Площадь ромба: формула и как найти

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполнено хотя бы одно из следующих условий: 1. Две его смежные стороны равны (отсюда равны все стороны):

АВ = ВС = CD = AD

2. Диагонали пересекаются под прямым углом:

AC┴BD

3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит пополам содержащие ее углы:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

БН=ДЛ=БМ=ДК

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

∆ABO = ∆BCO = ∆CDO = ∆ADO

6. Можно ли вписать окружность в параллелограмм.

Основные свойства ромба

1. Обладает всеми свойствами параллелограмма 2. Диагонали перпендикулярны:

AC┴BD

3. Диагонали – это биссектрисы углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на четыре:

АС2+БД2=4АВ2

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии комнаты. В любой ромб можно вписать окружность.7. Центр окружности, вписанной в ромб, будет точкой пересечения диагоналей.

Формула вычисления площади

По длине стороны и высоте

Площадь ромба (S) равна произведению длины стороны на проведенную к ней высоту:

S = а ⋅ час

По длине стороны и углу

Площадь ромба равна произведению квадрата длины стороны на синус угла между сторонами:

S = а 2 ⋅ грех α

По длинам диагоналей

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

S = 1/2 ⋅ d1 ⋅ d2

Формула площади ромба через сторону и угол

S = а ^ 2 cdot sin ( альфа)

а — сторона ромба

α — угол между сторонами ромба

Формула площади ромба через сторону и высоту

S = аcточка ч

а — сторона ромба

h — высота ромба

Формула площади ромба через диагонали

S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}

d1 и d2 — диагонали ромба

Читайте также: Логарифмические неравенства: как решать, правила с подробным решением, простейшие примеры

Формула площади ромба через угол и диагональ из угла

S = dfrac {d ^ 2} {2} cdot tg ( dfrac { alpha} {2})

г — диагональ ромба

α — угол между сторонами ромба, из которого выходит диагональ

Формула площади ромба через угол и противолежащую диагональ

S = dfrac {d ^ 2} {2} cdot ctg ( dfrac { alpha} {2})

d — диагональ ромба, противоположная углу α

α — угол между сторонами ромба

Формула площади ромба через радиус вписанной окружности и угол

S = dfrac{4r^2}{sin(alpha)}

г — радиус окружности

α — угол между сторонами ромба

Формула площади ромба через радиус вписанной окружности и сторону

С=2 года

г — радиус окружности

а — сторона ромба

Найти площадь, зная диагонали

Вторая формула подразумевает, что длины диагоналей геометрической фигуры известны или их можно вычислить, например, по формуле Пифагора. Площадь равна половине произведения одной диагонали ромба на другую.

S = ½*AC*DB.

Площадь ромба через периметр и угол

При периметре Р = 50 см стороны образуют острый угол, равный 30°. Вам нужно вычислить площадь 4-угольника. Это делается в несколько шагов.

Окружность представляет собой сумму четырех сторон: P = 4a, следовательно: a = P/4 = 50/4 = 12,5 см.

Воспользуемся приведенной выше формулой: S = a2 * sin α.

Подставляем значения: S = 12,52 * sin 30° = 156,25 * 0,5 = 78,125 см2.

Вся формула имеет вид S =(frac {P} {4}) ^ 2 * sinalpha = frac {P^2} {16} sinalpha = frac {50^2} {16} * 0,5 = 250016 * 0,5 = 78,125 см 2.

Высота через площадь с периметром

Легко найти высоту ромба, зная площадь (S) и периметр (P). Рассмотрим пример, когда S = 16 см2, P = 16 см.

Начнем логически мыслить. Из формулы расчета поверхности S = ​​h * a выразим высоту: h = S/a.

Так как, зная длину окружности — сумму всех четырех, ее легко вычислить: разделить на четыре: а = Р/4.

Заменим значения и получим а = Р/4 = 16/4 = 4 см.

Подставим известные величины в формулу h = S/a = 16/4 = 4.

Эта фигура является квадратом, только длина стороны равна высоте, лежащей на ней при других заданных условиях.

Нетрудно найти площадь рассматриваемого 4-угольника. Хотя исходные данные нельзя уложить в известную формулу, необходимую информацию легко вычислить, например, используя формулу Пифагора и свойства ромба.

Примеры задач

упражнение 1
Найдите площадь ромба, длина стороны которого равна 10 см, а проведенная к нему высота равна 8 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, рассмотренной выше: S = 10 см ⋅ 8 см = 80 см2.

Задача 2
Найдите площадь ромба, сторона которого равна 6 см, а острый угол равен 30°.

Решение:
Воспользуемся второй формулой, в которой используются величины, известные из условий задачи: S = (6 см)2 ⋅ sin 30° = 36 см2 ⋅ 1/2 = 18 см2.

Задача 3
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 8 см соответственно.

Решение:
Воспользуемся третьей формулой, в которой используются длины диагоналей: S = 1/2 ⋅ 4 см ⋅ 8 см = 16 см2.