Площади четырехугольников

Содержание

Формулы для площадей четырехугольников
1. Через диагонали и угол между ними
2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)
3. Через полупериметр и радиус вписанной окружности
Площадь четырехугольника по четырем сторонам и двум противолежащим углам
Площадь выпуклого четырехугольника
Условие
Рассуждение
Решение

Формулы для площадей четырехугольников

Квадрат	Рисунок	Формула площади	Обозначение
Прямоугольник		S=аб	а и b — смежные стороны
	См вывод формулы	д — диагональ, φ — любой из четырех углов между диагоналями
	S = 2R2 sin φ Получено из приведенной выше формулы путем замены d=2R	R — радиус описанной окружности, φ — любой из четырех углов между диагоналями
Параллелограмм		С = ага См вывод формулы	одна сторона, ha — высота опущена до этой страницы
	S = абсент φ См вывод формулы	а и b — смежные стороны, φ — угол между ними
	См вывод формулы	d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними
Квадрат		S = а2	а — сторона квадрата
	S = 4r2	r — радиус вписанной окружности
	См вывод формулы	г — диагональ квадрата
	S=2R2 Получается из приведенной выше формулы заменой d = 2R	R — радиус описанной окружности
Ромб		С = ага См вывод формулы	одна сторона, ha — высота опущена до этой страницы
	S = a2 sin φ См вывод формулы	одна сторона, φ — любой из четырех углов ромба
	См вывод формулы	d1, d2 — диагонали
	С=2 года См вывод формулы	одна сторона, r — радиус вписанной окружности
	См вывод формулы	r — радиус вписанной окружности, φ — любой из четырех углов ромба
Трапеция		См вывод формулы	а и b основания, ч — высота
	S=мч	м — осевая линия, ч — высота
	См вывод формулы	d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними
	См вывод формулы	а и b основания, c и d — страницы
Дельтовидная		S = ab sin φ	а и б — разные стороны, φ — угол между ними
		а и б — разные стороны, φ1 – угол между сторонами, равный a , φ2 — угол между сторонами, равный b.
	S = (а + б) г См вывод формулы	а и б — разные стороны, r — радиус вписанной окружности
	См вывод формулы	d1, d2 — диагонали
Произвольный выпуклый квадрат		См вывод формулы	d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними
Вписанный квадрат		, См вывод формулы Брахмагупты	a, b, c, d — длины сторон квадрата, p — полупериметр, Формула называется «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
	S=аб где а и b — смежные стороны
	где д — диагональ, φ — любой из четырех углов между диагоналями См вывод формулы
	S = 2R2 sin φ где R — радиус описанной окружности, φ — любой из четырех углов между диагоналями Формула получена из приведенной выше формулы путем замены d = 2R
Параллелограмм
	С = ага где одна сторона, ha — высота опущена до этой страницы См вывод формулы
	S = абсент φ где а и b — смежные стороны, φ — угол между ними См вывод формулы
	где d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними См вывод формулы
Квадрат
	S = а2 где а — сторона квадрата
	S = 4r2 где r — радиус вписанной окружности
	где г — диагональ квадрата См вывод формулы
	S=2R2 где R — радиус описанной окружности Получается из приведенной выше формулы заменой d = 2R
Ромб
	С = ага где одна сторона, ha — высота опущена до этой страницы См вывод формулы
	S = a2 sin φ где одна сторона, φ — любой из четырех углов ромба См вывод формулы
	где d1, d2 — диагонали См вывод формулы
	С=2 года где одна сторона, r — радиус вписанной окружности См вывод формулы
	где r — радиус вписанной окружности, φ — любой из четырех углов ромба См вывод формулы
Трапеция
	где а и b основания, ч — высота См вывод формулы
	S=мч где м — осевая линия, ч — высота
	где d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними См вывод формулы
	где а и b основания, c и d — страницы См вывод формулы
Дельтовидная
	S = ab sin φ где а и б — разные стороны, φ — угол между ними
	где а и б — разные стороны, φ1 – угол между сторонами, равный a , φ2 — угол между сторонами, равный b.
	S = (а + б) г где а и б — разные стороны, r — радиус вписанной окружности См вывод формулы
	где d1, d2 — диагонали См вывод формулы
Произвольный выпуклый квадрат
	где d1, d2 — диагонали, φ — любой из четырех углов между ними См вывод формулы
Вписанный квадрат
	, где a, b, c, d — длины сторон квадрата, р — полупериметр Формула называется «Формула Брахмагупты» См вывод формулы Брахмагупты

Прямоугольник

S=аб

где
а и b — смежные стороны

где
д — диагональ,
φ — любой из четырех углов между диагоналями

См вывод формулы

S = 2R2 sin φ

где
R — радиус описанной окружности,
φ — любой из четырех углов между диагоналями

Формула получена из приведенной выше формулы путем замены d = 2R

Параллелограмм

С = ага

где
одна сторона,
ha — высота опущена до этой страницы

См вывод формулы

S = абсент φ

где
а и b — смежные стороны,
φ — угол между ними

См вывод формулы

где
d1, d2 — диагонали,

φ — любой из четырех углов между ними

См вывод формулы

Квадрат

S = а2

где
а — сторона квадрата

S = 4r2

где
r — радиус вписанной окружности

где
г — диагональ квадрата

См вывод формулы

S=2R2

где
R — радиус описанной окружности

Получается из приведенной выше формулы заменой d = 2R

Ромб

С = ага

где
одна сторона,
ha — высота опущена до этой страницы

См вывод формулы

S = a2 sin φ

где
одна сторона,
φ — любой из четырех углов ромба

См вывод формулы

где
d1, d2 — диагонали

См вывод формулы

С=2 года

где
одна сторона,
r — радиус вписанной окружности

См вывод формулы

где
r — радиус вписанной окружности,
φ — любой из четырех углов ромба

См вывод формулы

Трапеция

где
а и b основания,
ч — высота

См вывод формулы

S=мч

где
м — осевая линия,
ч — высота

где
d1, d2 — диагонали,

φ — любой из четырех углов между ними

См вывод формулы

где
а и b основания,
в и г — стороны,

См вывод формулы

Дельтовидная

S = ab sin φ

где
а и б — разные стороны,
φ — угол между ними

где
а и б — разные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равный a ,
φ2 — угол между сторонами, равный b.

S = (а + б) г

где
а и б — разные стороны,
r — радиус вписанной окружности

См вывод формулы

где
d1, d2 — диагонали

См вывод формулы

Произвольный выпуклый квадрат

где
d1, d2 — диагонали,

φ — любой из четырех углов между ними

См вывод формулы

Вписанный квадрат

Площадь вписанного четырехугольника по формуле Брахмагупты

где
a, b, c, d — длины сторон квадрата,
р — полупериметр

Формула называется «Формула Брахмагупты»

См вывод формулы Брахмагупты

1. Через диагонали и угол между ними

Формула расчета

2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)

Примечание: можно ли описать круг вокруг квадрата.

Формула расчета

p — полупериметр квадрата, равный:

3. Через полупериметр и радиус вписанной окружности

Формула расчета

S = за

Площадь четырехугольника по четырем сторонам и двум противолежащим углам

Вы знаете длины четырех сторон и длины диагоналей. Тогда площадь четырехугольника также можно найти по формуле Бретшнейдера.

$F = { tfrac {1} {4}} { sqrt {4e ^ {2} f ^ {2} (b ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}} = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - { tfrac {1} {4}} (ac + bd + ef) (ac + bd- ef)}}$
,
где s — полупериметр

Площадь выпуклого четырехугольника

Вы знаете длину четырех сторон и размеры двух противоположных углов. Тогда площадь четырехугольника можно найти по формуле Бретшнейдера.

$K = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd cdot cos ^ {2} left ({ frac { alpha + gamma} {2}} right)}}$
,
где s — полупериметр

Условие

Рис. 1. Шестаков С.А. «Сборник заданий. 9 класс» Рис. 1. Шестаков С.А. «Сборник заданий 9 класс»

Рассуждение

В условии ни слова о диагоналях;
Точки M, F и K являются серединами сторон AB, AD и DC, значит, если соединить их вместе, то получатся отрезки, соединяющие середины сторон (смазочное масло);
Отрезки FM и KF известны, также известен угол между ними ∠MFK, и это похоже на теорему косинусов, но MK кажется бесполезным для решения отрезка.

Решение

Нарисуем произвольный квадрат, то есть такой, чтобы он не был похож ни на параллелограммы, ни на трапеции. И обратите внимание на середины сторон, известные сегменты и угол:

Рис. 2. ABCD — квадрат; точки M, F и K — середины сторон AB, AD и DC Рис. 2. ABCD — квадрат; точки M, F и K являются серединами сторон AB, AD и DC

Отрезки MF и FK – соединяют середины сторон, которые очень похожи на средние линии. Оценить их помогут диагонали.

Рис. 3. BD и AC — диагонали квадрата; точка Е — пересечение диагоналей рис. 3. BD и AC — диагонали квадрата; точка Е — пересечение диагоналей

Теперь вы можете видеть, что MF является средней линией ∆ABD, а FK находится в ∆ACD.

Рассмотрим ∆ABD:

Рис. 4. MF — центральная линия треугольника ∆ABDРис. 4. MF — средняя линия треугольника ∆ABD

По свойству средней линии треугольника (равной половине параллельной ей стороны) можно найти диагональ BD, которая будет в 2 раза больше MF:

ВД = 12√3 см.

Таким же образом находим диагональ AC к ∆ACD:

АС = 20 см.

Теперь мы знаем обе диагонали, найдем угол между ними. Для этого рассмотрим квадрат NEHF:

Рис. Рис. 5. NEHF – параллелограмм. 5. NEHF — параллелограмм

Снова по свойству осевых линий треугольника (только теперь параллельных стороне) определяем тип квадрата:

NEHF — параллелограмм (противоположные стороны параллельны).

Осталось найти площадь по формуле:

Рис. Рис. 6. Формула площади произвольного квадрата в виде диагоналей. 6. Формула площади произвольного квадрата через диагонали

Подставляем найденные диагонали и синус 120° (равный синусу 60°) в формулу и получаем ответ.

Ответ: 180

Площади четырехугольников)

Формулы для площадей четырехугольников

1. Через диагонали и угол между ними

2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)

3. Через полупериметр и радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольника по четырем сторонам и двум противолежащим углам

Площадь выпуклого четырехугольника

Условие

Рассуждение

Решение