Плоскость — что это такое?

Понятие плоскости и ее обозначения

Плоскость — одна из простейших фигур в геометрии наряду с линией и точкой. Ранее мы объясняли, что точка и прямая расположены на плоскости. Если эту плоскость поместить в трехмерное пространство, мы получим точки и линии в пространстве.

В жизни представление о том, что такое плоскость, могут дать нам такие предметы, как поверхность пола, стола или стены. Но надо помнить, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости ассоциируется с бесконечностью.

Прямые линии и точки, расположенные в пространстве, будем обозначать так же, как и расположенные на плоскости, — строчными и большими латинскими буквами (В, А, d, q и т д.) точек, лежащих на прямой, можно выбрать такие обозначения, которые будут соответствовать друг другу, например линия DB и точки D и B.

Для обозначения плоскости на письме традиционно используются строчные греческие буквы, такие как α, γ или π.

Если нам нужно графическое изображение плоскости, для этого обычно используют замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.

Плоскость обычно рассматривают вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторую вариацию их расположения относительно друг друга. Рассмотрим отдельные случаи.

Что такое плоскость

Думаем, вы уже знаете значение слова «плоскость» из уроков геометрии. Возможно, вы слышали об этом, но мало представляете, что это такое. Мы также сталкиваемся с этим понятием в нашей обычной, нематематической жизни. Рассмотрим то, что мы называем плоским объектом. Правильно: тот, который не имеет объема и включает в себя только два измерения — длину и ширину. Любители мультфильмов, манги и компьютерных игр точно знают понятие «2D», которое противопоставляется объемному, современному «3D».

Если последний абзац был вам совершенно непонятен, следующий пример исправит ситуацию. Представьте себе лист бумаги, поверхность пола, стен или стола. В этом случае мы можем убрать слово «поверхность» и заменить его на «плоскость», но будет один нюанс. Площадь этих объектов ограничена, а плоскость бесконечна, не имеет ни краев, ни границ.

Итак, пора сформулировать определение самолета:

Плоскость — это поверхность, которая содержит линии, соединяющие две ее точки.

В другом источнике определение самолета звучит так:

Плоскость – это поверхность, имеющая два измерения.

Советуем запомнить обе формулировки, так как первая говорит нам о некоторых характеристиках самолета — их мы обсудим чуть позже. Второе заставляет нас понять суть этого слова.

Плоскость — одно из основных, т е фундаментальных, понятий в геометрии наряду с точкой и линией. Можно сказать, что эти три слова родственны друг другу, как лучшие друзья, и у них много общих «историй». Помимо этих трех, не существует никакой аксиомы, теоремы или другого геометрического понятия.

С плоскости математики складываются трехмерные фигуры. Таким образом, куб состоит из 6 граней, каждая из которых является частью отдельной плоскости. Следуя тому же принципу, можно сказать, что правильная пирамида состоит из 4 таких частей, а квадратная – из 5. Раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости, кстати, называется планиметрией, а изучающий трехмерные фигуры называется стереометрией.

Как обозначается плоскость

На уроках геометрии вы часто будете рисовать плоскости и решать связанные с ними задачи. На чертеже плоскость чаще всего изображают в виде параллелограмма или произвольной замкнутой области. Для обозначения летательного аппарата используются строчные буквы греческого алфавита — α, β, γ и так далее:

Вот мы и узнали, что такое плоскость по математике. Двигаться дальше!

Читайте также: Простые и составные числа: примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

Какие бывают виды плоскостей

Самые любопытные из вас могут задаться вопросом, все ли самолеты одинаковы и какие они бывают. Ответы на эти вопросы вы обязательно получите в университете по предмету начертательной геометрии, если выберете математический профиль. Но ждать придется долго, а ответы я хочу получить сейчас, так что мы немного приоткроем завесу тайны.

На рисунке показаны три типа плоскостей в трехмерном пространстве, которые также называются xyz по трем координатным осям.

Горизонтальная плоскость — это плоскость, которой принадлежит ось Ох, лежащая горизонтально.

Фронтальная плоскость — это плоскость, которая лежит вертикально перед зрителем.

Профильная плоскость представляет собой плоскость, расположенную вертикально и пересекающуюся под прямым углом с горизонталью и фронтом.

Повторим, что такая классификация является лишь дополнительным материалом для самых любознательных математиков, они могут удивить учителя или взять его на самостоятельное исследование или даже научный проект.

Характерные особенности плоскостей.

Самолет – это открытая поверхность.

Прямая, имеющая с плоскостью только одну общую точку, пересекает эту плоскость. Верно и это — прямая, соединяющая две точки пространства, расположенные по разные стороны одной плоскости, пересекает эту плоскость.

Через каждую прямую можно провести бесконечное количество плоскостей.

Произвольная прямая, проведенная на плоскости, разделит ее на две части (называемые полуплоскостью).

Две плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой.

Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо принадлежит плоскости.

Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны друг другу.

Если две плоскости перпендикулярны одной прямой, то они параллельны друг другу.

Способы задания плоскости на чертеже

Есть шесть вариантов сборки:

• использовать 3 точки, не расположенные на одной прямой;
• использовать проекцию прямой, а также точку, не относящуюся к этой прямой и не расположенную на ней;
• с помощью проекций двух прямых, параллельных друг другу;
• использовать проекции двух пересекающихся прямых;
• использовать проекции плоской фигуры;
• используя следы.

Рисунок 2. Шесть вариантов конструкции

Горизонтальные плоскости на чертеже

Название плоскости зависит от ее расположения по отношению к плоскостям проекций. Рассматривается одно из трех возможных положений, в первом случае плоскость может располагаться под углом ко всем плоскостям (П1, П2 и П3), во втором случае она может быть перпендикулярна к П1, П2 или П3, в последнем случае он может быть параллелен P1, P2 или P3.

Если плоскость относится к первому случаю, она называется плоскостью общей проекции, в отличие от плоскости частного положения, которая относится ко второй и третьей позициям. Плоскости уровня располагаются параллельно плоскостям П1, П2 и П3 и могут быть горизонтальными, фронтальными и профилированными. В силу того, что они параллельны дорожке, плоскости будут параллельны соответствующим осям координат.

Рисунок 3. Горизонтальные плоскости

Прямые, перпендикулярные плоскости на чертеже

Если две прямые, лежащие в одной плоскости, образуют четыре прямых угла, то они называются перпендикулярными. Перпендикуляром к плоскости будет линия, перпендикулярная всем прямым, относящимся к плоскости. Исходя из расположения линии, можно сделать вывод, что если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым на плоскости, то она будет перпендикулярна и самой плоскости.

Рисунок 4. Расположение линий и план

Секущая плоскость на чертеже

Секущую плоскость используют в чертежах практически во всех отраслях, она позволяет представить, как выглядит предмет в сечении. По правилам, саму секущую плоскость на чертеже не изображают, если она совпадает с плоскостью симметрии, разрез и вид не разделены другими изображениями, а создают разрез, находящийся в проекционной связи с видом. В остальных случаях положение плоскости реза указывается незамкнутой линией, при этом длина хода составляет 8-10 мм.

С помощью секущей плоскости можно делать продольный, поперечный, горизонтальный и угловой рез.

Рис. 5. План чертежа в разрезе

Чертеж плоскости общего положения

При выполнении чертежа необходимо помнить, что эта плоскость проходит так, чтобы не быть перпендикулярной и параллельной какой-либо из плоскостей проекций. Он расположен под углом к ​​плоскостям, поэтому на сложном чертеже плоскости мы будем видеть его на каждой проекции.

На чертежном листе плоскость задается через три точки или прямую и точку или через две пересекающиеся прямые.

Рисунок 6. План общего положения

Признаки параллельных плоскостей на чертеже

Параллельность обозначается символом ‖, который может относиться как к прямым линиям, так и к плоскостям. Когда вы показываете на чертеже параллельные плоскости, они выглядят как два равных параллелограмма, смещенных друг относительно друга, каждая плоскость имеет имя, например α‖β.

Основной признак параллелизма рассматриваемых планов состоит в том, что две пересекающиеся прямые в одном плане параллельны двум пересекающимся прямым в другом плане.

Рисунок 7. Рисование на параллельных плоскостях

Замена плоскостей на чертеже

Метод замены плоскостей на чертеже применяют для решения разнообразных задач начертательной геометрии. Суть метода заключается в том, что одна заданная плоскость заменяется дополнительной, размещенной таким образом, чтобы условия решения упростились, а расположение фигур, их центров и отверстий остались прежними. Замена может производиться как для одной, так и для двух плоскостей.

Рисунок 8. Замена плоскостей на чертеже

Плоскости проекций на чертеже

План проекции позволяет получить полное представление о предмете. Отмечено, что одна или две проекционные плоскости могут иметь недостаточную информацию, так как на них будут указаны не все характерные особенности и отклонения.

Плоскости проекций перпендикулярны друг другу, и благодаря их перпендикулярности можно получить полное восприятие и изображение проекций предмета с разных ракурсов, не требующих пояснений. Три плоскости проведены так, что они образуют трехгранный угол. Плоскость проекции может быть обозначена как P1, P2 и P3 или как V-вертикальная, H-горизонтальная и W-профильная.

Рисунок 9. План проекции

Варианты взаимного расположения прямой и плоскости

Самый простой вариант, чтобы линия находилась в плоскости. Тогда в ней будут располагаться не менее двух точек этой прямой. Сформулируем аксиому:

Определение 4

Если хотя бы две точки данной прямой лежат в некоторой плоскости, это означает, что все точки этой прямой расположены в этой плоскости.

Для регистрации принадлежности прямой некоторой плоскости используем тот же символ, что и для точки. Если мы пишем «a∈π», то это означает, что у нас есть прямая a, лежащая в π-плоскости. Изобразим это на рисунке:

Второй вариант взаимного расположения – когда прямая пересекает плоскость. В этом случае у них будет только одна общая точка — точка пересечения. Чтобы записать такое расположение в буквальном виде, мы используем символ ∩. Например, выражение a∩π=M читается как «прямая a пересекает плоскость π в точке M». Если у нас есть точка пересечения, то у нас есть и угол пересечения прямой с плоскостью.

Графически это событие выглядит так:

Если у нас есть две прямые, одна из которых лежит в плоскости, а другая ее пересекает, то они перпендикулярны друг другу. На письме это обозначается символом ⊥. Функции этой позиции мы оценим в отдельной статье. На рисунке это место будет выглядеть так:

Если мы собираемся решить задачу, в которой есть плоскость, нам нужно знать, каков вектор нормали к плоскости.

Определение 5

Вектор нормали к плоскости — это вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости, и не равный нулю.

Примеры нормальных векторов плоскости показаны на рисунке:

Третий случай взаимного расположения прямой и плоскости — их параллельность. В этом случае они не имеют ни одной общей точки. Символ ∥ используется для письменного обозначения таких отношений. Если у нас есть запись вида a∥π, то ее следует читать так: «прямая a параллельна плоскости ∥». Более подробно мы разберем этот вопрос в статье о параллельных плоскостях и прямых.

Если внутрь плоскости провести прямую, то она делит ее на две равные или неравные части (полуплоскость). Тогда такая прямая будет называться границей полуплоскости.

Любые 2 точки, лежащие в одной полуплоскости, лежат по одну сторону границы, а две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, лежат по разные стороны границы.

Варианты расположения двух плоскостей друг относительно друга

1. Самый простой вариант — две плоскости совпадают друг с другом. Тогда у них будет не менее трех общих точек.

2. Одна плоскость может пересекаться с другой. Это создает прямую линию. Выводим аксиому:

Определение 6

Если две плоскости пересекаются, то между ними образуется общая прямая, где лежат все возможные точки пересечения.

На схеме это будет выглядеть так:

При этом между плоскостями образуется угол. Если он равен 90 градусам, то плоскости будут перпендикулярны друг другу.

3. Две плоскости могут быть параллельны друг другу, то есть не иметь ни одной точки пересечения.

Если у нас есть не две, а три и более плоскости, пересекающие друг друга, то такую ​​комбинацию обычно называют пучком или связкой плоскостей. Подробнее об этом мы напишем в отдельной статье.

Как плоскость и точка могут располагаться относительно друг друга

Чтобы было легче понять, давайте сравним плоскость и точку с вами и вашим питомцем. Вы можете быть либо вместе в одной комнате, либо быть врозь, чтобы не видеть друг друга. Этот пример наглядно показывает связь между линией и плоскостью: точка может принадлежать плоскости, а может и не принадлежать.

Предположим, что в плоскости α есть точка C. Тогда мы можем записать это так: C ∈ α. Возьмем другую точку К, лежащую вне плоскости. Для записи этой информации используем другой знак — ∉: K ∉ α, ​​иначе говоря, точка K не принадлежит плоскости α.

Проверьте себя. Внимательно рассмотрите рисунок и скажите, какие точки принадлежат плоскости, а какие нет.

Чтобы больше узнать о том, как расположены точки и плоскости по отношению друг к другу, нам необходимо ознакомиться с тремя аксиомами.

Аксиома 1. В каждой плоскости есть точки.

Представьте себе бесконечный пляж с бесконечными песчинками. Подобно ему, любая плоскость имеет множество точек, даже если они не обозначены на рисунке.

Аксиома 2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и только одна.

Эту аксиому можно рассматривать как способ определения плоскости в пространстве. Вы можете сделать это сами — просто поставьте на листе бумаги три точки: М, L и N. Поздравляю, вы только что провели через них новую плоскость, которую можно назвать в честь этих точек — плоскость MLN. Усложним задачу: теперь с помощью маркера поставьте пару точек на полу и одну на стене. Вуаля, новый самолет готов! Только не забудь стереть свой рисунок до прихода родителей.

Кстати, последний эксперимент говорит о том, что плоскость вовсе не обязательно должна быть плоской, параллельной полу, стенам и так далее. Вполне может быть под углом.

Аксиома 3. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Эта аксиома подтверждает тот факт, что точка не может принадлежать плоскости. Если мы вернемся к нашему рисунку на бумаге, мы можем поставить еще одну точку на листе. В этом случае эта новая точка будет принадлежать плоскости. Если мы положим его на доску, оконное стекло, подошву нашей обуви, то точка не будет принадлежать исходной плоскости.

Более того, набор точек может одновременно принадлежать разным плоскостям в пространстве. Предположим, у нас есть точки A, B, C и D. Выясним, какие плоскости могут проходить через них.

Принадлежит самолету

Не принадлежит самолету

Азбука

Д

АБД

С

АКД

Б

BCD

ОДИН

Как прямая и плоскость могут располагаться относительно друг друга в пространстве

Существует несколько вариантов взаимного расположения плоскости и линии или луча в пространстве. Давайте подробно рассмотрим каждый из них.

1. Прямая может лежать в плоскости

Здесь все просто. А если на уроках геометрии вы хотите блеснуть своими знаниями, то можно добавить: «Если хотя бы две точки лежат в плоскости, принадлежащей прямой, то эта прямая лежит в плоскости». Учитель точно будет доволен!

2. Прямая может пересекать плоскость

Проведем эксперимент: возьмем в пространстве плоскость (круг с колбаской) и пересечем ее по прямой (зубочисткой). Подсчитайте, сколько общих точек они будут иметь. Правильно, всего один.

В математике точка пересечения обозначается символом ⋂. Таким образом, c ⋂ β = V означает, что прямая c пересекает плоскость β в точке V.

Из опыта с колбасой видно, что зубочистку мы можем вставлять по-разному, т.е под разными углами. Исходя из этого, в геометрии существует понятие угла между прямой и плоскостью, где отдельно отмечается случай перпендикулярности.

Прямая, перпендикулярная плоскости, есть прямая, перпендикулярная любой прямой, лежащей на плоскости.

Если прямая B перпендикулярна плоскости γ, то это можно записать так: В ⟂ γ.

3. Прямая может быть параллельна плоскости

В этом случае прямая и плоскость не будут иметь общих точек. Если прямая D параллельна плоскости γ, это можно записать так: D || γ.

Подведем итоги с помощью таблицы.

Размещение

Количество общих точек

Прямая и плоскость параллельны

0

Линия и плоскость пересекаются

1

Линия находится в плоскости

2 до бесконечности

Как две плоскости могут располагаться относительно друг друга

Следующим пунктом в нашем обсуждении является взаимное расположение плоскостей. Прежде чем продолжить чтение, остановитесь на секунду и подумайте сами, как можно разместить два самолета в космосе.

Да, вы абсолютно правы! Самолет может:

• быть параллельны друг другу
• кресты, в том числе под углом 90 градусов (в этом случае плоскости можно назвать перпендикулярными);
• совпадают друг с другом (имеют не менее 3 общих точек).

Кстати, это далеко не все типы локаций. Дело в том, что многие плоскости могут пересекаться в одной точке или по прямой, но об этом мы поговорим в других статьях. Оставайтесь с нами 🙂

Как задать плоскость в пространстве

На уроке геометрии учитель может спросить: «Как вы можете определить плоскость?», и некоторые из ваших одноклассников будут сбиты с толку. Давайте узнаем, что значит «поставить самолет». По сути, это означает перечисление элементов и способов их расположения, что позволяет сказать: «Вот через них проходит плоскость». Теперь давайте подробнее рассмотрим случаи, когда можно утверждать, что самолет существует.

1. Вернемся к аксиоме. Как мы уже знаем, через три точки, не лежащие на прямой, проходит плоскость, и только одна. Таким образом, вы можете провести самолет через три точки, которые не лежат на одной прямой.

   

2. Второй способ следует из первого: проведем прямую, соединяющую две из трех точек. Теперь наша плоскость принадлежит прямой и точке, не лежащей на ней. Поставили самолет.

   

3. Продолжаем соединять точки. На этот раз мы соединим две точки: пусть это будут А и В, А и С. Получится две пересекающиеся прямые. Это означает, что две пересекающиеся прямые могут определять плоскость.

   

4. Четвертый способ: плоскость можно задать прямыми, параллельными друг другу.

   

Уравнения плоскости

Общая форма
Плоскость может быть задана уравнением первой степени:

Ax + City + Cz + D = 0

Примечание. A, B и C могут быть равны нулю одновременно.

Уравнение в сегментах
Пусть имеется плоскость, пересекающая координатные оси Ox, Oy и Oz в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, c). В этом случае уравнение выглядит так:

Плоскость, проходящая через точку, перпендикулярную вектору нормали
Если нам известны координаты точки на плоскости, скажем, M(x0, y0, z0), а также вектор нормали к плоскости, скажем, n = {A; Б; C}, то уравнение можно задать по формуле:

А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0

Плоскость, проходящая через три точки, не лежащие на одной прямой
Если известны координаты трех точек, принадлежащих одной плоскости, например A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) и C(x3,y3,z3), уравнение будет иметь вид:

Плоскость в высшей математике

Плоскость в пространстве также может быть определена по-разному (три точки, точка и вектор, перпендикулярный плоскости). В зависимости от этого рассматриваются разные типы уравнений.

1. В пространстве Oxyz составим уравнение плоскости P, проходящей через точку
перпендикулярно вектору n=(А,В,С) (вектору нормали к плоскости) (рис. 9). Рис.9

Возьмем любую точку M(x,y,z), лежащую на плоскости, и посмотрим на вектор
Поскольку векторы
взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

или в согласованной форме:

Уравнение Ax+By+Cz+D=0, где A, B и C не равны нулю одновременно
называется общим уравнением плоскости.

2. Составить уравнение в плоскость, проходящую через три точки
не лежат на одной линии. Пусть M(x,y,z) — произвольная точка этой плоскости. Рассмотрим векторы

Эти векторы компланарны, поэтому их смешанное произведение равно нулю:
Условие компланарности трех векторов в координатной форме можно записать следующим образом:
Это и есть искомое уравнение плоскости.

Основные задачи о плоскости в пространстве

1. Угол между пересекающимися плоскостями. Пусть даны две пересекающиеся плоскости
которые имеют нормальные векторы

Пусть пересечение плоскостей определяется прямой линией (l). Из одной точки на этой прямой проводим два вектора, перпендикулярные прямой
Меньший угол между этими векторами определяет угол между плоскостями (рис.44):

Рис. 44. Угол между плоскостями.

Потому что
то угол между векторами нормалей равен углу между векторами
Из векторной алгебры известно, что угол между векторами определяется по формуле:

Следствие: Если плоскости перпендикулярны (
), то условием перпендикулярности плоскостей является равенство:
.

Следствие: если плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны, следовательно, условие параллельности плоскостей:

2. Расстояние от данной точки до данной плоскости. Расстояние от заданной точки
на заданный рейс
определяется по формуле:

Пример:

Как далеко от самолета
есть смысл

Решение:

Воспользуемся следующей формулой:

Прямая как пересечение двух плоскостей

Рассмотрим две непараллельные плоскости, заданные общими уравнениями. В этом случае плоскости пересекаются по прямой, определяемой уравнениями

которые называются общими уравнениями прямой.

Комментарий. Одна и та же прямая может быть задана разными системами двух линейных уравнений, потому что через одну прямую можно провести бесконечное количество плоскостей.

Пример №1

Приведем общие уравнения прямой к каноническому виду:

Решение:

Векторы
=(2,-1,-2) и
=(4,-2,-3) — векторы нормалей к плоскостям. Вектор направления прямой можно вычислить по формуле

потому что он принадлежит обоим планам и, следовательно, удовлетворяет условиям:

Найдем точку на прямой. Если подставить общие уравнения, например x=0, то получим систему уравнений:

По точке на прямой (0,-13,9) и вектору направления s=(-l,-2,0) составим канонические уравнения прямой:

Поскольку деление на ноль невозможно, уравнения прямой будут иметь вид:

Задача решена.

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть прямая на плоскости задана своим общим уравнением Ах + Ву + С = 0 и точка
не лежать на этой линии.

Найдите расстояние d от точки до данной прямой. Рисовать с точки
перпендикуляр
до линии l (рис. 10).

Искомое расстояние d является модулем вектора
который коллинеарен вектору n=(A, B). Из определения скалярного произведения следует:
или в согласованной форме:

И с тех пор
что

Таким же образом находится расстояние от точки до плоскости. Если плоскость задана своим общим уравнением Ax+By+Cz+D=0 и точка
которая не принадлежит этой плоскости, расстояние d от точки до плоскости находится по формуле:

Пример №2

Вершины треугольной пирамиды находятся в точках A(1,1,-1), B(2,1,-3), C(-1,1,1) и D(0,7,3). Вычислите высоту пирамиды от вершины D до основания ABC.

Решение:

искомая высота – это расстояние от точки D до плоскости ABC. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки A, B и C. Возьмем любую точку M(x, y, z), принадлежащую этой плоскости. Тогда векторы AM=(xl,yl,z+l), AB=(1,0,-2) и AC=(-2,0,2) будут лежать в плоскости ABC и поэтому их смешанное произведение будет равно до нуля:

y-1=0 — общее уравнение плоскости ABC. Используя формулу расстояния от точки до плоскости, получаем

Задача решена.

Позволять
— прямые векторы двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми – это угол между их направляющими векторами, т.е.

Условие параллельности двух прямых:
в.

Условие перпендикулярности двух прямых:
т е-

Позволять
— векторы нормалей двух плоскостей в пространстве. Угол между двумя плоскостями — это угол между их векторами нормали, т.е.

Условие параллельности двум плоскостям:
— т.е.

Условие перпендикулярности к двум плоскостям:
в.

Пусть линия l задана каноническими уравнениями

а плоскость P — по общему уравнению

Ax+By+Cz+D=0.

Угол между прямой и плоскостью — это острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Это идет в дополнение к
к углу между векторами
(рис.11):

Затем

Условие перпендикулярности к прямой и плоскости:
в.

Условие параллельности прямой и плоскости:
в. Am+Bn+Cp=0.