Площадь поверхности цилиндра формула

Вычисления

Основные определения и свойства цилиндра

Рассмотрим две параллельные плоскости, параллельные плоскостям α и β и произвольную O с центром в точке r, окружность радиуса, лежащую в плоскости α (рис. 1).

Цилиндр образующая оси цилиндра высота основания боковая поверхность полная поверхность цилиндра
Цилиндр образующая оси цилиндра высота основания боковая поверхность полная поверхность цилиндра
Цилиндр образующая оси цилиндра высота основания боковая поверхность полная поверхность цилиндра

Рисунок 1

Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость β, то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости β окружность радиуса r, центр которой O1 является основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость β (рис. 2).

Цилиндр образующая оси цилиндра высота основания боковая поверхность полная поверхность цилиндра
Цилиндр образующая оси цилиндра высота основания боковая поверхность полная поверхность цилиндра
Цилиндр образующая оси цилиндра высота основания боковая поверхность полная поверхность цилиндра

Рис.2

Определение 1.

Отрезок перпендикуляра, падающего из любой точки окружности с центром О на плоскость β, заключенный между плоскостями α и β, называется образующей цилиндра.
Совокупность всех образующих цилиндра называется цилиндрической поверхностью.
Фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и плоскостями α и β, называется цилиндром.
Отрезок OO1 называется осью цилиндра .
Радиус окружности Радиус окружности на плоскости α с центром в точке O называется радиусом цилиндра.
Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями α и β называется высотой цилиндра.
Окружности с центрами O и O1 на плоскостях α и β называются основанием цилиндра.

Примечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра. Боковая поверхность цилиндра и дно цилиндра вместе составляют общую поверхность цилиндра.

Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.

Замечание 3. Прямая OO1 является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка OO1 является центром симметрии цилиндра.

Сечения цилиндра

Определение 2. Сечением цилиндра называется точка пересечения цилиндра и плоскости.
Если сечение проходит через ось цилиндра, такое сечение называется осевым сечением цилиндра (рис. 3).

осевое сечение цилиндра

Рис.3

На рис. 3 показано одно из осевых сечений цилиндра — прямоугольник AA1B1B .

Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра радиуса r и высоты h представляет собой прямоугольник со сторонами 2r и h .

Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называется сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).

перпендикулярное сечение цилиндра

Рис.4

Замечание 5. Любое перпендикулярное сечение цилиндра будет окружностью радиуса r .

Примечание 6. Случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости более подробно рассмотрены в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».

Читайте также: Наименьшее общее кратное (НОК) — что это, как найти, примеры нахождения

Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.Площадь полной поверхности цилиндра

Для цилиндра радиусом r и высотой h (рис. 5)

объем цилиндра Боковая поверхность цилиндра Общая поверхность цилиндра

Рис.5

введем следующие обозначения

В объем цилиндра
Страница площадь боковой поверхности цилиндра
Полный общая площадь поверхности цилиндра
Сосн площадь основания цилиндра

Тогда справедливы следующие формулы для расчета объема, площади боковой и полной поверхности цилиндра:

Sприм = πr2,

V = Сочх = πr2h,

Сторона = 2πrh,

Всего = 2πr2 + 2πrh =
= 2π(r + h).

Примечание 7. Формулу объема цилиндра V = πr2h можно получить из – формулы угольной призмы обычного объема – формулы углеродной призмы правильного объема

переходя к пределу, когда число сторон правильной призмы n возрастает до бесконечности. Однако доказательство этого выходит за рамки школьной программы.

Формула площади поверхности цилиндра

{S_{полный} = 2pi R(h+R)}

R — радиус основания цилиндра

h — высота цилиндра

1. Боковая поверхность

Площадь (S) боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, являющейся основанием фигуры, на ее высоту.

Окружность, в свою очередь, рассчитывается следующим образом: C = 2 π R. Следовательно, площадь можно вычислить следующим образом:

S = 2 π R ч

Поверхность цилиндра

Примечание: при расчетах значение числа π округляется до 3,14.

2. Основание

В качестве оснований цилиндра (равных друг другу) выступает окружность, площадь которой равна:

S = π R2

Поскольку диаметр окружности равен двум ее радиусам (d = 2R), выражение можно преобразовать следующим образом:

S = π(d/2)2

3. Полная площадь

Чтобы найти эту величину, необходимо просуммировать площади боковой поверхности и двух равных оснований цилиндра, т.е.:

S = 2 π R h + 2 π R2 или S = ​​2 π R (h + R)

Примеры задач на нахождение площади поверхности цилиндра

Задание 1

Найдите площадь поверхности цилиндра, если его высота 5 см, а радиус 6 см.

Решение

Так как необходимо найти полную площадь поверхности цилиндра, воспользуемся первой формулой. Подставляем в него значения из состояния и выполняем вычисления.

S_{полный} = 2pi R(h+R) = 2pi cdot 6(5+6) = 12pi cdot 11 = 132 pi : cm^2 прибл. 414,69023 : см^2

Ответ: 132 pi : см^2 ок. 414,69023 : см^2

Вы можете воспользоваться калькулятором, чтобы проверить правильность ответа .

Задача 2

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания 2 см, а высота 7 см.

Решение

Для решения этой задачи нам понадобится вторая формула.

S_{сторона} = 2pi Rh = 2pi cdot 2 cdot 7 = 28 pi : см^2 ок. 87,96459 : см^2

Ответ: 28 pi : см^2 ок. 87,96459 : см^2

Оцените статью
Блог о Microsoft Word