Периметр трапеции 4 формулы

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин сторон:

АВ+CD=BC+AD

2. Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, соединяющий основания, а также делит пополам диагонали:

AK=KB, AM=MC, BN=ND, CL=LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

м =	а+б
2

4. Точка пересечения диагоналей трапеции с серединами оснований лежит на одной прямой. В трапеции сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким отношением длин, как отношение между основаниями:

ВС : АД = ОС : АО = ОБ : ДО

7. Диагонали трапеций d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

d12 + d22 = 2ab + c2 + d2

Формула вычисления периметра

Периметр (Р) трапеции равен сумме длин всех сторон.

Р = а + б + с + г

• b и d — основания трапеции;
• а и с — стороны.

Периметр равнобедренной трапеции

У равнобедренной трапеции стороны равны (а = с), поэтому ее еще называют равнобедренной. Окружность рассчитывается следующим образом:

P = 2a + b + d или P = 2c + b + d

Периметр прямоугольной трапеции

Для вычисления длины окружности используется та же формула, что и для масштабированной трапеции.

Р = а + б + с + г

Периметр произвольной трапеции

Периметр произвольной трапеции, где AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, имеет вид:

НАИБОЛЬШИЙ P_{ABCD} = a + b + c + d

где:
P — периметр трапеции
а, б, в, г — стороны трапеции

Периметр равнобокой трапеции

Равнобедренная трапеция – это трапеция, у которой стороны равны.

Периметр произвольной трапеции, где AB=CD=a, BC=b, AD=c, имеет вид:

БОЛЬШОЕ P_{ABCD} = 2 cdot a + b + c

где:
P — периметр трапеции
а, б, в, г — стороны трапеции

Нарисуйте равнобедренную трапецию

Трапеция будет равнобедренной, если выполняется одно из следующих условий:

1. Углы при основании равны: ∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

2. Диагонали равны: AC = BD

3. Равные углы между диагоналями и основаниями: ∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сумма противоположных углов равна 180°: ∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Вокруг трапеции можно описать окружность

Также можно найти периметр трапеции, не зная длин оснований, но имея срединную линию м. По определению средняя линия равна половине суммы оснований трапеции, поэтому умножив ее на два, можно подставьте его вместо оснований в формулу периметра: (P = 2 cdot m + c + d ).

Читайте также: Как найти периметр ромба: формула через стороны, диагонали

Как найти периметр трапеции?

найти периметр трапеции очень просто с помощью нашего онлайн-калькулятора. Периметр также можно найти самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того, какие данные известны.

1) По четырем сторонам

где a,b,c,d — стороны трапеции.

2) По основанию и боковой стороне равнобедренной трапеции

где a,b,c — стороны трапеции.

3) По средней линии и боковым сторонам

где c,d — стороны, а L — длина центральной линии.

4) По высоте и верхнему основанию и боковым сторонам

где а — верхнее основание, h — высота, с и d — стороны.

Пример задачи на нахождение периметра трапеции

Задание 1

Найдите периметр трапеции, если основания равны 7 см и 10 см, а стороны 4 см и 5 см.

Решение

Воспользуемся первой формулой. Подставляем в него значения длин сторон трапеции и вычисляем периметр:

Р = а + b + с + d = 4 + 7 + 5 + 10 = 26:см

Ответ: 26 см

Осталось проверить ответ с помощью калькулятора .

Задача 1

Около окружности описана трапеция, длина окружности которой равна 60. Найдите длину центральной линии.

Решение:

Окружность можно вписать в квадрат тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны:

AD+CD=DC+AB=PABCD/2,

Где PABCD — периметр трапеции. На самом деле, PABCD =AD+CB+DC+AB=2(DC+AB), что означает DC+AB=PABCD/2

Медиана трапеции равна половине суммы ее оснований, то есть MN=(DC+AB)/2=(PABCD/2)/2=PABCD/4 = 60/4=15 .

Ответ: 15.

Задача 2

Около окружности описана трапеция, длина окружности которой равна 44. Найдите длину центральной линии.

Решение. Рассуждаем таким же образом и получаем MN=(DC+AB)/2=(PABCD/2)/2=PABCD/4 = 44/4=11.

Ответ: 11.

То есть мы сами достали лайфхак для решения этой проблемы:

Лайфхак 1Если в трапецию вписана окружность и задан периметр трапеции, разделите периметр на 4, чтобы найти среднюю линию трапеции.

И обратный хак:

Лайфхак 2 Если в трапецию можно вписать окружность, и дана средняя линия трапеции (l), то формула периметра трапеции P будет:

Р=4л

Используем лайфхак 1 на следующей проблеме?

Задача 3

Около окружности описана трапеция, длина окружности которой равна 30. Найдите длину центральной линии.

Расчет Разделите длину окружности на 4 и получите центральную линию трапеции: 30/4=7,5.

Ответ: 7,5.

Задача 4

Периметр прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, равен 100, длинная сторона 37, найдите радиус окружности.

Решение. Периметр трапеции равен: AD+DC+CB+AB=PABCD (1)

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин противоположных сторон равна. То есть имеем: AD+CB=DC+AB (2)

С учетом (2) равенство (1) можно записать в виде: 2(АД+CB)=PABCD (3)

Теперь давайте посмотрим на эту картинку:

Видно, что поскольку AD=2R, где R — радиус окружности.

Тогда AD+CB=2R+37, поэтому равенство (3): 2(2R+37)=100.

Решаем уравнение относительно R:

4Р+74=100

4R=100-74

4р=26

Р=26/4

Р=6,5

Ответ: 6,5

Задача 5

Из сборника ЕГЭ по математике профильный уровень 2020 вариант 19 задание 6.
Около окружности описана трапеция, длина окружности которой равна 28. Найдите длину центральной линии.
Решение: используя полученный выше лайфхак, вычисляем длину центральной линии трапеции: делим периметр трапеции на 4.
Получаем 28_4=7
Ответ: 7.