Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные действительные числа.

Множеством комплексных чисел называется множество всех возможных пар (x, y) действительных чисел, где операции сложения, вычитания и умножения определены в соответствии с описанными ниже правилами.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, так как множество действительных чисел содержится в нем в виде пар (x, 0).

Комплексные числа, заданные парами (0, y), называются чисто мнимыми числами.

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая запись, тригонометрическая запись и экспоненциальная (экспоненциальная) запись.

Алгебраическая форма — это форма записи комплексных чисел, в которой комплексное число z, заданное парой действительных чисел (x, y), записывается как

z знак равно х + я .

(1)

где используется символ i, называемый мнимой единицей.

Число x называется действительной (вещественной) частью комплексного числа z = x + iy и обозначается Re z.

Число y называется мнимой частью комплексного числа z = x + iy и обозначается Im z.

Комплексные числа с Im z = 0 являются действительными числами.

Комплексные числа с Re z = 0 — чисто мнимые числа.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут рассмотрены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Сложение и вычитание комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 производятся по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов) x1 + i y1 и x2 + i y2 , т.е в соответствии с формулами

z1 + z2 =
=x1 + i y1 + x2 + i y2 =
=x1 + x2 + я (y1 + y2) ,

z1 – z2 =
=x1 + i y1– (x2 + i y2) =
=x1– x2 + i (y1– y2) .

Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2, а также операции сложения и вычитания выполняются по правилам умножения двучленов (многочленов), но берется самое главное равенство с учетом, которая имеет вид:

я 2 = — 1 .

(2)

По этой причине

z1z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2) =
=x1x2 + i x1 y2 +
+ я y1x2 + я 2y1 y2 =
= х1х2 + я х1у2 +
+i y1x2 – y1 y2 =
=x1x2 – y1 y2 +
+ я (x1 y2 + я x2 y1) .

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy, действительные части которых равны, а мнимые части различаются по знаку, называются комплексно-сопряженными числами.

Операция перехода от комплексного числа к его комплексному сопряжению называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа z = x + iy — это действительное число, обозначаемое | г| и определяется по формуле

Для любого комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы следующие неравенства:

Комментарий. Если z — действительное число, то его модуль равен | г| равно его абсолютному значению.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на ненулевое комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное при делении комплексных чисел можно представить следующим образом:

Деление на ноль запрещено.

5.1. Точки на координатных осях

Для начала рассмотрим точки, лежащие на осях координат.

Здесь все очевидно:

• На положительной полуоси абсцисс $varphi=0$ (фиолетовая точка $A$).
• На негативе — $varphi=pi$ (синяя точка $B$).
• На положительной полуоси $varphi =frac{pi }{2}$ (зеленая точка $B$).
• На отрицательной стороне — $varphi =frac{3pi }{2}$ (красная точка $C$). Впрочем, ничто не мешает нам считать $varphi =-frac{pi }{2}$ — результат будет тот же.:)

5.2. Точки с арктангенсом

А если точки не лежат на осях, то комплексное число $a+bi$ содержит числа $ane 0$ и $bne 0$. Рассмотрим вспомогательный угол

{{varphi}_{1}}=operatorname{arctg}left| frac{b}{a} right|

Конечно, это острый угол:

0 lt operatorname{arctg}left| frac{a}{b}right| lt гидроразрыва { pi} {2}

Зная знаки чисел $a$ и $b$, сразу определяем координатную четверть, в которой находится искомая точка. И все, что нам остается, это отложить вспомогательный угол ${{varphi}_{1}}$ от горизонтальной оси к этой четверти.

В правой полуплоскости протягиваем от «нулевого» луча:

Точка $Aleft(3;4right)$ удалена от начала координат на 5:

begin{align} 3+4i & =5cdot left(cos varphi +isin varphi right) varphi & =operatorname{arctg}frac{4}{3} конец{выравнивание}

Для точки $Bleft(6;-6right)$ арктангенс получился табличным:

[6-6i=6sqrt{2}cdotleft(cosleft(-frac{pi}{4}right)+isinleft(-frac{pi}{ 4} справа) справа)]

В левой полуплоскости откладываем от луча, соответствующего углу $pi $:

Итого для точки $Cleft(-2;5right)$ имеем:

[begin{align} -2+5i & =sqrt{29}cdot left(cos varphi +isin varphi right) varphi & =pi -operatorname{arctg} frac{5}{2} end{align}]

И, наконец, для точки $Dleft(-5;-3 right)$:

[begin{align} -5-3i & =sqrt{34}cdot left(cos varphi +isin varphi right) varphi & =pi +operatorname{arctg} frac{3}{5} end{align}]

Звучит просто, выглядит красиво, работает отлично! Но это требует некоторой практики. Пробуйте, практикуйтесь и внедряйте.

Деление в геометрической форме

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме, например, x = |x| ⋅ (cos φ1 + i ⋅ sin φ1) и y = |y| ⋅ (cos φ2 + i ⋅ sin φ2), то их можно разделить по следующей формуле:

Пример 2
Найдем частное комплексных чисел: x = 4 ⋅ (cos 60° + i ⋅ sin 60°) и y = 2 ⋅ (cos 25° + i ⋅ sin 25°).

Решение:
|х| : |у| = 4 : 2 = 2
φ1 – φ2 = 60° – 25° = 35°
x : y = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°)

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и вспомним, что радиус-вектор на плоскости — это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, а комплексное число z = x + iy представим в виде радиус-вектора с координатами (x , y).

Назовем ось абсцисс Ох действительной осью, а ось ординат Оу мнимой осью.

При таком представлении комплексных чисел сумма комплексных чисел равна сумме радиус-векторов, а произведение комплексного числа на действительное число равно произведению радиус-вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус-вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z.

Аргументом комплексного числа z является угол φ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором z.

Аргумент комплексного числа z считается положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси радиус-вектора z осуществляется против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см рис.).

Предполагается, что комплексное число ноль не имеет аргумента.

Поскольку аргумент комплексного числа определен с точностью до члена 2kπ , где k — произвольное целое число, вводится главное значение аргумента, обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда сходство оказывается истинным:

Если для комплексного числа z = x + iy известен его модуль r = | г| и аргумент φ, то можно найти действительную и мнимую части по формулам

(3)

Если комплексное число z = x + iy задано в алгебраической форме, т е нам известны числа x и y, то модуль этого числа, конечно, определяется по формуле

(4)

и аргумент определяется в соответствии со следующей таблицей 1.

Чтобы не загромождать запись, условимся, не уточняя этого, что символ k обозначает произвольное целое число в таблице 1.

Таблица 1. — Формулы для определения аргумента числа z = x + iy

Размещение номер г	X и Y символы	Основная ценность аргумента	Аргумент	Примеры
Положительный подлинный ось ось	х > 0 у=0	0	φ = 2kπ
квадрант Первый	х > 0 у > 0
Положительный воображаемый ось ось	х = 0 у > 0
квадрант Второй	х<0 , у > 0
Отрицательный подлинный ось ось	х<0 , у=0	π	φ = π + 2kπ
квадрант Третий	х<0 , у < 0
Отрицательный воображаемый ось ось	х = 0 у < 0
квадрант Четвертый	х > 0 у < 0

Размещение номер г	Положительный подлинный ось ось
X и Y символы	х > 0 у=0
Основной важность аргумент	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Размещение номер г	квадрант Первый
X и Y символы	х > 0 у > 0
Основной важность аргумент
Аргумент
Примеры

Размещение номер г	Положительный воображаемый ось ось
X и Y символы	х = 0 у > 0
Основной важность аргумент
Аргумент
Примеры

Размещение номер г	квадрант Второй
X и Y символы	х<0 , у > 0
Основной важность аргумент
Аргумент
Примеры

Размещение номер г	Отрицательный подлинный ось ось
X и Y символы	х<0 , у=0
Основной важность аргумент	π
Аргумент	φ = π + 2kπ
Примеры

Размещение номер г	квадрант Третий
X и Y символы	х<0 , у < 0
Основной важность аргумент
Аргумент
Примеры

Размещение номер г	Отрицательный воображаемый ось ось
X и Y символы	х = 0 у < 0
Основной важность аргумент
Аргумент
Примеры

Размещение номер г	квадрант Четвертый
X и Y символы	х<0 , у < 0
Основной важность аргумент
Аргумент
Примеры

Расположение числа z : Положительная действительная полуось Нарисуйте х и у : х > 0, у = 0 Основное значение аргумента: 0 Аргумент: φ = 2kπ Примеры:

Расположение числа z : Первый квадрант Нарисуйте х и у : х > 0, у > 0 Основное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа z : Положительная мнимая ось Нарисуйте х и у : х = 0, у > 0 Основное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа z : Второй квадрант Нарисуйте х и у : х < 0 , у > 0 Основное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа z : Отрицательная действительная полуось Нарисуйте х и у : х < 0 , у = 0 Основное значение аргумента: π Аргумент: φ = π + 2kπ Примеры:

Расположение числа z : Третий квадрант Нарисуйте х и у : х < 0 , у < 0 Основное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа z : Отрицательная мнимая ось Нарисуйте х и у : х = 0, у < 0 Основное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа z : Четвертый квадрант Нарисуйте х и у : х < 0 , у < 0 Основное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Читайте также: Таблица деления для 2-3 классов — распечатать таблицу, примеры, тренажер

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Из формулы (3) следует, что любое ненулевое комплексное число z = x + iy можно записать в виде

z = r (cos φ + i sin φ) ,

(5)

где r и φ — соответственно модуль и аргумент этого числа, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

запись комплексного числа в виде (5) называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера:

потому что φ + я грех φ знак равно е iφ .

(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы комплексного числа (5) следует, что любое ненулевое комплексное число z = x + iy можно записать в виде

z = re iφ ,

(7)

где r и φ — соответственно модуль и аргумент этого числа, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

запись комплексного числа в виде (7) называется экспоненциальной (экспоненциальной) формой записи комплексного числа.

Формула (7), в частности, подразумевает следующие подобия:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

cos φ + i sin φ,

или, что то же самое, числа e iφ при любом значении φ, равном 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Показательная запись комплексного числа очень удобна для выполнения умножения, деления и возведения комплексных чисел в натуральную степень.

На самом деле умножение и деление двух произвольных комплексных чисел, записанных в показательной форме, осуществляется по формулам

При умножении комплексных чисел перемножаются их модули и складываются аргументы.

Когда вы делите два комплексных числа, модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности между аргументами делимого и делителя.

возведение комплексного числа z = re iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, когда комплексное число возводится в натуральную степень, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Позвольте быть любым комплексным числом, отличным от нуля.

Корень n-й степени из числа z0 , где называется такое комплексное число z = re iφ, которое является решением уравнения

zn = z0 .

(8)

Для решения уравнения (8) перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда равны их абсолютные значения и разница между их аргументами равна 2kπ, где k — произвольное целое число. По этой причине равенства

что приводит к сходству

(9)

Из формул (9) следует, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

где

кроме того, на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0, .., n – 1 расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Комментарий. В случае n = 2 уравнение (8) имеет два разных корня z1 и z2, отличающихся знаком:

z2 = -z1 .

Пример 1. Найти все корни уравнения

z3 = – 8i .

Решение. Потому что

то по формуле (10) получаем:

Поэтому,

Пример 2. Решить уравнение

z2 + 2z + 2 = 0 .

Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, оно не имеет действительных корней. Для нахождения комплексных корней выбираем, как и в реальном случае, полный квадрат:

Потому что

то решения уравнения имеют вид

z1 = – 1 + i, z2 = – 1 – i .