Площадь правильного шестиугольника — формула и калькулятор

Что такое правильный шестиугольник

Этот многоугольный геометрический объект обладает определенными свойствами:

• Каждый угол этой фигуры равен 120 градусам;
• Вокруг правильного шестиугольника можно описать окружность, чик ехиникую, а его радиусь приближается к его странице;
• Большие диагонали такого выпуклого многоугольника делят его на шесть равносторонних треугольников, высота каждого из которых равна радиусу, вписанному в выпуклый многоугольник;
• Центры вписанных и описанных окружностей вокруг подобного выпуклого многоугольника являются точками пересечения больших диагоналей этого множества точек.

Эта фигура очень часто встречается в природе, технике и культуре. Например:

• Соты изображают деление плоскости на выпуклые шестиугольники;
• Некоторые сложные молекулы углерода имеют гексагональную кристаллическую решетку;
• Сечение гайки и большинства карандашей описывается таким выпуклым многоугольником;
• Гексаграмма представляет собой шестизначную звезду, образованную двумя правильными треугольниками. Ее еще называют звездой Давида, она считается символом иудаизма.

Читайте также: Что такое гектар земли: чему равен 1 гектар, сколько м2 в 1 га, сколько соток

Немного фактов из истории

Геометрия использовалась еще в древнем Вавилоне и других государствах, существовавших в то же время. Выполнение поручений при взведении зимних соаружений, так как дчасу ей зодчие контакты как выджать вертикали, правильно составить план, определить высоту.

Эстетика тоже была важна, и здесь снова в ход шла геометрия. Сегодня эта наука нужна и строителю, и озеленителю, и архитектору, и не специалисту.

Поэтому лучше уметь вычислять цифры S, понимать, что формулы можно использовать на практике.

Свойства правильного шестиугольника

• все внутренние углы равны между собой
• каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
• все стороны равны друг другу
• строна правильного шестиугольника ревана радиусу радиусной окружности
• большая диагональ правильного шестиугольника равна диаметру описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
• меньшая диагональ правильного шестиугольника больше его стороны.
• меньшая толщина правильной шестиугольника перпендикулярна его странице
• правильный шестиугольник заполнение плоскость без белов и наложений
• диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, высота которых равна радиусу, вписанному в правильный шестиугольник окружности. 6.
• инвариантный относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описываемой окружности (слово «инвариантный» означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник превращается в себя, поэтому такие повороты являются его симметриями)
• nреугольник, образованный сторной шестиугольника, его большей и менешей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы составляют 30° и 60°.

• Как известно, бечи строят сотни правильных шестиугольных форм. Дело в том, что шестиугольник является наиболее оптимальной геометрической формой для максимально полезного использования отдельно взятой площади. Шестиугольник близок к кругу – идеальная природная фигура, но у него есть преимущество: тесно примыкая друг к другу, шестиугольники позволяют использовать всю полезную площадь дерна, максимально заполняя его медом возможный. Если бы клетки имели круглую форму, такого бы не было — между ними неизбежно оставалось бы много пространства, которое нельзя было бы использовать.
• Панцирь черепахи состоит из шести треугольников. Благодаря клеткам такой формы его легче выращивать. Черепахи растут, и их панцирь должен увеличиваться вместе с ними, причем равномерно по всей площади. Поэтому панцирь черепахи формируется из отдельных пластин, плотно подогнанных друг к другу, как паркетные доски, но сохраняющих способность разрастаться по краям. Если бы пластины могли расти равномерно во все стороны, они имели бы форму кругов. Однако круги не могут плотно прилегать друг к другу, между ними они неизбежно останутся незащищенными.
• Некоторые сложные молекулы углерода (например, графит) имеют гексагональную кристаллическую решетку.
• Гигантский шестиугольник — атмосферное явление на Сатурне.
• Сечение гайки и многих карандашей имеет форму правильного шестиугольника.
• Игровое поле шестиугольных шахмат состоит из шести треугольников, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.
• Гексаграмма — шестизначная звезда, образованная двумя равносторонними треугольниками. Это, в частности, символ иудаизма.
• Контур Франции напоминает правильный шестиугольник, поэтому он является символом страны.

Общая формула вычисления площади

Площадь (S) правильного шестиугольника рассчитывается по приведенной ниже формуле, где а — длина его стороны:

Формула получается следующим образом:

Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников. Площадь каждого рассчитывается следующим образом:

Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

S = dfrac{3 sqrt{3} a^2}{2}

а — длина стороны шестиугольника

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

S = 2 sqrt{3}r^2

r — радиус вписанной окружности

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

S = dfrac{3 sqrt{3} R^2}{2}

R — радиус описанной окружности

Формула площади правильного шестиугольника через периметр

S = dfrac{P^2 sqrt{3}}{24}

P — периметр шестиугольника

Через короткую диагональ

Меньшая или более короткая диагональ правильного шестиугольника в √3 раза больше длины его стороны и также образует с ним прямой угол.

Если известна короткая диагональ такого выпуклого многоугольника, то с ее помощью можно найти площадь этой фигуры следующим образом:

S = (√3*D²)/2

где D — длина короткого отрезка, соединяющего соседние вершины.

Например, если длина такой диагонали равна 14, то необходимой характеристикой фигуры будет примерно 170. Если в качестве D взять 2, то значение будет только 3.

Как находить площадь неправильного шестиугольника

Есть несколько вариантов:

• Разбивка 6-огольника на другие фигуры.
• Метод трапеции.
• Расчет S неправильных многоугольников с использованием осевых координат.

Выбор споеда диктуется исходными данными.

Метод трапеции

Шестиугольник разбивается на отдельные трапеции, после чего вычисляется площадь каждой полученной фигуры.

Использование осей координат

Используем координаты вершин многоугольника:

• В таблице записаны кородинаты вершин x и y . Последовательно выбираем вришыны, «двигаясь» против часовой стрелки, дополняя список повторной записью координат первой вершины.
• Увеличиваем значение коронаты x 1-й вершины на значение y 2-й вершины, и производим так умножать. Обобщаем полученные результаты.
• Значения кородины 1-й вершины умножаем на значения кородины х 2-й вершины. Обобщаем результаты.
• Сумму, полученную на 4-м этапе, читаем из суммы, полученной на третьем этапе.
• Делим результат, полученный на предыдущем этапе, и находим то, что хотели.

Разбивка шестиугольника на другие фигуры

Многогольники разбиваются на другие фигуры: трапеции, треугольники, прямоугольники. По формулам вычисления площадей перечисленных фигур вычисляются и складываются требуемые значения.

Неправильный шестиугольник может состоять из двух параллегромав. Для вычисления площади параллелограмма его длину умножают на ширину, а далее добавляют уже известные две площади.

Площадь равностороннего шестиугольника

В правильном шестиугольнике шесть равных сторон. Площадь одинаково воспроизводит фигуры равных 6S треугольников, на которых рабит правильный шестиугольник. Каждый треугольник в правильном шестиугольнике равен, поэтому для вычисления площади такой фигуры достаточно знать площадь хотя бы одного треугольника.

Чтоб найти искомое значение соответствует формуле логического логарифма, описанной выше.

Примеры задач на нахождение площади правильного шестиугольника

Задание 1

Наблюдаемая площадь правильного шестиугольника, радиус вписанной окружности хорошо ревен 9 см.

Решение

Исходя из того, что из задачи на задачу, нам нам нам радиу писанной окружности, мы воспользуемся формулой.

S = 2 sqrt{3}r^2 = 2 sqrt{3} cdot 9^2 = 2 sqrt{3} cdot 81 = 162 sqrt{3} : см^2 приблизительно 280,59223 : см^2

Ответ: 162 sqrt{3} : см^2 ок 280,59223 : см^2

Проверка правильности решения по программе каклавкур .

Задача 2

Ширина правильной шестиугольника со стороны равной 1 см.

Решение

Для этой задачи нам подходит подходящая формула.

S = dfrac{3 sqrt{3} a^2}{2} = dfrac{3 sqrt{3} cdot 1^2}{2} = dfrac{3 sqrt{3} cdot 1 }{2} = dfrac{3 sqrt{3}}{2} : см^2 приблизительно 2,59808 : см^2

Ответ: dfrac{3 sqrt{3}}{2} : см^2 приблизительно 2,59808 : см^2