Площадь поверхности шара формула

Вычисления

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, относящиеся к шару, сфере и их частям.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называется множество точек, расстояние до точки O которых равно r (рис. 1).

Определение 2. Сферой с центром в точке O и радиусом r называется множество точек, расстояние от которых до точки O не превышает r (рис. 1).

бильярдный шар
бильярдный шар

Рисунок 1

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью сферы с центром в точке O и радиусом r.

Примечание: Радиус сферы (радиус сферы) — это отрезок, соединяющий любую точку на сфере с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом сферы).

Определение 3. Сферический пояс (сферический пояс) – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями параллельных плоскостей (рис. 2).

Определение 4. Сферический слой – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями параллельных плоскостей (рис. 2).

сферический ремень шаровой ремень
сферический ремень шаровой ремень
сферический ремень шаровой ремень

Рис.2

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называются основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называется высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что сферический слой ограничен сферическим поясом и двумя окружностями, плоскости которых параллельны и параллельны друг другу. Эти окружности называются основаниями сферического слоя.

Высота сферического слоя — это расстояние между плоскостями, расстояние между плоскостями оснований сферического слоя.

Определение 5. Сферическим сегментом называется каждая из двух частей, на которые шар делится секущей его плоскостью (рис. 3).

Определение 6. Каждая из двух частей, на которые шар делится секущей его плоскостью, называется сферическим сегментом (рис. 3).

сферический сегмент
сферический сегмент
сферический сегмент

Рис.3

Из определений 3 и 5 следует, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, в котором одна из плоскостей основания касается сферы (рис. 4). Высота такого сферического пояса называется высотой сферического сегмента.

Соответственно сферический сегмент представляет собой сферический слой, в котором одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высота такого сферического слоя называется высотой сферического сегмента.

сферический сегмент и сферический пояс
сферический сегмент и сферический пояс
сферический сегмент и сферический пояс

Рис.4

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, где обе плоскости заземления соприкасаются со сферой (рис. 5). Следовательно, весь шар представляет собой сферический слой, где обе плоскости основания касаются шара (рис. 5).

мяч и сферический пояс
мяч и сферический пояс
мяч и сферический пояс

Рис.5

Определение 7. Сферическим сектором называется фигура, состоящая из всех отрезков, соединяющих точки сферического отрезка с центром сферы (рис. 6).

сектор мяча
сектор мяча

Рис. 6

Высота сферического сектора равна высоте его сферического сегмента .

Комментарий. Сферический сектор состоит из сферического сегмента и конуса с общим основанием. Вершина конуса является центром сферы.

Читайте также: Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: формула

Трактовка значений

Это следует знать:

  • Шар – это геометрический объект, который является результатом вращательных полукруговых движений вокруг центра. Каждая точка на поверхности сферы равноудалена от центра.
  • Сфера не то же самое, что шар. Если это трехмерный объект и включает в себя внутреннее пространство, то сфера является лишь поверхностью этого объекта и имеет только собственную площадь. Иными словами, нельзя сказать, что сфера имеет такой-то объем, в отличие от шара.
  • Число «пи» — это постоянное число, равное отношению длины окружности к ее диаметру. Сокращенно его обычно обозначают числом, равным 3,14. Но на самом деле после этих трех цифр идет больше тысячи!
  • Радиус шара равен ½ диаметра. Точный диаметр можно рассчитать, используя несколько плоских и гладких предметов. Нужно просто зажать шарик между этими предметами, которые сдавливают шарик и располагаются перпендикулярно друг другу, а затем измерить получившийся диаметр.
  • Квадратная степень обозначается как двойка и означает, что это число нужно умножить само на себя один раз. Если бы степень числа была в виде тройки, то надо было бы умножать само на себя дважды. Записав выражение на бумаге, можно понять, почему употребляется именно два и три, а не один и два.
  • Объем — это значение, указывающее размер в пространстве, которое занимает объект. Объем шара зависит от его диаметра. Формула будет равна четырем третям, умноженным на число «пи» и снова умноженным на радиус.
  • Площадь — это значение, указывающее размер поверхности объекта, но не внутреннего пространства.

По какой формуле найти площадь поверхности шара

Занимательные факты

Это интересно:

  1. У Пи есть свои фан-клубы по всему миру. Участники сообщества стараются запомнить как можно больше символов из этого числа, а также пытаются раскрыть вселенские тайны, скрытые в числе.
  2. Площадь суши Земли составляет всего 29,2% ее общей поверхности. Точный номер местности назвать сложно из-за неровного рельефа земли, например, впадин и гор.
  3. Знание формулы площади сферы можно использовать в повседневной жизни. Это знание также может подавить оппонента в споре.

Демонстрируя степень своих познаний в геометрии, вы, в первую очередь, можете заслужить уважение и дать понять ремонтникам и продавцам, что вас просто так не одурачить.

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы для расчета объема сферы и объемов ее частей, а также площади сферы и площадей ее частей.

Фигура Рисунок Формула Описание
Прохладный Объем сферы Площадь сферы S = 4πr2,

где
r — радиус сферы.

Диапазон пуль
Мяч где
r — радиус шара.
Объем мяча
Сферический ремень площадь сферического пояса объем сферического слоя S = 2пр,

где
r — радиус сферы,
h – высота сферического пояса.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Площадь сферического пояса
Мяч команда где
r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя,
h – высота сферического слоя.
Объем сферического слоя
Сферический сегмент Объем сферического сегмента Площадь сферического сегмента S = 2пр,

где
r — радиус сферы,
h – высота сферического сегмента.

Площадь сферического сегмента
Шаровой сегмент где
r — радиус шара,
h – высота сферического сегмента.
Объем сферического сегмента
Сектор мяча Объем сферического сектора где
r — радиус шара,
h — высота сферического сектора.
Объем сферического сектора
Прохладный
Объем сферы Площадь сферы

Диапазон мяча:

S = 4πr2,

где
r — радиус сферы.

Мяч
Объем сферы Площадь сферы

Объем мяча:

где
r — радиус шара.

Сферический ремень
площадь сферического пояса объем сферического слоя

Площадь сферического пояса:

S = 2пр,

где
r — радиус сферы,
h – высота сферического пояса.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Мяч команда
площадь сферического пояса объем сферического слоя

Объем шаровой кровати:

где
r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя,
h – высота сферического слоя.

Сферический сегмент
Объем сферического сегмента Площадь сферического сегмента

Площадь сферического сегмента:

S = 2пр,

где
r — радиус сферы,
h – высота сферического сегмента.

Шаровой сегмент
Объем сферического сегмента Площадь сферического сегмента

Объем шарового сегмента:

где
r — радиус шара,
h – высота сферического сегмента.

Сектор мяча
Объем сферического сектора

Объем сектора сферы:

где
r — радиус шара,
h — высота сферического сектора.

Применение формулы

Разберем на примере, как вычислить площадь круглого шара диаметром 50 см. По формуле нужно разделить 50 на два (чтобы получить радиус), возвести полученное число в квадрат и умножить все это сначала на 4, затем на 3,14. В итоге получаем число 7850 квадратных сантиметров.

Формула площади используется не только учителями в школе и исследователями в лаборатории. Эта формула может быть полезна для обычного художника. Ведь если шар большой, а краска маленькая, возникает вопрос – хватит ли ему этой смеси, чтобы покрасить весь предмет. И это далеко не единственный повседневный случай, когда формула может пригодиться.

Формула расчета объема также может быть полезна строительной бригаде, выполняющей ремонт. И неважно, что это за объект – производственное здание, небольшой дом или обычная квартира. Это то, что отличает профессионалов — они умеют применять свои знания на практике.

Но что делать, если нет возможности измерить объект? Такой вопрос может возникнуть в случае огромных размеров объекта или его труднодоступности. В этом случае могут помочь электронные технологии, основанные на сканировании пространства определенными частотами и лазерами. При современных технологиях необязательно знать все формулы наизусть. Достаточно иметь подключение к Интернету и зайти в любой онлайн-калькулятор.

Рождение формулы

Рождение формулы

Принято считать, что первым нашел и вывел формулы объема и площади шара Архимед. Это величайший древнегреческий ученый, живший за 300 лет до нашей эры. Он был не только математиком, но и физиком, и инженером. Он один из первых, кто попытался «оцифровать» окружающий мир. Его теоремы и труды используются по сей день.

Именно Архимед определил пределы числа «пи» и обозначил их без всяких современных приспособлений. Сам Архимед очень гордился найденной формулой, с помощью которой вычисляется объем шара. Его потомки в честь этого изобразили на его надгробии цилиндр и шар.

Если бы он каким-то чудом переродился в наше время, то сразу бы смог преобразить этот мир и вывести его на новый уровень.

Формула вычисления площади шара/сферы

Площадь поверхности шара через радиус

Чему равна площадь поверхности шара Спов, если радиус равен r:

Формула

Spov = 4⋅π⋅r² , где π ≈ 3,14…

Пример

Например, рассчитаем площадь поверхности сферы, если радиус равен r = 3 см:

Спов = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 3² = 12,56 ⋅ 9 = 113,04 см²

Площадь поверхности шара через диаметр

Чему равна площадь поверхности сферы Спов, если ее диаметр равен d?

Формула

Spov = π⋅d² , где π ≈ 3,14…

Пример

Например, рассчитаем площадь поверхности шара, если его диаметр d = 6 см:

Sp = 3,14 ⋅ 6² = 3,14 ⋅ 36 = 113,04 см²

Площадь поверхности шара через длину окружности

Какова площадь поверхности шара Спов, если его длина окружности равна L?

Формула

Spov = L²⁄π, где π ≈ 3,14…

Пример

Например, посчитаем, чему равна площадь поверхности шара с длиной окружности L = 10 см:

Спов = 10² ⁄ 3,14 ≈ 31,85 см²

Примеры задач

упражнение 1
Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус равен 7 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой (через радиус):
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см)2 = 615,44 см2.

Задача 2
Площадь поверхности сферы 200,96 см2. Найдите диаметр.

Решение:
Выводим значение диаметра из соответствующей формулы для расчета площади:
Расчет диаметра сферы по площади поверхности

Оцените статью
Блог о Microsoft Word