Перевод Периодической Дроби в Обыкновенную

Вычисления

Определение дроби

Прежде чем ответить на вопрос, как найти десятичную дробь, давайте рассмотрим основные определения, виды дробей и разницу между ними.

Дробь — это представление числа в математике, где a и b — числа или выражения. На самом деле это только одна из форм, в которой может быть представлено число.Существует два формата записи:

  • обычный вид — ½ или а/б,
  • десятичная форма — 0,5.

В правильной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда стоит делитель, который называется знаменателем. Линия между числителем и знаменателем означает деление.

дробные компоненты

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается при делении числителя на знаменатель. Десятичная дробь записывается в строке, разделенной запятой, чтобы отделить целую часть от дробной части. Как это:

  • 0,7
  • 6,51
  • 9932

десятичные компоненты

Замыкающая десятичная дробь — это дробь, в которой точно определено количество цифр после запятой.

Бесконечное десятичное число — это когда количество цифр после запятой бесконечно. Для удобства математики договорились округлить эти числа до 1-3 после запятой.

что такое десятичные дроби

Запись

Повторяющаяся цифра (цифры) представляет собой период дроби и записывается в круглых скобках, чтобы сократить длину записи. Например, приведенные выше дроби следует сократить следующим образом:

  • 0,17(3)
  • 2,45(29)
  • 4.1038(476)

Произношение

  • 0.17(3) — нулевая точка, семнадцать сотых и три в периоде;
  • 2,45 (29) — два целых, сорок пять сотых и двадцать девять в периоде;
  • 4.1038(476) — это четыре целых числа, одна тысяча тридцать восемь десятитысячных и четыреста семьдесят шесть в периоде.

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим правильную дробь вида a/b. Разложим его знаменатель на простые множители. Здесь есть два варианта:

  1. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко сводятся к десятичным.
  2. В разложении есть что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь не может быть представлена ​​десятичной, но ее можно сделать периодической десятичной.

Чтобы сформулировать периодическую десятичную дробь, нужно найти ее периодическую и непериодическую части. Для этого необходимо преобразовать дробь в неправильную, а затем разделить числитель на знаменатель на один столбец.

Что будет в процессе:

  • сначала нужно разделить всю деталь, если она есть;
  • после запятой может быть больше цифр;
  • через некоторое время числа начнут повторяться.

Повторяющиеся цифры после запятой обозначаются как периодическая часть, а то, что стоит впереди — непериодическая.

Пример. Преобразование обыкновенных дробей в периодические десятичные дроби:

пример перевода дроби

Как мы решаем:

Не все дроби имеют целую часть, поэтому просто делим числитель на знаменатель уголком:

разделить числитель на знаменатель

Остальное начало повторяться. Запишем дробь в соответствии с условиями задачи: 1,733… = 1,7(3).

Остальное начало повторяться

В результате получаем: 0,5833… = 0,58(3).

В итоге получаем: 0,5833

Фиксируем: 4.0909… = 4.(09).

Исправление: 4.0909

Получаем десятичную периодическую дробь: 0,4141… = 0, (41).

Получаем периодическую дробь

Попробуем разделить 1 на 3. Подробно останавливаться на том, как это сделать, мы не будем. Подробно этот момент описан в уроке о десятичных дробях, в теме деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

Значит делим 1 на 3

23111

Видно, что мы постоянно получаем остаток от 1, затем присваиваем ему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется снова и снова. В результате в дроби каждый раз получается число 3. Деление 1 на 3 будет производиться бесконечно, поэтому разумнее будет на этом остановиться.

Такие дроби называются периодическими, потому что они имеют период цифр, который повторяется до бесконечности. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять из одной, как в нашем примере.

В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333 — это число 3. Обычно такие дроби сокращают. Сначала запишите весь раздел, затем поставьте запятую и в скобках введите точку (число, которое повторяется).

В нашем примере повторяется число 3, это период в дроби 0,33333. Таким образом, сокращение будет выглядеть так:

0, (3)

Это читается как «целое ноль и три в периоде»

Пример 2: разделить 5 на 11

23112

Это тоже периодическая дробь. Периодом этой дроби являются числа 4 и 5, эти числа повторяются до бесконечности. Сокращение будет выглядеть так:

0, (45)

Это читается как «ноль и сорок пять точек в периоде»

Пример 3: Разделите 15 на 13

23113

Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно числа 153846. Для наглядности периоды разделены синей линией. Сокращенное обозначение этой периодической дроби будет выглядеть так:

1, (153846)

Он читается как: «сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».

Пример 4. Разделите 471 на 900

23114

В данном примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2. Сокращенное обозначение этой периодической дроби будет выглядеть так:

0,52(3)

Он читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».

Читайте также: Положительные и отрицательные числа: определение, примеры, какое число больше положительное или отрицательное

Определение периодической дроби

Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой с определенного места периодически повторяется определенная группа цифр.

Периодическая часть дроби – это набор повторяющихся цифр, составляющих значащую часть.

В кратком обзоре периодической дроби повторяющиеся числа пишутся в скобках и называются периодом дроби. Например, вместо 1,555. записывают 1, (5) и читают «одно целое и пять в периоде».

период в дробях

Оставшийся отрезок значимой части, который не повторяется, называется непериодической частью.

Виды периодических дробей: чистые и смешанные.

Чистая повторяющаяся десятичная дробь — это десятичная дробь с точкой сразу после запятой. Например: 1,(4); 4, (25); 21, (693).

Смешанное повторяющееся десятичное число — это десятичное число, в котором точка начинается после одной или нескольких цифр после запятой. Например: 3,5(1); 0,02 (89); 7,0(123) и так далее

Рассмотрим примеры дробей, чтобы научиться определять части и периоды.

1/3 = 0,3333… = 0,(3)

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; продолжительность периода: 1.

Читаем так: ноль целых три десятых в периоде.

7/12 = 0,583333… = 0,58(3)

Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.

Читаем так: ноль целых пятьдесят восемь сотых и три в точке.

17/11 = 1,545454… = 1,(54)

Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.

Читаем так: одна целых пятьдесят четыре сотые в периоде.

25/39 = 0,641025 641025… = 0,641025

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6.

Читаем так: ноль целых шестьсот сорок одна двадцать пять миллионных периода.

пятьдесят четыре сотые за период.

9200/3 = 3066,666…​​​= 3066, (6)

Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; продолжительность периода: 1.

Читаем так: три тысячи шестьдесят шесть целых и шесть в периоде.

Виды периодических дробей

Различают два вида периодических дробей: чистые и смешанные.

Если период периодической дроби начинается сразу после запятой, такая периодическая дробь называется чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:

0, (3)

0, (6)

0, (5)

Видно, что в этих дробях точка начинается сразу после запятой.

Если период в периодической дроби начинается не сразу, а через определенное количество неповторяющихся цифр, такая периодическая дробь называется смешанной. Например, смешиваются следующие периодические дроби:

0,52 (3)

0,16 (5)

0,31 (6)

Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а через определенное количество неповторяющихся цифр.

Избавляемся от хвоста

Так же, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавиться от повторяющейся точки в периодической дроби. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нужного разряда.

Например, округлим периодическую дробь 0, (3) до сотых. Чтобы увидеть сохраненную и выброшенную цифру, временно запишем дробь 0, (3) не сокращенно, а полностью:

23115

Помните правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр равна 0, 1, 2, 3 или 4, сохраняемая цифра остается неизменной.

Это означает, что периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых становится дробью 0,33

0, (3) ≈ 0,33

Округлим периодическую дробь 6,31(6) до тысячных.

Запишем эту дробь полностью, чтобы увидеть сохраненную и выброшенную цифру:

23116

Помните правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит периодическая дробь 6,31(6) округляется до тысячных до дроби 6,317

6,31 (6) ≈ 6,317

Перевод периодической дроби в обыкновенную

Давайте посмотрим, как преобразовать повторяющуюся десятичную дробь в правильную дробь.

Если период дроби равен нулю, решение будет быстрым. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется конечной десятичной дробью, и процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

Пример. Преобразуем периодическую дробь 1,32(0) в правильную.

Для этого отбрасываем нули справа и получаем последнюю десятичную дробь 1,32. Далее следуем алгоритму из предыдущих разделов:

Преобразование периодической дроби в правильную дробь

Вот ответ!

Рассмотрим пример, когда период дроби отличен от нуля.

Как записать периодическую дробь 10.0219(37) в виде правильной дроби:

  1. Считаем количество цифр в десятичном периоде. Обозначим количество разрядов буквой k.В нашем примере к = 2.

     

  2. Мы считаем количество цифр после запятой, но до точки десятичной дроби. Обозначим количество разрядов буквой m.м = 4.

     

  3. Записываем все цифры после запятой: включая цифры из точки как натуральное число.Если в начале перед первой значащей цифрой стоят нули, их отбрасываем. Обозначим полученное число как единицу.

    а = 021937 = 21937

     

  4. Теперь запишем все цифры после запятой, но до точки, как натуральное число. Если перед первой значащей цифрой стоят ведущие нули, мы их отбрасываем. Обозначим полученное число — b.б=0219=219

     

  5. Подставляем найденные значения в формулу, где Y — целая часть бесконечной периодической дроби.Y=10

    Подставляем найденные значения в формулу

Теперь осталось подставить все найденные значения в формулу и получить ответ:

подставить значения в формулу

Вот так мы и решили задачу представления бесконечной периодической дроби в виде правильной.

Есть еще один способ преобразовать периодическую дробь в правильную. Для этого рассмотрим периодическую часть как сумму членов убывающей геометрической прогрессии. Например вот так:

0,(98) = 0,98 + 0,0098 + 0,000098 + 0,00000098 + ..

Это формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что 0 < q < 1, то сумма равна b/(1-q).

Пример. Превратите периодическую дробь 0,(7) в правильную дробь.

Как мы решаем:

  1. Напишем 0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + ..Мы видим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 0,7 и знаменателем 0,1.

     

  2. Воспользуемся формулой b/(1-q):0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + .. = 0,7/(1 — 0,1) = 0,7/0,9 = 7/9.

Ответ: 7/9.

Итак, существует два типа периодических дробей. Сейчас мы расскажем вам, чем отличаются способы перевода их в обыкновенные дроби.

Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную

Помните, что отличие чистой периодической десятичной дроби в том, что сразу после запятой следует точка.

Чтобы преобразовать чистую периодическую дробь в правильную, достаточно в числителе написать период, а в знаменателе написать столько девяток, сколько цифр в периоде. Как это:

Преобразование чистой периодической дроби в правильную

Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную

Отличие смешанной периодической десятичной дроби в том, что после запятой после одной или нескольких цифр начинается точка.

Чтобы записать смешанную периодическую дробь в правильной форме, вычтите число перед первой точкой из числа перед второй точкой и запишите результат в числителе.

А в знаменатель нужно поставить число, содержащее столько цифр, сколько цифр в точке, нулей в конце и сколько цифр между запятыми и точками.

Например, запишем 2,34(2) в виде правильной дроби:

2.34(2) в виде правильной дроби

Алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь

Разберем алгоритм преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в простую на примере решения следующих задач.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Обратим периодическую дробь

0,(45)

к простой дроби.

РЕШЕНИЕ. Если ввести обозначение

х = 0, (45) = 0,4545… ,

итак, умножая это соотношение на 100, получаем:

100x = 45,4545… .

В котором

100х — х = 99х =
= 45 0000… = 45.

Поэтому,

ОТВЕЧАТЬ:       .

УПРАЖНЕНИЕ 2. Обрати периодическую дробь

6,2(7)

к простой дроби.

РЕШЕНИЕ. Если ввести обозначение

х = 6,2(7) = 6,2777… ,

итак, умножая это соотношение на 10, получаем:

10x = 62,7777… .

В котором

10х-х=9х =
= 62,7777… – 6,2777… =
= 56,5.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word