Площадь правильного шестиугольника: как найти

Немного фактов из истории

Геометрия использовалась еще в древнем Вавилоне и других государствах, существовавших в то же время. Расчеты помогали при возведении значимых сооружений, ведь благодаря им архитекторы умели выдержать вертикаль, правильно составить план и определить высоту.

Эстетика также имела большое значение, и здесь снова в дело вступила геометрия. Сегодня эта наука нужна строителю, закройщику, архитектору, да и не специалисту.

Поэтому лучше уметь вычислять числа S, чтобы понимать, что формулы могут быть полезны на практике.

Что такое правильный шестиугольник

Этот многоугольный геометрический объект обладает определенными свойствами:

• Каждый угол этой фигуры равен 120 градусам;
• Вокруг правильного шестиугольника можно описать окружность, причем единственную, и радиус ее равен стороне;
• Большие диагонали такого выпуклого многоугольника делят его на шесть равносторонних треугольников, высота каждого из которых равна радиусу окружности, вписанной в выпуклый многоугольник;
• Центры вписанной и описанной окружностей около такого выпуклого многоугольника являются пересечениями больших диагоналей этого множества точек.

Эта фигура очень распространена в природе, технике и культуре. Например:

• Соты показывают деление плоскости на выпуклые шестиугольники;
• Некоторые сложные молекулы углерода имеют гексагональную кристаллическую решетку;
• Сечение ореха и большинства карандашей описывается таким выпуклым многоугольником;
• Гексаграмма представляет собой шестиконечную звезду, образованную двумя правильными треугольниками. Также называемая Звездой Давида, она считается символом иудаизма.

Читайте также: Как разделить обыкновенную дробь: на число, другую дробь

Площадь правильного 6-угольника

Итак, у нас есть шестиугольная фигура с равными сторонами и углами. В быту нам часто приходится встречать предметы правильной шестиугольной формы.

Например:

• винт;
• имбирный пряник;
• снежинки.

Шестиугольная форма наиболее экономно заполняет пространство на плоскости. Взгляните на тротуарную плитку, уложенную одна на другую, чтобы не было зазоров.

Каждый угол равен 120˚. Сторона фигуры равна радиусу описанной окружности.

Расчет

Требуемое значение можно рассчитать, разделив фигуру на шесть равносторонних треугольников.

Для расчета S используйте следующую формулу:

Вычислив S для одного из треугольников, легко определить общий. Простая формула, поскольку правильный шестиугольник на самом деле представляет собой шесть равных треугольников. Для его вычисления умножьте найденную площадь треугольника катетов на 6.

Если из центра шестиугольника провести перпендикуляр к любой из сторон, то получится отрезок — апофема.

Давайте посмотрим, как найти S шестиугольника, апофема которого известна:

1. S =1/2×периметр×апофема.
2. Возьмем апофему, равную 5√3 см.

1. Находим периметр с помощью апофемы: так как апофема перпендикулярна стороне 6-угольника, то углы треугольника, образованного с апофемой, равны 30˚-60˚-90˚. Каждая сторона треугольника соответствует: xx√3-2x, где короткая сторона, направленная к углу 30˚, равна x; длинная сторона, противоположная углу 60˚, равна x√3, а гипотенуза равна 2x.
2. Апофему x√3 можно заменить формулой a=x√3. Если апофема 5√3, подставляем это значение, получаем: 5√3см=x√3, или x=5см.
3. Короткая сторона треугольника равна 5 см, так как эта величина равна половине длины стороны 6-угольника. Умножая 5 на 2, получаем 10 см, что является значением длины стороны.
4. Полученное значение умножаем на 6 и получаем значение окружности – 60 см.

Подставляем полученные результаты формулой: S=1/2×периметр×апофема

S=½×60см×5√3

Мы считаем:

Упростим ответ, чтобы избавиться от корней. Результат будет выражен в квадратных сантиметрах: ½×60см×5√3см=30×5√3см=150√3см=259,8 с м².

Общая формула вычисления площади

Площадь (S) правильного шестиугольника рассчитывается по приведенной ниже формуле, где а — длина стороны:

Формула получается следующим образом:

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. Площадь каждого рассчитывается следующим образом:

Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:

Через длину стороны

По той причине, что выпуклый шестиугольник включает в себя шесть равносторонних треугольников, формула нахождения искомого значения по длине стороны выглядит следующим образом:

S = (3√3*a²)/2

где а — длина стороны.

Рассмотрим пример. Пусть длина стороны равна 8. Значит, согласно этой формуле, заданная характеристика замкнутого выпуклого шестиугольника будет приблизительно равна 166.

Все довольно просто, если сайт известен заранее. Если это значение нам не дано, но известен периметр или апофема — высота одного из шести равносторонних треугольников, — то можно вычислить длину стороны.

Если периметр известен, его нужно разделить на шесть, получив таким образом длину стороны. Например, если периметр равен 36, то разделив 36 на 6, вы получите 6 — это длина стороны.

Если известна только апофема, то можно вычислить длину стороны, подставив апофему в формулу b = x√3 и умножив ответ на 2. Все это потому, что апофема – это сторона x√3 треугольника он составляет с углами 30, 60 и 90 градусов. Например, если апофема 11√3, то x = 11, а длина стороны будет равна 22.

Через периметр

Если при изучении правильной фигуры с шестью углами мы знаем только ее периметр, то площадь этой фигуры легко вычислить по следующей формуле:

(S) = мм²S = (3√3*(p/6)²)/2

где р — периметр фигуры.

Допустим, если периметр равен 24, то площадь будет примерно равна 42. Если взять за периметр число 50, то площадь фигуры будет равна 180.

Через длинную диагональ

Длинная или большая диагональ шестиугольника — это диаметр описанной вокруг него плоской кривой, обычно равный двум сторонам.

Мы используем это выражение для вычисления площади подобного правильного многоугольного геометрического объекта через длинную диагональ этого набора точек:

S = (3√3*D²)/8

где D — длинный отрезок, соединяющий несмежные вершины.

Например, если D = 6, то данная характеристика замкнутого выпуклого многоугольника будет приблизительно равна 23. Если в качестве длинной диагонали взять 8, то значение будет соответствовать примерно 42.

Через короткую диагональ

Малая или короткая диагональ правильного шестиугольника в √3 раза длиннее стороны и также образует с ним прямой угол.

Если известна короткая диагональ такого выпуклого многоугольника, то по ней можно найти площадь этой фигуры следующим образом:

S = (√3*D²)/2

где D — длина короткого отрезка, соединяющего несмежные вершины.

Например, если длина такой диагонали равна 14, то искомая характеристика фигуры будет примерно равна 170. Если, напротив, в качестве D взять 2, то значение будет только 3.

Через радиус описанной окружности

Шестиугольник считается правильным многоугольником, потому что все стороны и углы равны друг другу. Следовательно, вокруг такого многоугольника можно описать окружность.

Чтобы найти площадь выпуклого многоугольника через радиус описанной окружности, воспользуйтесь следующей формулой:

S = (3√3*R²)/2

где R — отрезок, соединяющий центр и любую точку на описанной замкнутой плоской кривой.

Например, если отрезок, соединяющий центр и какую-либо точку, равен 5, то данная характеристика замкнутой фигуры будет приблизительно равна 65. Если же, напротив, в качестве радиуса принять число 12, то, соответственно, данная характеристика замкнутой фигуры будет примерно 374.

Через радиус вписанной окружности

Шестиугольник считается правильным многоугольником, потому что все стороны и углы равны друг другу. Следовательно, в любой шестиугольник можно вписать окружность.

Формула вычисления площади следующей выпуклой фигуры с шестью углами через радиус вписанной окружности будет выглядеть так:

S = √3*r²

где r — отрезок, соединяющий центр и любую точку вписанной замкнутой плоской кривой.

Например, если этот отрезок, соединяющий центр и любую точку, равен 14, то искомое значение этого набора точек будет примерно равно 679. Если взять 4 в качестве отрезка, соединяющего центр и любую точку, площадь будет примерно равна 55.

Как находить площадь неправильного шестиугольника

Есть несколько вариантов:

• Деление 6-угольника на другие числа.
• Трапециевидный метод.
• Расчет S неправильных многоугольников с использованием координатных осей.

Выбор метода диктуется исходными данными.

Метод трапеции

Шестиугольник разбивается на отдельные трапеции, после чего вычисляется площадь получившейся фигуры пляжа.

Использование осей координат

Используем координаты вершин многоугольника:

• Запишем координаты вершин x и yi в таблицу. Последовательно выбираем вершины, «движемся» против часовой стрелки и дополняем список перезаписью координат первой вершины.
• Умножьте значение x одной вершины на значение y второй вершины и продолжайте умножать. Подводим итоги.
• Умножаем значения координат y1-й вершины на значения x-координат второй вершины. Суммируем результаты.
• Вычтите сумму, полученную за 4 шага, из суммы, полученной за третий шаг.
• Мы разделяем результат предыдущего шага и находим то, что ищем.

Разбивка шестиугольника на другие фигуры

Многоугольники разбиваются на другие формы: трапеции, треугольники, прямоугольники. По формулам расчета площадей перечисленных фигур вычислялись и складывались необходимые значения.

Неправильный шестиугольник может состоять из двух параллелограммов. Для вычисления площади параллелограмма длина умножается на ширину, а затем складываются уже известные две площади.

Площадь равностороннего шестиугольника

Правильный шестиугольник имеет шесть равных сторон. Площадь равносторонней фигуры равна 6S треугольников, на которые разбит правильный шестиугольник Каждый треугольник в правильном шестиугольнике равен, поэтому для вычисления площади такой фигуры достаточно знать площадь хотя бы одного треугольника.

Чтобы найти искомое значение, воспользуйтесь формулой площади обычной фигуры, описанной выше.

Примеры задач

упражнение 1
Сторона правильного шестиугольника равна 8 см. Найдите площадь.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, где участвует длина стороны:

Задача 2
Вычислите площадь правильного шестиугольника, если радиус описанной вокруг него окружности равен 15 см.

Решение:
Воспользуемся второй формулой (через радиус окружности):