Площадь полной поверхности конуса

Конусы

Рассмотрим произвольную плоскость α, точку S, не лежащую на плоскости α, и перпендикуляр SO, опущенный из точки S на плоскость α (точка O — основание перпендикуляра). Также рассмотрим произвольную окружность с центром в точке O, лежащую на плоскости α.

Определение 1. Конусом называется фигура, состоящая из всех отрезков, соединяющих точку S с точками заданной окружности с центром в точке О, лежащей на плоскости α (рис. 1).

Рисунок 1

Определение 2.

	Точка S называется вершиной конуса.
	Отрезок SO называется осью конуса.
	до плоскости S Расстояние от точки до плоскости S Расстояние от точки α (длина отрезка SO) называется высотой конуса.
	Окружность с центром в точке О, лежащая на плоскости α, называется основанием конуса, радиус этой окружности называется радиусом основания конуса, а сама плоскость α называется плоскостью основания конуса конус. Конус.
	Отрезки, соединяющие точку S с точками окружности, называются образующими конуса.
	Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность).
	Вся поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности.

Примечание 1. Отрезок SO часто называют высотой конуса.

Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. Для конуса высотой h и радиусом основания r длина образующих равна

Усеченные конусы

Рассмотрим конус с вершиной S, осью SO, радиусом основания r и высотой h. Плоскость β, параллельная плоскости основания конуса и расположенная на расстоянии h1 от вершины h1 расстояния S, пересекает конус по окружности радиуса r1 с центром в точке O1 (рис. 2).

Рис.2

Из подобия прямоугольных треугольников SOA и SO1A1 радиус r1 можно выразить через известные величины r, h и h1:

Таким образом, плоскость β делит конус на две части: конус с осью SO1 и радиусом основания r1 и вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).

Рис.3

Усеченный конус ограничен двумя основаниями: окружностью с центром в точке O радиуса r на плоскости α и окружностью с центром в точке O1 радиуса r1 на плоскости β, а также боковой поверхностью усеченного конуса, которая является частью боковой поверхности исходного конуса, заключенной между плоскостями α и β. Вся поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, заключенная между плоскостями α и β, называется образующей усеченного конуса. Например, на рис. 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок АА1.

Читайте также: Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

Высота усеченного конуса — это расстояние между плоскостями, расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. Усеченный конус, изображенный на рис. 2, имеет высоту h — h1.

Свойства

г — радиус
д — диаметр
l — образующая
ч — высота
В — объем
S — площадь α, β — угол
R — радиус описанной сферы
r1 — радиус вписанной сферы

Найти площадь поверхности конуса через:

генерирует высоту Базовый радиус (r): Генерирует (l): Высота (h):

Конус – геометрическое тело, состоящее из окружности (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этой окружности (вершины конуса), и всех точек, соединяющих вершину конуса с точками база.

Формула конической поверхности:

, где r — радиус основания, l — образующая

Формула конической поверхности:

, где r — радиус основания, h — высота

1. Боковая поверхность

Площадь (S) боковой поверхности конуса равна произведению числа π, радиуса основания и длины образующей.

Сторона = πRl

Образующая (l) соединяет вершину конуса и границу основания, другими словами точку на окружности.

Примечание: при расчетах значение числа π округляется до 3,14.

2. Основание

Основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется следующим образом:

Сосн. = πR2

Учитывая, что диаметр окружности равен двум ее радиусам (d = 2R), эту формулу можно представить в виде:

Сосн. = π(d/2)2

3. Полная площадь

Для вычисления общей площади конуса складываем площади боковой поверхности и основания:

Полный = πRl + πR2 = πR(l + R)

Примеры задач

упражнение 1
Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его радиус равен 16 см, а длина образующей 5 см.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой с известными величинами:
S = 3,14 ⋅ 16 см ⋅ 5 см = 251,2 см2.

Задача 2
Высота конуса 4 см, а его радиус 3 см. Найдите площадь полной поверхности фигуры.

Решение:
Если мы посмотрим на конус в поперечном сечении, то увидим, что высота, радиус и образующая представляют собой прямоугольный треугольник. Следовательно, используя теорему Пифагора, можно найти длину образующей (то есть гипотенузы):
l2 = (4 см)2 + (3 см)2 = 25 см2.
л = 5 см.

Остается только использовать найденные и известные по условиям задачи значения для вычисления площади:
S = 3,14 ⋅ 3 см ⋅ (5 см + 3 см) = 75,36 см2.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

Введем следующие обозначения

В	объем конуса (объем усеченного конуса)
Страница	боковая поверхность конуса (площадь боковой поверхности усеченного конуса)
Полный	общая площадь поверхности конуса (полная поверхность усеченного конуса)
Сосн	базовая поверхность конуса
Дополнительная база	площадь верхнего основания усеченного конуса
Медленнее основной	площадь нижнего основания усеченного конуса

В объем конуса (объем усеченного конуса)

Страница боковая поверхность конуса (площадь боковой поверхности усеченного конуса)

Полный общая площадь поверхности конуса (полная поверхность усеченного конуса)

Сосн базовая поверхность конуса

Дополнительная база площадь верхнего основания усеченного конуса

Медленнее основной площадь нижнего основания усеченного конуса

Тогда справедливы следующие формулы для расчета объема, площади боковой и всей поверхности конуса, а также формулы для расчета объема, площади боковой и всей поверхности усеченного конуса.

Фигура	Рисунок	Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности
Конус		Sприм = πr2, Sсайд = прл, Сумма = πr2 + πrl, где r — радиус основания конуса, l — длина образующей конуса, h – высота конуса.
Расстроенный		Сторона = π (r + r1)l , где h – высота усеченного конуса, r – радиус нижнего основания усеченного конуса, r1 — радиус верхнего основания усеченного конуса, l — длина образующей усеченного конуса.

Конус

Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: Sприм = πr2, Sсайд = прл, Сумма = πr2 + πrl, где r — радиус основания конуса, l — длина образующей конуса, h – высота конуса.

Расстроенный

Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: , Сторона = π (r + r1)l , где h – высота усеченного конуса, r – радиус нижнего основания усеченного конуса, r1 — радиус верхнего основания усеченного конуса, l — длина образующей усеченного конуса.

Примечание 3. Формула расчета объема конуса

можно получить из формулы объема правильной n-углеродной пирамиды

дойдя до предела, когда число сторон правильной пирамиды n возрастает до бесконечности. Однако доказательство этого выходит за рамки школьной программы.

Примечание 4. Формула расчета объема усеченного конуса

можно получить из формулы объема правильной усеченной n-углеродной пирамиды

переходя к пределу, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n возрастает до бесконечности. Однако доказательство этого выходит за рамки школьной программы.

Площадь боковой поверхности конуса через образующую

Чему равна площадь боковой поверхности конуса Сб.пов, если образующая равна l, а радиус основания равен r:

Формула

Sб.пов = π ⋅ r ⋅ l

сквозной диаметр:

Sb.pov = π ⋅ l ⋅ d⁄2

Пример

Например, посчитаем, чему равна площадь боковой поверхности конуса, образующая которого l = 6 см, а радиус основания r = 3 см:

Сб.приб ≈ 3,14 ⋅ 6 ⋅ 3 ≈ 56,52 см²

Площадь боковой поверхности конуса через высоту

Чему равна площадь боковой поверхности конуса Сб.пов, если высота h, а радиус основания r:

Формула

Сб.пов = π ⋅ r ⋅ √r² + h²

сквозной диаметр:

Сб.пов = π ⋅ d⁄2 ⋅ √(d/2)² + h²

Пример

Например, посчитаем, чему равна площадь боковой поверхности конуса, высота которого h = 5 см, а радиус основания r = 2 см:

Общая площадь поверхности ≈ 3,14 ⋅ 2 ⋅ √2² + 5² ≈ 6,28 ⋅ √29 ≈ 33,82 см²

Площадь полной поверхности конуса через образующую

Чему равна площадь всей поверхности конуса Сп.пов, если образующая равна l, а радиус основания равен r:

Формула

Sp.pov = π ⋅ r ⋅ (r + l)

сквозной диаметр:

Sp.pov = π ⋅ d⁄2 ⋅ (d⁄2 + l)

Пример

Например, посчитаем, чему равна полная площадь поверхности конуса, образующая которого l = 6 см, а радиус основания r = 3 см:

Сп.пов ≈ 3,14 ⋅ 3 ⋅ (3 + 6) ≈ 84,78 см²

Площадь полной поверхности конуса через высоту

Чему равна площадь всей поверхности конуса Сп.пов, если высота h, а радиус основания r:

Формула

Сп.п. = π ⋅ r ⋅ (r + √r² + h²)

сквозной диаметр:

Сп.п. = π ⋅ d⁄2 ⋅ (d⁄2 + √(d/2)² + h²)

Пример

Например, посчитаем, чему равна общая площадь поверхности конуса, высота которого h = 5 см, а радиус основания r = 2 см:

Сп.пов ≈ 3,14 ⋅ 2 ⋅ (2 + √2² + 5²) ≈ 6,28 ⋅ (2 + √29) ≈ 46,38 см²