- Основные определения и свойства
- Определение сегмента круга
- Формулы для площади круга и его частей
- Формулы вычисления параметров сегмента
- Параметры сегмента по хорде и высоте
- Площадь сегмента круга по радиусу и высоте
- Формулы нахождения площади кругового сегмента
- Через радиус и центральный угол в градусах
- Через радиус и угол сектора в радианах
- Примеры задачи
Основные определения и свойства
| Фигура | Рисунок | Определения и свойства |
| Круг |  |
Совокупность точек на плоскости, равноудалённых от одной точки — центра окружности |
| Поклон |  |
Часть круга между двумя точками на круге |
| Круг |  |
Концевая часть плоскости, ограниченная окружностью |
| Сектор |  |
Часть круга, ограниченная двумя радиусами |
| Сегмент |  |
Часть окружности, ограниченная хордой |
| Правильный многоугольник |  |
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны |
 |
Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность |
| Круг |
|
Совокупность точек на плоскости, равноудалённых от одной точки — центра окружности |
| Поклон |
|
Часть круга между двумя точками на круге |
| Круг |
|
Концевая часть плоскости, ограниченная окружностью |
| Сектор |
|
Часть круга, ограниченная двумя радиусами |
| Сегмент |
|
Часть окружности, ограниченная хордой |
| Правильный многоугольник |
|
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность |
Определение 1. Площадью круга называется предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном увеличении числа сторон.
Определение 2. Периметром называется предел, к которому стремится периметр правильных многоугольников, вписанных в окружность, при неограниченном увеличении числа сторон.
Замечание 1. Доказательство существования пределов площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность, при неограниченном увеличении числа сторон выходит за рамки школьной математики и не приводится в нашем справочнике.
Определение 3. Число π (пи) – это число, равное площади круга радиусом 1.
Примечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е числом, выраженным в виде бесконечной непериодической десятичной дроби:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.
Читайте также: Единицы измерения давления Паскаль
Определение сегмента круга
Сегмент окружности – это часть окружности, ограниченная дугой окружности и ее хордой.
Хорда – это часть прямой (секущей), пересекающей окружность. Концы хорды соединены с центром окружности, в результате чего получается равнобедренный треугольник, стороны которого равны радиусу окружности. Если к этому треугольнику добавить отрезок, получится сектор.
На картинке выше:
- сегмент круга заштрихован зеленым цветом;
- отрезок АВ — хорда;
- часть окружности между точками АВ является дугой окружности;
- R — радиус окружности;
- α — угол сектора.
Формулы для площади круга и его частей
| Числовая характеристика | Рисунок | Формула |
| Площадь круга |  |
,
где R — радиус окружности, D — диаметр окружности Посмотреть доказательства |
| Площадь сектора |  |
,
если значение угла α выражено в радианах Посмотреть доказательства |
| ,
если значение угла α выражено в градусах |
||
| Площадь сегмента |  |
,
если значение угла α выражено в радианах Посмотреть доказательства |
| ,
если значение угла α выражено в градусах |
| Площадь круга |
|
, где R — радиус окружности, D — диаметр окружности |
| Площадь сектора |
|
, если значение угла α выражено в радианах если значение угла α выражено в градусах |
| Площадь сегмента |
|
, если значение угла α выражено в радианах если значение угла α выражено в градусах |
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
1
Длина дуги:
Длина хорды:
Высота сегмента:
Параметры сегмента по хорде и высоте
Калькулятор вычисляет радиус окружности по длине хорды и высоте отрезка по следующей формуле:
Кроме того, зная радиус и длину хорды, легко найти угол отрезка по формуле:
Площадь сегмента круга по радиусу и высоте
Этот калькулятор вычисляет угол по высоте и радиусу по следующей формуле:
затем формула 1 используется для получения площади.
Формулы нахождения площади кругового сегмента
Через радиус и центральный угол в градусах
α° — угол в градусах.
Примечание. Значение π, используемое в расчетах, приблизительно равно числу 3,14.
Через радиус и угол сектора в радианах
αrad — угол в радианах.
Примеры задачи
упражнение 1
Найдите площадь отрезка круга, если радиус равен 8 см, а центральный угол сектора, охватывающего отрезок, равен 45 градусам.
Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее известные значения:
Задача 2
Площадь кругового сегмента равна 24 см2, а центральный угол сектора круга, частью которого является сегмент, равен 1 радиану. Найдите радиус окружности.
Решение
В этом случае мы можем получить радиус по формуле, использующей угол в радианах:
