Основные определения и свойства цилиндра
Рассмотрим две параллельные плоскости, параллельные плоскостям α и β и произвольную O с центром в точке r, окружность радиуса, лежащую в плоскости α (рис. 1).
Рисунок 1
Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость β, то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости β окружность радиуса r, центр которой O1 является основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость β (рис. 2).
Рис.2
Определение 1.
| Отрезок перпендикуляра, падающего из любой точки окружности с центром О на плоскость β, заключенный между плоскостями α и β, называется образующей цилиндра. | |
| Совокупность всех образующих цилиндра называется цилиндрической поверхностью. | |
| Фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и плоскостями α и β, называется цилиндром. | |
| Отрезок OO1 называется осью цилиндра . | |
| Радиус окружности Радиус окружности на плоскости α с центром в точке O называется радиусом цилиндра. | |
| Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями α и β называется высотой цилиндра. | |
| Окружности с центрами O и O1 на плоскостях α и β называются основанием цилиндра. |
Примечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра. Боковая поверхность цилиндра и дно цилиндра вместе составляют общую поверхность цилиндра.
Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.
Замечание 3. Прямая OO1 является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка OO1 является центром симметрии цилиндра.
Сечения цилиндра
Определение 2. Сечением цилиндра называется точка пересечения цилиндра и плоскости.
Если сечение проходит через ось цилиндра, такое сечение называется осевым сечением цилиндра (рис. 3).
Рис.3
На рис. 3 показано одно из осевых сечений цилиндра — прямоугольник AA1B1B .
Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра радиуса r и высоты h представляет собой прямоугольник со сторонами 2r и h .
Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называется сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).
Рис.4
Замечание 5. Любое перпендикулярное сечение цилиндра будет окружностью радиуса r .
Примечание 6. Случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости более подробно рассмотрены в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».
Читайте также: Наименьшее общее кратное (НОК) — что это, как найти, примеры нахождения
Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.Площадь полной поверхности цилиндра
Для цилиндра радиусом r и высотой h (рис. 5)
Рис.5
введем следующие обозначения
| В | объем цилиндра |
| Страница | площадь боковой поверхности цилиндра |
| Полный | общая площадь поверхности цилиндра |
| Сосн | площадь основания цилиндра |
Тогда справедливы следующие формулы для расчета объема, площади боковой и полной поверхности цилиндра:
Sприм = πr2,
V = Сочх = πr2h,
Сторона = 2πrh,
Всего = 2πr2 + 2πrh =
= 2π(r + h).
Примечание 7. Формулу объема цилиндра V = πr2h можно получить из – формулы угольной призмы обычного объема – формулы углеродной призмы правильного объема
переходя к пределу, когда число сторон правильной призмы n возрастает до бесконечности. Однако доказательство этого выходит за рамки школьной программы.
Формула площади поверхности цилиндра
{S_{полный} = 2pi R(h+R)}
R — радиус основания цилиндра
h — высота цилиндра
1. Боковая поверхность
Площадь (S) боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, являющейся основанием фигуры, на ее высоту.
Окружность, в свою очередь, рассчитывается следующим образом: C = 2 π R. Следовательно, площадь можно вычислить следующим образом:
S = 2 π R ч
Примечание: при расчетах значение числа π округляется до 3,14.
2. Основание
В качестве оснований цилиндра (равных друг другу) выступает окружность, площадь которой равна:
S = π R2
Поскольку диаметр окружности равен двум ее радиусам (d = 2R), выражение можно преобразовать следующим образом:
S = π(d/2)2
3. Полная площадь
Чтобы найти эту величину, необходимо просуммировать площади боковой поверхности и двух равных оснований цилиндра, т.е.:
S = 2 π R h + 2 π R2 или S = 2 π R (h + R)
Примеры задач на нахождение площади поверхности цилиндра
Задание 1
Найдите площадь поверхности цилиндра, если его высота 5 см, а радиус 6 см.
Решение
Так как необходимо найти полную площадь поверхности цилиндра, воспользуемся первой формулой. Подставляем в него значения из состояния и выполняем вычисления.
S_{полный} = 2pi R(h+R) = 2pi cdot 6(5+6) = 12pi cdot 11 = 132 pi : cm^2 прибл. 414,69023 : см^2
Ответ: 132 pi : см^2 ок. 414,69023 : см^2
Вы можете воспользоваться калькулятором, чтобы проверить правильность ответа .
Задача 2
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания 2 см, а высота 7 см.
Решение
Для решения этой задачи нам понадобится вторая формула.
S_{сторона} = 2pi Rh = 2pi cdot 2 cdot 7 = 28 pi : см^2 ок. 87,96459 : см^2
Ответ: 28 pi : см^2 ок. 87,96459 : см^2
