Площадь выпуклого четырехугольника

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются. На самом деле это явление можно наблюдать визуально, достаточно посмотреть на рисунок:

На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник или четырехугольник. Как хочешь. Как видите, диагонали не пересекаются, по крайней мере, не все. Справа выпуклый квадрат. Здесь свойство диагоналей пересекаться уже наблюдалось. Это же свойство можно рассматривать как признак выпуклости квадрата.

Формулы для площадей четырехугольников

Квадрат	Рисунок	Формула площади	Обозначение
Прямоугольник		S=аб	а и b — смежные стороны
	См вывод формулы	д — диагональ, φ — любой из четырех углов между диагоналями
	S = 2R2 sin φ Получено из приведенной выше формулы путем замены d=2R	R — радиус описанной окружности, φ — любой из четырех углов между диагоналями
Параллелограмм		С = ага См вывод формулы	одна сторона, ha — высота опущена до этой страницы
	S = абсент φ См вывод формулы	а и b — смежные стороны, φ — угол между ними
	См вывод формулы	d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними
Квадрат		S = а2	а — сторона квадрата
	S = 4r2	r — радиус вписанной окружности
	См вывод формулы	г — диагональ квадрата
	S=2R2 Получается из приведенной выше формулы заменой d = 2R	R — радиус описанной окружности
Ромб		С = ага См вывод формулы	одна сторона, ha — высота опущена до этой страницы
	S = a2 sin φ См вывод формулы	одна сторона, φ — любой из четырех углов ромба
	См вывод формулы	d1, d2 — диагонали
	С=2 года См вывод формулы	одна сторона, r — радиус вписанной окружности
	См вывод формулы	r — радиус вписанной окружности, φ — любой из четырех углов ромба
Трапеция		См вывод формулы	а и b основания, ч — высота
	S=мч	м — осевая линия, ч — высота
	См вывод формулы	d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними
	См вывод формулы	а и b основания, c и d — страницы
Дельтовидная		S = ab sin φ	а и б — разные стороны, φ — угол между ними
		а и б — разные стороны, φ1 – угол между сторонами, равный a , φ2 — угол между сторонами, равный b.
	S = (а + б) г См вывод формулы	а и б — разные стороны, r — радиус вписанной окружности
	См вывод формулы	d1, d2 — диагонали
Произвольный выпуклый квадрат		См вывод формулы	d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними
Вписанный квадрат		, См вывод формулы Брахмагупты	a, b, c, d — длины сторон квадрата, p — полупериметр, Формула называется «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
	S=аб где а и b — смежные стороны
	где д — диагональ, φ — любой из четырех углов между диагоналями См вывод формулы
	S = 2R2 sin φ где R — радиус описанной окружности, φ — любой из четырех углов между диагоналями Формула получена из приведенной выше формулы путем замены d = 2R
Параллелограмм
	С = ага где одна сторона, ha — высота опущена до этой страницы См вывод формулы
	S = абсент φ где а и b — смежные стороны, φ — угол между ними См вывод формулы
	где d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними См вывод формулы
Квадрат
	S = а2 где а — сторона квадрата
	S = 4r2 где r — радиус вписанной окружности
	где г — диагональ квадрата См вывод формулы
	S=2R2 где R — радиус описанной окружности Получается из приведенной выше формулы заменой d = 2R
Ромб
	С = ага где одна сторона, ha — высота опущена до этой страницы См вывод формулы
	S = a2 sin φ где одна сторона, φ — любой из четырех углов ромба См вывод формулы
	где d1, d2 — диагонали См вывод формулы
	С=2 года где одна сторона, r — радиус вписанной окружности См вывод формулы
	где r — радиус вписанной окружности, φ — любой из четырех углов ромба См вывод формулы
Трапеция
	где а и b основания, ч — высота См вывод формулы
	S=мч где м — осевая линия, ч — высота
	где d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними См вывод формулы
	где а и b основания, c и d — страницы См вывод формулы
Дельтовидная
	S = ab sin φ где а и б — разные стороны, φ — угол между ними
	где а и б — разные стороны, φ1 – угол между сторонами, равный a , φ2 — угол между сторонами, равный b.
	S = (а + б) г где а и б — разные стороны, r — радиус вписанной окружности См вывод формулы
	где d1, d2 — диагонали См вывод формулы
Произвольный выпуклый квадрат
	где d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними См вывод формулы
Вписанный квадрат
	, где a, b, c, d — длины сторон квадрата, р — полупериметр Формула называется «Формула Брахмагупты» См вывод формулы Брахмагупты

Прямоугольник

S=аб где а и b — смежные стороны

где д — диагональ, φ — любой из четырех углов между диагоналями См вывод формулы

S = 2R2 sin φ где R — радиус описанной окружности, φ — любой из четырех углов между диагоналями Формула получена из приведенной выше формулы путем замены d = 2R

Параллелограмм

С = ага где одна сторона, ha — высота опущена до этой страницы См вывод формулы

S = абсент φ где а и b — смежные стороны, φ — угол между ними См вывод формулы

где d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними См вывод формулы

Квадрат

S = а2 где а — сторона квадрата

S = 4r2 где r — радиус вписанной окружности

где г — диагональ квадрата См вывод формулы

S=2R2 где R — радиус описанной окружности Получается из приведенной выше формулы заменой d = 2R

Ромб

С = ага где одна сторона, ha — высота опущена до этой страницы См вывод формулы

S = a2 sin φ где одна сторона, φ — любой из четырех углов ромба См вывод формулы

где d1, d2 — диагонали См вывод формулы

С=2 года где одна сторона, r — радиус вписанной окружности См вывод формулы

где r — радиус вписанной окружности, φ — любой из четырех углов ромба См вывод формулы

Трапеция

где а и b основания, ч — высота См вывод формулы

S=мч где м — осевая линия, ч — высота

где d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними См вывод формулы

где а и b основания, в и г — стороны, См вывод формулы

Дельтовидная

S = ab sin φ где а и б — разные стороны, φ — угол между ними

где а и б — разные стороны, φ1 – угол между сторонами, равный a , φ2 — угол между сторонами, равный b.

S = (а + б) г где а и б — разные стороны, r — радиус вписанной окружности См вывод формулы

где d1, d2 — диагонали См вывод формулы

Произвольный выпуклый квадрат

где d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними См вывод формулы

Вписанный квадрат

где a, b, c, d — длины сторон квадрата, р — полупериметр Формула называется «Формула Брахмагупты»

Читайте также: Как найти площадь трапеции abcd: формула с основаниями, без высоты

Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример

Выпуклый четырехугольник – это геометрическая фигура, полученная путем соединения четырех точек на плоскости, которые не должны лежать на одной прямой. При этом образованные таким образом стороны не должны пересекаться друг с другом.

По диагоналям и углу между ними

Площадь (S) выпуклого четырехугольника равна одной секунде (половине) произведения диагоналей и синуса угла между ними.

По четырем сторонам (формула Брахмагупты)

Чтобы воспользоваться формулой, нужно знать длины всех сторон фигуры. Также должна быть возможность описать круг вокруг квадрата.

p — полупериметр, рассчитываемый следующим образом:

По радиусу вписанной окружности и сторонам

Если в квадрат можно вписать круг, то площадь можно вычислить по формуле:

S = за

r — радиус окружности.

Пример задачи

Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если его диагонали равны 5 см и 9 см, а угол между ними равен 30°.

Решение:
Подставляем известные нам значения в формулу и получаем: S = 1/2 * 5 см * 9 см * sin 30° = 11,25 см2.

Условие

Рис. 1. Шестаков С.А. «Сборник заданий. 9 класс» Рис. 1. Шестаков С.А. «Сборник заданий 9 класс»

Рассуждение

• В условии ни слова о диагоналях;
• Точки M, F и K являются серединами сторон AB, AD и DC, значит, если соединить их вместе, то получатся отрезки, соединяющие середины сторон (смазочное масло);
• Отрезки FM и KF известны, также известен угол между ними ∠MFK, и это похоже на теорему косинусов, но MK кажется бесполезным для решения отрезка.

Решение

Нарисуем произвольный квадрат, то есть такой, чтобы он не был похож ни на параллелограммы, ни на трапеции. И обратите внимание на середины сторон, известные сегменты и угол:

Рис. 2. ABCD — квадрат; точки M, F и K — середины сторон AB, AD и DC Рис. 2. ABCD — квадрат; точки M, F и K являются серединами сторон AB, AD и DC

Отрезки MF и FK – соединяют середины сторон, которые очень похожи на средние линии. Оценить их помогут диагонали.

Рис. 3. BD и AC — диагонали квадрата; точка Е — пересечение диагоналей рис. 3. BD и AC — диагонали квадрата; точка Е — пересечение диагоналей

Теперь вы можете видеть, что MF является средней линией ∆ABD, а FK находится в ∆ACD.

Рассмотрим ∆ABD:

Рис. 4. MF — центральная линия треугольника ∆ABDРис. 4. MF — средняя линия треугольника ∆ABD

По свойству средней линии треугольника (равной половине параллельной ей стороны) можно найти диагональ BD, которая будет в 2 раза больше MF:

ВД = 12√3 см.

Таким же образом находим диагональ AC к ∆ACD:

АС = 20 см.

Теперь мы знаем обе диагонали, найдем угол между ними. Для этого рассмотрим квадрат NEHF:

Рис. Рис. 5. NEHF – параллелограмм. 5. NEHF — параллелограмм

Снова по свойству осевых линий треугольника (только теперь параллельных стороне) определяем тип квадрата:

NEHF — параллелограмм (противоположные стороны параллельны).

Осталось найти площадь по формуле:

Рис. Рис. 6. Формула площади произвольного квадрата в виде диагоналей. 6. Формула площади произвольного квадрата через диагонали

Подставляем найденные диагонали и синус 120° (равный синусу 60°) в формулу и получаем ответ.

Ответ: 180