Площадь многоугольника: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Вычисления

Геометрия многоугольников

В общем, такая геометрическая фигура может иметь абсолютно любую форму. Например, символы звезды и компаса, многоугольник моделирования или поверхность шестерни являются многоугольниками. Многоугольные фигуры делятся на две группы:

  • невыпуклая, имеющая любую причудливую форму с возможными самопересечениями (наиболее очевидный пример — звезда);
  • выпуклые, все точки лежат по одну сторону от прямой, проведенной через две соседние вершины (квадрат, треугольник).

Выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны, считается правильным и имеет собственное название. Например, правильный пятиугольник называется пятиугольником, шестерка — шестиугольником, восьмиугольник — восьмиугольником, десятиугольник — десятиугольником, одиннадцать — десятиугольником, а двенадцать — двуугольником. Каждый правильный многоугольник имеет свою вписанную и описанную окружность. В этом случае окружность также можно представить в виде правильного многоугольника, имеющего бесконечное число углов.

Многоугольники в реальности

Невыпуклые многоугольники в реальной жизни практически не распространены: в природе они встречаются довольно редко, а в рукотворном виде выступают гранями деталей машин. Многие морские организмы пятисимметричны, и морская звезда является наиболее ярким примером невыпуклой фигуры.

Правильных геометрических фигур, наоборот, в природе встречается много. Самый очевидный пример — соты, где каждая ячейка представляет собой шестиугольник. Такие шестигранные ячейки позволяют мелким рабочим максимально экономно использовать площадь улья, заполняя пространство без зазоров. Кроме того, многие простейшие организмы, например радиолярии, имеют форму правильных многоугольников.

Площадь многоугольника

Площадь геометрической фигуры – характеристика плоского предмета, показывающая его размер. Площадь невыпуклых многоугольников находится путем разбиения фигуры на более мелкие составляющие, обычно треугольники или квадраты. Наш онлайн-калькулятор позволяет вычислить только площадь правильных многоугольников, которая определяется по общей формуле:

S = n/4 × a2 × ctg(pi/n),

где n — количество сторон фигуры, а — длина стороны.

Подставив количество сторон фигуры вместо n, можно получить формулу определения площади любого правильного многоугольника, которая будет равна площади квадрата а2, умноженной на определенный коэффициент. Интересно, что с увеличением количества углов этот коэффициент тоже будет увеличиваться, например, для пятиугольника — 1,72 и шестиугольника — 2,59.

Поскольку окружность может быть описана или вписана вокруг любого правильного многоугольника, мы можем использовать соответствующие радиусы для вычисления площадей многоугольников. Сторона и радиус описанной окружности любого многоугольника связаны следующим образом:

а = R×2 sin(pi/n),

где R — радиус описанной окружности, n — количество сторон геометрической фигуры.

Для окружности, вписанной в многоугольник, соотношение немного меняется и выглядит так:

а = r × 2tg (пи/п),

где r — радиус вписанной окружности.

Поэтому для определения площади правильного многоугольника необходимо указать количество сторон n и любой параметр на выбор:

  • длина стороны а;
  • радиус вписанной окружности r;
  • радиус описанной окружности R.

Рассмотрим пару примеров, чтобы найти площадь любого многоугольника.

Читайте также: Как найти радиус вписанной в квадрат окружности: через сторону, диагональ

Через длину стороны

Формула расчета

Формула вычисления площади правильного многоугольника через длину стороны

Через радиус вписанной окружности

Формула расчета

Формула вычисления площади правильного многоугольника через радиус вписанной в него окружности

Через радиус описанной окружности

Формула расчета

Формула вычисления площади правильного многоугольника через радиус описанной вокруг него окружности

Примеры из жизни

Пчелиные соты

Соты – это уникальный природный объект, состоящий из множества шестиугольных призматических ячеек. Давайте посчитаем, сколько таких шестиугольников в прянике. Для этого нам нужно знать общую площадь и площадь клетки. Мы знаем из Википедии, что стандартный сотовый каркас имеет размеры 435 х 300 мм соответственно, общая площадь составляет 130 500 квадратных миллиметров. В нем также говорится, что горизонтальный диаметр ячейки составляет примерно 5,5 мм. Горизонтальный диаметр многоугольника равен диаметру вписанной в него окружности, поэтому мы знаем параметр r = 2,75 мм. Таким образом, при n = 6 площадь клетки равна:

С=26,19

Теперь мы можем узнать общее количество ячеек в ячейке, которое выражается как 130500/26,19 = 4982

Снежинка

Снежинки имеют форму правильного треугольника или шестиугольника, потому что вода состоит из трех атомов, и при переходе из одного агрегатного состояния в другое молекулы воды объединяются с другими частицами, образуя треугольник или шестиугольник. Равносторонний треугольник — это такой же правильный многоугольник, как и другие, потому что у него три равные стороны и три равных угла. Соответственно, мы можем определить площадь такой снежинки, просто зная длину стороны. Пусть сторона снежинки равна 8 условным единицам. Тогда для определения площади нам нужно указать n = 3 и a = 8. Получим результат в виде:

С=27,71

Помимо площади абстрактной снежинки, наш калькулятор также рассчитал радиусы вписанной и описанной окружностей.

Формулы расчёта длины стороны многоугольника зная периметр или радиус вписанной или описанной окружности.

Формула вычисления периметра многоугольника, зная длины сторон: p = a × n,
где а — длина страницы, n — количество страниц.

Формула для вычисления периметра многоугольника, зная радиус вписанной окружности: a = 2 × sin(pi/n) × r,
где r — радиус вписанной окружности, воспользуемся формулой для вычисления периметра многоугольника.

Формула вычисления периметра многоугольника, зная радиус описанной окружности: a = 2 × tg(pi/n) × r,
где r — радиус описанной окружности, используем формулу для вычисления периметра многоугольника.

Формулы расчёта площади многоугольника через тангенс или радиус вписанной окружности.

Формула вычисления площади правильного многоугольника через сторону S=(n*a2)/(4*tg(180/n)).
Где (S) — площадь правильного многоугольника, (n) — количество сторон, (a) — длина стороны, (tg) — касательная.

Формула вычисления площади правильного многоугольника через радиус вписанной окружности: S=r2*n*tg(180/n).
Где (r) — радиус вписанной окружности

Формула вычисления площади правильного многоугольника через радиус описанной окружности: S=1/2*R2*n*sin(360/n).
Где (R) — радиус описанной окружности, (sin) — синус.

Формулы расчёта периметра многоугольника зная длину стороны, радиус вписанной и описанной окружности.

Формула вычисления длины стороны многоугольника через периметр: а = P/n,
где P — периметр многоугольника, n — количество сторон.

Формула для вычисления периметра многоугольника, зная радиус вписанной окружности: a = 2 × sin × (pi/n) × r,
где r — радиус вписанной окружности.

Формула вычисления периметра многоугольника, зная радиус описанной окружности: a = 2 × tg × (pi/n) × r,
где r — радиус описанной окружности.

Формулы расчёта внутренних и внешних углов многоугольника.

Во всех правильных многоугольниках все углы равны.

Формула вычисления внутренних и внешних углов многоугольника:
Внутренний угол=((n-2)*180)/n, внешний угол=180-внутренний угол

n — количество сторон многоугольника.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word