Площадь усеченного конуса

Содержание

Понятие
Разновидности конусов
Свойства
Площадь полной поверхности
Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и радиусы его оснований
Площади боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и средний радиус
Площади боковой поверхности усеченного конуса через радиусы его основания и угол наклона образующей к плоскости основания
Площади боковой поверхности усеченного конуса по Архимеду
Полная поверхность усеченного конуса
Пример задачи

Понятие

Принципы формирования геометрического тела просты. Представьте себе две параллельные плоскости a и a1. От расположенного на первой точке идите перпендикулярно вниз ко второй. Точка на a1 является основанием перпендикуляра, это центр окружности. Если соединить точку на плоскости a с каждой точкой окружности на a1, получится конус. Основание его перпендикуляра есть высота.

Второй вариант образования рассматриваемого геометрического тела: прямоугольный треугольник вращается вокруг катета по или против часовой стрелки. Катет, ставший осью, будет высотой конуса, лежащий в основании — диаметром нижней поверхности, гипотенуза — образующей.

Длина образующих одинакова, их совокупность называется боковой поверхностью. Квадрат длины образующей равен сумме квадратов высоты и радиуса основания (из теоремы Пифагора): l2 = h2 + r2. Отсюда

Разновидности конусов

В геометрии существует почти дюжина типов конусов:

Прямая круговая – изнаночная сторона представлена окружностью – фигурой, имеющей центр симметрии. Ось, идущая от вершины к центру основания, перпендикулярна плоскости последнего.
Наклонный или наклонный — проекция вершины на нижнюю поверхность не совпадает с центром.
Круговой – с кругом посередине.
Прямая – нижняя поверхность изображается в виде окружности или эллипса. Центр нижней поверхности совпадает с проекцией на нее вершины.
Гиперболический, параболический, эллиптический — на основе соответствующих фигур.
Равносторонний — образующая равна диаметру нижней поверхности.
Усеченный — ограниченный плоскостью, параллельной основанию. Он расположен между ней и вершиной геометрического тела.
Двойной — два одинаковых тела имеют общую вершину или основание и ось — проходит через оба тела.

Свойства

r, R — радиус
l — образующая
ч — высота
α, β — угол
В — объем
S — площадь

Площадь полной поверхности

общая площадь поверхности усеченного конуса

формула полной площади поверхности усеченного конуса

Площадь боковой поверхности

формула площади боковой поверхности усеченного конуса

Площадь боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и радиусы его оснований

При нахождении площади правильнее рассматривать боковую поверхность усеченного конуса как разность между боковой поверхностью конуса и боковой поверхностью конуса.

Пусть конус A`MB` отсечен от данного конуса AMB. Необходимо вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса AA`B`B. Известно, что радиусы оснований AO=R, A`O`=r, образующая равна L. Обозначим MB` через x. Тогда боковая поверхность конуса A`MB` будет равна πrx. А боковая поверхность конуса AMB будет равна πR(L+x).
Тогда боковую поверхность усеченного конуса AA`B`B можно выразить через разность между боковыми поверхностями конуса AMB и конуса A`MB`:
$S_book={pi}R(L+x)-{pi}rx={pi}(RL+Rx-rx)={pi}(RL+x(Rr))$
Треугольники OMB и O`MB` подобны равенством углов ∠{MOB} = ∠{MO`B`} и ∠{OMB} = ∠{O`MB`}. Из сходства между этими треугольниками следует:
Используем производную часть. У нас есть:
Отсюда находим х:
Подставляя это выражение в формулу площади боковой поверхности, имеем: $S_book={pi}(RL+{{rL}/{Rr}} (Rr))={pi}(RL+rL)={pi}L(R+r)$
Таким образом, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению числа π и его направляющей на сумму радиусов оснований.
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса выглядит следующим образом: $S_book={pi}L(R+r)$

Пример расчета площади боковой поверхности усеченного конуса, радиус и образующая которого известны
Радиус большего основания, образующая и высота усеченного конуса равны 7, 5 и 4 см соответственно. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями 2R и 2r. Образующая усеченного конуса, являющаяся стороной трапеции, высота, опушенная на большом основании, и разность радиусов основания усеченного конуса образуют египетский треугольник. Это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. По условию задачи образующая равна 5, а высота 4, то разность радиусов основания усеченного конуса будет равна 3.
У нас есть:
Л=5
Р=7
Р=4
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса выглядит следующим образом:
$S_book={pi}L(R+r)$
При подстановке значений имеем:
$S_book=5{пи}(7+4)=27{пи}$

Площади боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и средний радиус

Средний радиус усеченного конуса равен половине суммы радиусов оснований:
$R_sr={R+r}/2$

Тогда формулу площади боковой поверхности усеченного конуса можно представить следующим образом:
$S_book=2{pi}LR_sr$
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на ее образующую.

Площади боковой поверхности усеченного конуса через радиусы его основания и угол наклона образующей к плоскости основания

Если меньшее основание спроецировать ортогонально на большее основание, то проекция боковой поверхности усеченного конуса будет иметь вид кольца, площадь которого вычисляется по формуле:
$S = {пи} (R ^ 2-r ^ 2) = {пи} (Rr) (R + r)$
Затем: $S_book={{pi}(Rr)(R+r)}/{cos{альфа}}$

Площади боковой поверхности усеченного конуса по Архимеду

$S_book={pi}(sqrt{L(R+r)})^2$
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна площади такой окружности, радиус которой является средним пропорциональным между образующей и суммой радиусов оснований

Полная поверхность усеченного конуса

Полная площадь поверхности конуса равна сумме площади его боковой поверхности и площади основания конуса:

$S_full=S_book+S_{b.osn}+S_{m.osn}$

Основаниями конуса являются окружности радиусов R и R. Их площадь равна произведению числа, умноженного на квадрат их радиуса:
$S_{b.osn}={pi}R^2$
$S_{m.osn}={pi}r^2$
Площадь боковой поверхности рассчитывается по формуле:
$S_book={pi}L(R+r)$
Тогда общая площадь поверхности усеченного конуса равна:
$S_fuln={pi}L(R+r)+{pi}R^2+{pi}r^2={pi}(R^2+(R+r)L+r^2)$
Формула выглядит следующим образом:
$S_fuln={pi}(R^2+(R+r)L+r^2)$

Пример расчета площади полной поверхности усеченного конуса, радиус и образующая которого известны
Радиусы основания усеченного конуса равны 1 и 7 дм, а диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны. Найдите полную площадь усеченного конуса
Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями 2R и 2r. То есть основания трапеции равны 2 и 14 дм соответственно. Поскольку диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота равна половине суммы оснований. Затем:

Образующая усеченного конуса, являющаяся стороной трапеции, высота, опушенная на большом основании, и разность радиусов основания усеченного конуса образуют прямоугольный треугольник.
По теореме Пифагора находим образующую усеченного конуса:
$L=sqrt{h^2+(Rr)^2}=sqrt{8^2+(7-1)^2}=sqrt{64+36}=sqrt{100}=10$
Формула полной площади поверхности усеченного конуса:
$S_fuln={pi}(R^2+(R+r)L+r^2)$
Подставив значения из состояния задачи и найденные значения, имеем:
$S_full={пи}(7^2+(7+1)10+1^2)={пи}(49+80+1)=130{пи}$