Почему корни квадратного уравнения называют корнями, а ветви параболы ветвями

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» — переменная или аргумент функции, а «y» — зависимая переменная или значение функции.

определение функции означает определение правила, в котором каждое значение аргумента соответствует одному значению функции. Вот способы его установки:

• Форма стола. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или расчетов.
• Графический способ: визуальный.

• Аналитический метод, через формулы. Он компактен, и вы можете вычислить функцию для произвольного значения аргумента из области определения.
• Вербальная манера.

График функции представляет собой объединение всех точек координатной плоскости, когда вместо «х» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Квадратное уравнение

Общий вид квадратного уравнения Общий вид квадратного уравнения

Квадратное уравнение — это многочлен, наивысшая степень которого с ненулевым коэффициентом равна 2, иначе известный как «квадрат».

Что же мы находим, решая квадратное уравнение

Нахождение корней с помощью дискриминанта и теоремы ВиеттаНахождение корней с помощью дискриминанта и теоремы Виетта

Что мы находим, что такое X1 и X2?

Здесь вам предстоит запомнить графы и способы нахождения пересечений двух графов.

Для нахождения точек пересечения двух графиков функций решаем систему уравнений, чаще всего достаточно поставить знаки равенства между правильными частями.

2х-3=х+1
2х-х=1+3
x=4 — найдена первая координата точки пересечения.
Подставляя координату x в одно из уравнений системы, находим y:
у=2*4-3=8-3=5
у=4+1=5
y=5 — вторая координата.

1. График параболы.

Квадратичная функция — функция вида y=ax^2+bx+c

График квадратичной функции График квадратичной функции

Обратите внимание, что квадратичная функция отличается от квадратного уравнения.

Зачем приравнивать к нулю?

Ответ: ищем пересечение графика параболы с графиком y=0.
y=0 — прямая, где для любого x y равно нулю.
y=0 это ось О!

Когда мы находим корни, мы находим пересечение параболы и оси x!

p1 и p2 — корни p1 и p2 — корни.

Корень может быть единицей, если дискриминант равен 0:

С отрицательным дискриминантом вообще не может быть корней:

Линии, исходящие из вершины параболы, называются ответвлениями. Ветки только что отросли от корней. Получаем аналогию с деревом, у которого есть корни и ветви.

Пример анализа и построения квадратного неравенства. Корни черные, ветви зеленые Пример анализа и построения квадратного неравенства. Корни черные, ветки зеленые.

Читайте также: Что такое mAh (миллиампер-часы) на аккумуляторе?

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, a ≠ 0 — обязательное условие.

График квадратичной функции представляет собой параболу, которая при y = x2 в частном случае, когда b = 0, c = 0, имеет следующий вид:

Точки, отмеченные фиолетовыми кружками, называются базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x2, нужно составить таблицу:

икс	−2	−1	0	1	2
у	4	1	0	1	4

Если старший коэффициент в уравнении квадратичной функции равен единице, график имеет тот же вид, что и y = x2 для всех значений остальных коэффициентов. При увеличении старшего коэффициента график сужается, а при уменьшении расширяется.

График функции y = -x2 выглядит как перевернутая парабола:

Зафиксируйте координаты базовых точек в таблице:

икс	−2	−1	0	1	2
у	−4	−1	0	−1	−4

Глядя на оба графика, вы можете увидеть их симметрию относительно оси X. Отметим важные выводы:

• Если старший коэффициент больше нуля (а > 0), ветви параболы направлены вверх.
• Если старший коэффициент меньше нуля (а < 0), ветви параболы направлены вниз.

Как построить график квадратичной функции — учесть значения x, при которых функция равна нулю. В противном случае можно вызвать нули функции. На графике нулевыми точками функции f(x) являются точки пересечения y = f(x) с осью OX.

Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, то необходимо, следовательно, решить координаты точек пересечения графика функции у = f(x) с уравнением оси ОХ f(x) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax2 + bx + c.Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. При этом находим дискриминант D = b2 — 4ac, что даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

1.  Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью OX. Если a > 0, график выглядит так:
   

1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, и парабола пересекает ось OX в одной точке. Если a > 0, график выглядит так:
2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, и парабола пересекает ось OX в двух точках, что можно найти следующим образом:

Если a > 0, график выглядит примерно так:

Теперь понятно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы можем схематически изобразить график той или иной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим образом:

Ось симметрии параболы — прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY.

Для построения графика нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Поскольку абсцисса каждой точки на оси OY равна нулю, для нахождения пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью OY необходимо вместо xi в уравнение подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении показаны основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее практичный способ можно выбрать в зависимости от того, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2×2 + 3x — 5.

Вот как мы строим:

1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, то ветви параболы направлены вверх.
2. Найдите дискриминант квадратного трехчлена 2х2+3х-5.

D = b2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

√Д=7

В этом случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2х2+3х-5=0,

1. Координаты вершины параболы:

1. Точка пересечения с осью OY: (0;-5) по отношению к оси симметрии.
2. Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график параболы:

   

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀)2 + y₀

Зная координаты вершины параболы и старший коэффициент, мы можем записать уравнение квадратичной функции в виде y = a(x − x0) + y0, где x0, y0 — координаты вершины параболы.

Его координаты вершины: (x₀; y₀). В квадратном функциональном уравнении y = 2×2 + 3x — 5 при a = 1 второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1)2 + 4.

Вот как мы строим:

1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого вам нужно:

• построить функцию y = x2,
• умножить ординаты всех точек графика на 2,
• переместите его по оси x на 1 единицу вправо,
• переместите его по оси OY на 4 единицы вверх.

1. Нарисуйте параболу для каждого случая.

   

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Вот как мы строим:

1. Этот тип функции позволяет быстро найти нулевые точки функции:

   (x − 2) × (x + 1) = 0, следовательно, x₁ = 2, x₂ = −1.

2. Определим координаты вершины параболы:

   

3. Найдите точку пересечения с осью OY:

   с = ab = (−2) × (1) = −2 и симметричный относительно оси симметрии параболы.

4. Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной прямой линией.

   

Формула для вычисления корней

Для нахождения корней квадратного уравнения используется формула:

Выражение внутри квадратного корня называется дискриминантом и обозначается буквой D (или Δ):

Д = b2 — 4ac

Таким образом, формулу вычисления корней можно представить по-разному:

1. Если D > 0, уравнение имеет 2 корня:

2. Если D = 0, уравнение имеет только один корень:

3. Если D < 0, действительных корней нет, а есть комплексные:

Решений квадратных уравнений

Пример 1

3х2 + 5х + 2 = 0

Решение:

а=3, б=5, с=2

х1 = (-5 + 1) / 6 = -4/6 = -2/3
х2 = (-5 — 1) / 6 = -6/6 = -1

Пример 2

3×2 — 6x + 3 = 0

Решение:

а=3, б=-6, с=3

х1 = х2 = 1

Пример 3

х2 + 2х + 5 = 0

Решение:

а=1, б=2, с=5

В этом случае действительных корней нет, и решение представляет собой комплексные числа:

х1 = -1 + 2i

х2 = -1 — 2i