Пирамида с основанием прямоугольника

Свойства пирамиды.

1.  Когда все боковые ребра имеют одинаковый размер, выполните следующие действия:

• вблизи основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
• боковые ребра образуют одинаковые углы с базовой плоскостью;
• кроме того, верно и обратное, т.е когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, или когда вблизи основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности , то все боковые ребра пирамиды имеют одинаковый размер.

1.  Когда боковые поверхности имеют угол наклона к плоскости основания с одинаковым значением, то:

• вблизи основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
• высоты боковых поверхностей имеют одинаковую длину;
• площадь боковой поверхности равна ½ произведения периметра основания на высоту боковой поверхности.

1.  Сферу можно описать близко к пирамиде, если основанием пирамиды является многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет пересечение плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы мы заключаем, что сферу можно описать как вокруг любой треугольной, так и вокруг любой правильной пирамиды;
2.  Сферу можно вписать в пирамиду, если биссектрисы внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1 точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.
3.  Конус будет вписан в пирамиду, когда их вершины совпадут, а основание конуса будет вписано в основание пирамиды. В то же время вписать конус в пирамиду можно только в том случае, если апофемы пирамиды имеют равные значения (необходимое и достаточное условие);
4.  Конус будет вписан в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса будет вписано в основание пирамиды. В этом случае описать конус, близкий к пирамиде, можно только в том случае, если все боковые ребра пирамиды имеют одинаковые значения (необходимое и достаточное условие). Высоты этих конусов и пирамид одинаковы.
5.  Цилиндр будет вписан в пирамиду, если 1 его основание совпадает с окружностью, вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание будет принадлежать основанию пирамиды.
6.  Цилиндр будет вписан около пирамиды, когда вершина пирамиды принадлежит одному основанию, а другое основание цилиндра будет вписано около основания пирамиды. В то же время описать цилиндр, близкий к пирамиде, можно только в том случае, если основанием пирамиды является вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

Определение 3. Правильной n — углеродной пирамидой (правильной пирамидой) называется такая углеродная пирамида n — основанием которой является квадрат n — правильный A1A2… An, а основанием перпендикуляра, опущенного из точки S на плоскость α, является квадрат n — центр общего A1A2… An (рис. 2).

Рис.2

Примечание 2. Если центр основания A1A2… An правильной пирамиды SA1A2… An обозначить буквой O, то длина отрезка SO будет равна высоте пирамиды. Часто сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной от вершины S .

Определение 4. Высота боковой поверхности правильной пирамиды, опущенная из вершины S, называется апофемой.

Рис.3

На рис. 3 отрезок SB является апофемой поверхности SAnAn-1, а отрезок SC — апофемой поверхности SA2A1.

Замечание 3. Любая правильная n-углеродная пирамида может иметь n апофем.

Свойства правильной пирамиды:

	Все стороны правильной пирамиды равны.
	Все стороны правильной пирамиды представляют собой равные равнобедренные треугольники.
	В любой правильной пирамиде все апофемы равны.
	Все боковые ребра правильной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания пирамиды.
	Все боковые грани правильной пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания пирамиды.

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Определение 5. Произвольная треугольная пирамида называется тетраэдром.

Заявление. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, таких как AC и BS. Обозначим через D середину ребра AC. Так как отрезки BD и SD являются медианами равнобедренных треугольников ABC и ASC, то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).

Рис.4

По критерию перпендикулярности к прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS, что и требовалось доказать.

Определение 6. Правильная треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется правильным тетраэдром (рис. 5).

Рис.5

Задача. Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром а .

Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC. Пусть точка O — основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC — правильная пирамида, точка O — это пересечение медиан равностороннего треугольника ABC. Поэтому,

где буква D обозначает середину ребра AC (рис. 6).

Пирамиды, в которых грани перпендикулярны основанию

Рассмотрим свойства пирамид, у которых боковые грани перпендикулярны основанию.

Если две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, то общее боковое ребро этих граней является высотой пирамиды. Если в задаче сказано, что ребром пирамиды является высота, то речь идет об этом типе пирамиды.

Грани пирамиды, перпендикулярные основанию, представляют собой прямоугольные треугольники.

Если основание пирамиды треугольник

Боковую поверхность такой пирамиды обычно ищут как сумму площадей всех боковых поверхностей.

Основание пирамиды представляет собой ортогональную проекцию грани, не перпендикулярную основанию (в данном случае SBC). Тогда по теореме о площади ортогональной проекции площадь основания равна произведению площади этой грани на косинус угла между ней и плоскостью основания.

Если основание пирамиды прямоугольный треугольник

В этом случае все грани пирамиды являются прямоугольными треугольниками.

Треугольники SAB и SAC прямоугольные, так как SA — высота пирамиды. Треугольник АВС прямоугольный.

То, что треугольник SBC прямоугольный, следует из теоремы о трех перпендикулярах (AB — проекция косой SB на плоскость основания. Так как AB перпендикулярен BC по условию, то SB также перпендикулярен BC).

Угол между боковой поверхностью SBC и основанием в данном случае является углом ABS.

 

Если основание пирамиды равнобедренный треугольник

В этом случае угол между плоскостью боковой грани BCS и плоскостью основания равен углу AFS, где AF — высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника ABC.

Аналогично — если в основании пирамиды лежит равносторонний треугольник ABC.

 

Если основание пирамиды параллелограмм

В этом случае основание пирамиды представляет собой ортогональную проекцию боковых граней, не перпендикулярных основанию.

Если мы разделим основание на два треугольника, то

где α и β — соответственно углы между плоскостями ADS и CDS и плоскостью земли.

Если BF и BK — высоты параллелограмма, то угол BFS — это угол наклона боковой поверхности CDS к плоскости основания, а угол BKS — угол наклона поверхности ADS.

(рисунок сделан для случая, когда угол В тупой).

Если основанием пирамиды является ромб ABCD, то углы BFS и BKS равны. Треугольники ABS и CBS, а также ADS и CDS в этом случае также равны.

Если основание пирамиды прямоугольник

В этом случае угол между плоскостью боковой поверхности SAD и плоскостью основания равен углу SAB,

а угол между плоскостью боковой поверхности SCD и плоскостью основания равен углу SCB

(по теореме о трех перпендикулярах).

Соответственно

Отсюда боковую поверхность можно найти как

Здесь все стороны пирамиды — прямоугольные треугольники (углы SAD и SCD прямые, согласно теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, поверхность страницы можно искать напрямую:

Если в основании пирамиды лежит квадрат ABCD, задача упрощается: треугольники ABS и BCS, а также треугольники ADS и CDS в этом случае равны.

Читайте также: Площадь полной поверхности конуса

Виды пирамид

Пирамида называется правильной, если ее основание представляет собой правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Для правильной пирамиды верно:

— боковые ребра правильной пирамиды равны;

— в правильной пирамиде все боковые грани равны равнобедренным треугольникам;

— шар можно вписать в любую правильную пирамиду;

— около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

— площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения длины окружности основания и апофемы.

Треугольная пирамида

• Основание – треугольник ABC (может быть произвольным, равнобедренным, прямоугольным или равносторонним).
• Ребро BE перпендикулярно основанию ABC; высота пирамиды (h).
• ⦟ABE и ⦟CBE – прямые, т.е равные 90°.
• Грани ABE и CBE — прямоугольные треугольники.
• Грань AEC наклонена к плоскости земли под углом α (⦟EMB).

Четырехугольная пирамида

• Основание: прямоугольник, квадрат, параллелограмм или ромб.
• Ребро AE перпендикулярно основанию ABCD; высота фигуры (h).
• Грани ADE и ABE — прямоугольные треугольники.

Если основание такой пирамиды квадрат или прямоугольник, то ⦟CDE и ⦟CBE равны 90°. Все стороны фигуры — прямоугольные треугольники.

Примечание: иногда пирамиду с боковым ребром, перпендикулярным основанию, ошибочно называют прямоугольной. Это может быть правдой только в том случае, если один из углов имеет 3 прямых угла (например, на рисунке выше).

Прямоугольник

$S=a·b$, где $a$ и $b$ — смежные стороны.

Ромб

$S={d_1 d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $a$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а высота приходится на центр основания (центр описанной окружности). Все стороны правильной пирамиды равны, поэтому все стороны равнобедренного треугольника.

Формулы расчета объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ — высота страницы (апофема)

$S_{страница}={P_main h_a}/{2}$

$S_{pp}=S_{страница}+S_{основная}$

$V={1}/{3} S_{main} ч$

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $a$ — длина стороны.
2. Квадрат $S=a^2$, где $a$ — сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник

Разделим шестиугольник на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6 S_{triangles}={6 a^2 √3}/{4}={3 a^2 √3}/{2}$, где $a$ — сторона правильного шестиугольника.

Пример:

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона которой равна 10$, а высота равна 5√3$.

Решение:

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

$V={1}/{3} S_{main} ч$

Так как пирамида правильная, то в основании лежит равносторонний треугольник, а площадь находим по формуле:

$S_{оснований}={a^2 √3}/{4}={10^2 √3}/{4}=25√3$

Подставляем все данные в формулу объема и вычисляем ее:

$V={1}/{3} S_{main} h={25√3 5√3}/{3}={25 5 3}/{3}=25 5=125$

Ответ: $125$

Аналогичные пирамиды: если все линейные размеры пирамиды увеличить в $k$ раз, то объем увеличится в $k^3$ раз.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$

Для острого угла $B: AC$ — противолежащий катет; $ВС$ — соседняя ветвь.

Для острого угла $A: BC$ — противолежащий катет; $AC$ — соседняя нога.

1. Синус (sin) острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенс (tg) острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
4. Котангенс (ctg) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

Практика: решить задание 8 и возможности подготовки к ЕГЭ по математике (профиль)

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды

Введем следующие обозначения

В	объем пирамиды
Страница	боковая поверхность пирамиды
Полный	общая площадь поверхности пирамиды
Сосн	площадь основания пирамиды
Хвалить	окружность основания пирамиды

Тогда справедливы следующие формулы для расчета объема, площади боковой и всей поверхности пирамиды:

Пирамида	Рисунок	Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности
Случайная пирамида		, где h — высота пирамиды.
– угольная пирамидаПравильно		(см раздел «правильные многоугольники»), где h — высота правильной пирамиды, а — длина ребра основания правильной пирамиды, l — длина апофемы правильной пирамиды.
Правильный тетраэдр		(см раздел «правильные многоугольники»), высота правильного тетраэдра где а — длина ребра правильного тетраэдра

Случайная пирамида

Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: , где h — высота пирамиды.

– угольная пирамидаПравильно

Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: (см раздел «правильные многоугольники»), где h — высота правильной пирамиды, а — длина ребра основания правильной пирамиды, l — длина апофемы правильной пирамиды.

Правильный тетраэдр

Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: (см раздел «правильные многоугольники»), высота правильного тетраэдра где а — длина ребра правильного тетраэдра