритму из предыдущих разделов:
Вот ответ!
Рассмотрим пример, когда период дроби отличен от нуля.
Как записать периодическую дробь 10.0219(37) в виде правильной дроби:
- Считаем количество цифр в десятичном периоде. Обозначим количество разрядов буквой k.В нашем примере к = 2.
- Мы считаем количество цифр после запятой, но до точки десятичной дроби. Обозначим количество разрядов буквой m.м = 4.
- Записываем все цифры после запятой: включая цифры из точки как натуральное число.Если в начале перед первой значащей цифрой стоят нули, их отбрасываем. Обозначим полученное число как единицу.
а = 021937 = 21937
- Теперь запишем все цифры после запятой, но до точки, как натуральное число. Если перед первой значащей цифрой стоят ведущие нули, мы их отбрасываем. Обозначим полученное число — b.б=0219=219
- Подставляем найденные значения в формулу, где Y — целая часть бесконечной периодической дроби.Y=10
Теперь осталось подставить все найденные значения в формулу и получить ответ:
Вот так мы и решили задачу представления бесконечной периодической дроби в виде правильной.
Есть еще один способ преобразовать периодическую дробь в правильную. Для этого рассмотрим периодическую часть как сумму членов убывающей геометрической прогрессии. Например вот так:
0,(98) = 0,98 + 0,0098 + 0,000098 + 0,00000098 + ..
Это формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что 0 < q < 1, то сумма равна b/(1-q).
Пример. Превратите периодическую дробь 0,(7) в правильную дробь.
Как мы решаем:
- Напишем 0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + ..Мы видим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 0,7 и знаменателем 0,1.
- Воспользуемся формулой b/(1-q):0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + .. = 0,7/(1 — 0,1) = 0,7/0,9 = 7/9.
Ответ: 7/9.
Итак, существует два типа периодических дробей. Сейчас мы расскажем вам, чем отличаются способы перевода их в обыкновенные дроби.
Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную
Помните, что отличие чистой периодической десятичной дроби в том, что сразу после запятой следует точка.
Чтобы преобразовать чистую периодическую дробь в правильную, достаточно в числителе написать период, а в знаменателе написать столько девяток, сколько цифр в периоде. Как это:
Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную
Отличие смешанной периодической десятичной дроби в том, что после запятой после одной или нескольких цифр начинается точка.
Чтобы записать смешанную периодическую дробь в правильной форме, вычтите число перед первой точкой из числа перед второй точкой и запишите результат в числителе.
А в знаменатель нужно поставить число, содержащее столько цифр, сколько цифр в точке, нулей в конце и сколько цифр между запятыми и точками.
Например, запишем 2,34(2) в виде правильной дроби:
Алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь
Разберем алгоритм преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в простую на примере решения следующих задач.
УПРАЖНЕНИЕ 1. Обратим периодическую дробь
0,(45)
к простой дроби.
РЕШЕНИЕ. Если ввести обозначение
х = 0, (45) = 0,4545… ,
итак, умножая это соотношение на 100, получаем:
100x = 45,4545… .
В котором
100х — х = 99х =
= 45 0000… = 45.
Поэтому,
ОТВЕЧАТЬ: .
УПРАЖНЕНИЕ 2. Обрати периодическую дробь
6,2(7)
к простой дроби.
РЕШЕНИЕ. Если ввести обозначение
х = 6,2(7) = 6,2777… ,
итак, умножая это соотношение на 10, получаем:
10x = 62,7777… .
В котором
10х-х=9х =
= 62,7777… – 6,2777… =
= 56,5.