Полная таблица производных элементарных функций

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем перейти к таблице расчета производной, давайте определим производную. В учебнике это выглядит так:

Производная функции есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Простыми словами, производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция изменяется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Поясним на примере: допустим, Маша решила утром сделать зарядку и постоять у стойки. Первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, а со второй недели могла стоять в планке каждый день на 3 секунды дольше. Успех Маши можно описать следующими графиками:

очевидно, что в первую неделю результаты Маши не изменились (т.е были постоянными), темп роста остался нулевым. Если мы посмотрим на таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

у = 10

у’ = 0

На второй неделе время планки с 10 секунд стало увеличиваться на 3 секунды ежедневно.

у = 10 + 3x

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от x равна 1, а также по правилам вычисления производных (c*f(x))’=cf'(x) и (f(x)+g(x)) ‘=f'(x)+g'(x).

у = 10 + 3x

у’ = 0 + 3

у’ = 3

Вот так, используя таблицу производных и элементарную математику, мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 секунды в день.

Это был очень простой пример, объясняющий основы дифференциального исчисления в общих чертах и ​​помогающий понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но понять решение задач, где скорость изменяется нелинейно, конечно, не так просто.

Читайте также: Как найти производную логарифма: натурального, сложной функции

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для классов 10 и 11 может содержать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому мы приводим стандартную таблицу производных.

Функция F(x

Производная f'(x)

C (т.е константа, любое число)

0

икс

1

хп

nxn-1

√х

1/(2√х)

жаль х

потому что х

потому что х

-грех х

тг х

1/cos2(х)

кТГ х

-1/sin2x

например

например

топор

топор* пер

инкс

1/х

логакс

1/(х * ln а)

Элементарные функции можно складывать, перемножать друг с другом, находить их разность или частное — словом, производить все математические операции. Но для этого есть определенные правила.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование запомните (или запишите в шпаргалку) пять простых формул:

(с ⋅ е)′ = с ⋅ е′

(и + v)′ = и′ + v′

(и — v)’ = и’ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2

При этом u, v, f — функции, а c — константа (любое число).

С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. В частности, вам нужно только запомнить формулы, где нужно разделить одну функцию на другую или умножить их и найти производную результата.

Например: вы хотите найти производную функции y = (5 ⋅ x3).

у′ = (5 ⋅ x3)′

Помните, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 ⋅ x3)’ = 5 ⋅ (x3)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ x3-1 = 15×2

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, не все функции выглядят так, как в таблице выше. Как быть с дифференцированием, например, таких функций: у = (3 + 2х2)4?

Сложная функция — это выражение, в котором одна функция вложена в другую. Производную комплексной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′. Другими словами, вы должны умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.

Пример 1

Найдем производную функции y(x) = (3 + 2×2)4.

Заменим 3 + 2×2 на u и тогда получим y = u4.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций получаем:

y = y’u ⋅ u’x = 4u3 ⋅ u’x

Теперь сделаем обратную подстановку и заменим исходное выражение:

4u3 ⋅ u′x = 4 (3 + 2×2)3 ⋅ (3 + 2×2)′ = 16 (3 + 2×2)3 ⋅ x

Пример 2

Найдем производную функции y = (x3 + 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.

y′ = (x3 + 4)′ ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ cos x ′ = 3×2 ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ (-sin x) = 3×2 ⋅ cos x – (x3 + 4) ⋅ грех х

Правила вычисления производных

Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательства, так как доказательство выходит за рамки школьного курса математики.

Правило 1 (производная произведения числа и функции) справедливое равенство

(ср(х))’ = ср'(х) ,

где с — любое число.

Другими словами, производная произведения числа и функции равна произведению этого числа и производной функции.

Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x),

то есть производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

Правило 3 (производная функциональной разницы). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) — g (x))’ = f’ (x) — g’ (x),

то есть производная разности функций равна разности производных этих функций.

Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f(x)g(x))’ =
=f'(x)g(x) + f(x)g'(x),

Другими словами, производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции.

Правило 5 (производная от частного двух функций). Производная дроби (частное двух функций) вычисляется по формуле

Определение. Рассмотрим функции f(x) и g(x) . Сложная функция или «функция из функции» — это функция вида

е (г (х))

В этом случае функция f(x) называется внешней функцией, а функция g(x) внутренней функцией.

Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

f(g(x))‘ = f'(g(x)) g'(x)

Другими словами, чтобы найти производную комплексной функции f(g(x)) в точке x, надо умножить производную внешней функции, вычисленной в точке g(x), на производную внутренней функции , рассчитанный в точке x .

Таблица производных часто встречающихся функций

В следующей таблице приведены формулы для производных степени, показательной (экспоненциальной), логарифмической, тригонометрической и обратной тригонометрической функций. Доказательство большинства этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

Функция	Формула производной	Название формулы
у=с где с — любое число	у’ = 0	Производная постоянной функции
у=хс где с — любое число	у’ = схс — 1	Производная функции мощности
у = бывший	у’ = экс	Производная показателя степени (показательной функции с основанием e)
у = топор где а — любое положительное число, не равное 1	y’ = акс журнал а	Производная показательной функции с основанием a
у = журнал х, х > 0	, х > 0	Производная натурального логарифма
у = журнал а х , х > 0 где а — любое положительное число, не равное 1	, х > 0	Производная логарифма основания a
у = грех х	у’ = потому что х	Синусоидальная производная
у = потому что х	у’ = -sin х	Производная косинуса
у = тг х ,	,	Касательная производная
у = ктг х ,	,	Производная котангенса
у = арксинух х ,		Производная арксинуса
y = дуга cos x ,		Производная арккосинуса
у = арктангенс х		Производная арктангенса
у = дуга х		Производная арктангенса

Производная постоянной функции

Функция: у=с где с — любое число Формула производной: у’ = 0

Производная функции мощности

Функция: у=хс где с — любое число Формула производной: у’ = схс — 1

Производная показателя степени (показательной функции с основанием e)

Функция: у = бывший Формула производной: у’ = экс

Производная показательной функции с основанием a

Функция: у = топор где а — любое положительное число, не равное 1 Формула производной: y’ = акс журнал а

Производная натурального логарифма

Функция: у = журнал х, х > 0 Формула производной: , х > 0

Производная логарифма основания a

Функция: у = журнал а х , х > 0 где а — любое положительное число, не равное 1 Формула производной: , х > 0

Синусоидальная производная

Функция: у = грех х Формула производной: у’ = потому что х

Производная косинуса

Функция: у = потому что х Формула производной: у’ = -sin х

Касательная производная

Функция: у = тг х , где Формула производной: ,

Производная котангенса

Функция: у = ктг х , где Формула производной: ,

Производная арксинуса

Функция: у = арксинух х , Формула производной:

Производная арккосинуса

Функция: y = дуга cos x , Формула производной:

Производная арктангенса

Функция: у = арктангенс х Формула производной:

Производная арктангенса

Функция: у = дуга х Формула производной:

Таблица производных сложных функций

В следующей таблице приведены формулы для производных комплексных функций.

Отдельные строки (с желтым фоном) содержат формулы для производных комплексных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид f(x) = kx + b , где k и b — все числа, .

Функция	Формула производной
у = (кх + Ь) с , где с — любое число.	у’ = кс (кх + Ь) с — 1 ,
у = (f(x))c , где с — любое число.
у=экх+б	у = кэкх + б
у = эф (х)
у=акх+б где а — любое положительное число, не равное 1
у = из (х) где а — любое положительное число, не равное 1
y = log (kx + b), kx + b > 0	, кх + Ь > 0
у = журнал (f (х)), f (х) > 0	, е (х) > 0
y = log a (kx + b), kx + b > 0 где а — любое положительное число, не равное 1	, кх + Ь > 0
y = log a (f (x)), f (x) > 0 где а — любое положительное число, не равное 1	, f (х) > 0
у=грех(кх+б)	y’ = k cos (kx + b)
у = грех (е (х))
у = потому что (кх + б)	y’ = -k sin (kx + b)
у = потому что (е (х))
у = tg (кх + Ь), где	,
у=тг(е(х)), где	,
у=ctg(kx+b), где	,
у = ctg (f (х)), где	,
y=arcsin(kx+b),
y=arcsin(f(x)),
y = arccos (kx + b),
y=arccos(f(x)),
y=arctg(kx+b)
у = арктангенс (е (х))
y=arctg(kx+b)
y=arctg(f(x))

Функция: у = (кх + Ь) с , где с — любое число. Формула производной: у’ = кс (кх + Ь) с — 1 ,

Функция: у = (f(x))c , где с — любое число. Формула производной:

Функция: у=экх+б Формула производной: у = кэкх + б

Функция: у = эф (х) Формула производной:

Функция: у=акх+б где а — любое положительное число, не равное 1 Формула производной:

Функция: у = из (х) где а — любое положительное число, не равное 1 Формула производной:

Функция: y = log (kx + b), kx + b > 0 Формула производной: , кх + Ь > 0

Функция: у = журнал (f (х)), f (х) > 0 Формула производной: , f (х) > 0

Функция: y = log a (kx + b), kx + b > 0 где а — любое положительное число, не равное 1 Формула производной: , кх + Ь > 0

Функция: y = log a (f (x)), f (x) > 0 где а — любое положительное число, не равное 1 Формула производной: , f (х) > 0

Функция: у=грех(кх+б) Формула производной: y’ = k cos (kx + b)

Функция: у = грех (е (х)) Формула производной:

Функция: у = потому что (кх + б) Формула производной: y’ = -k sin (kx + b)

Функция: у = потому что (е (х)) Формула производной:

Функция: у = tg (кх + Ь), где Формула производной: ,

Функция: у=тг(е(х)), где Формула производной: ,

Функция: у=ctg(kx+b), где Формула производной: ,

Функция: у = ctg (f (х)), где Формула производной: ,

Функция: y=arcsin(kx+b), Формула производной:

Функция: y=arcsin(f(x)), Формула производной:

Функция: y = arccos (kx + b), Формула производной:

Функция: y=arccos(f(x)), Формула производной:

Функция: y=arctg(kx+b) Формула производной:

Функция: у = арктангенс (е (х)) Формула производной:

Функция: y=arctg(kx+b) Формула производной:

Функция: y=arctg(f(x)) Формула производной:

Производная постоянной

Доказательство 1

Чтобы вывести эту формулу, мы начнем с определения производной функции в точке. Мы используем x0=x, где x принимает значение любого действительного числа, или, другими словами, x — любое число из области определения функции f(x)=C. Запишем предел отношения возрастания функции к возрастанию аргумента при ∆x→0:

lim∆x→0∆f(x)∆x=lim∆x→0C-C∆x=lim∆x→00∆x=0

Обратите внимание, что выражение 0∆x падает ниже знака предела. Это не неопределенность «ноль разделить на ноль», так как счетчик содержит не бесконечно малое значение, а ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции f(x)=C равна нулю во всей области определения.

Пример 1

Даны постоянные функции:

f1(x)=3,f2(x)=a, a∈R,f3(x)=4,13722,f4(x)=0,f5(x)=-87

Нам нужно найти их производные.

Решение

Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную от натурального числа 3. В следующем примере необходимо взять производную от а, где а — любое действительное число. Третий пример дает нам производную от иррационального числа 4,13722, четвертый — производную от нуля (ноль — целое число). Наконец, в пятом случае мы имеем производную рациональной дроби -87.

Ответ: производные заданных функций равны нулю при любом вещественном x (во всей области определения)

f1′(x)=(3)’=0,f2′(x)=(a)’=0, a∈R,f3′(x)=4,13722’=0,f4′(x)=0 ‘= 0,f5′(х)=-87’=0

Производная степенной функции

Обратимся к степенной функции и формуле ее производной, которая имеет вид: (xp)’=p·xp-1, где показатель p — любое действительное число.

Доказательство 2

Вот доказательство формулы, когда показатель степени — натуральное число: p=1, 2, 3, …

Мы снова опираемся на определение производной. Запишем предел отношения возрастания степенной функции к возрастанию аргумента:

(xp)’=lim∆x→0=∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x

Для упрощения выражения в числителе воспользуемся биномиальной формулой Ньютона:

(x+∆x)p-xp=Cp0+xp+Cp1 xp-1 ∆x+Cp2 xp-2 (∆x)2+…++Cpp-1 x (∆x)p-1+Cpp (∆ x)p-xp==Cp1 xp-1 ∆x+Cp2 xp-2 (∆x)2+…+Cpp-1 x (∆x)p -1+Cpp (∆x)p

Таким образом:

(xp)’=lim∆x→0∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x==lim∆x→0(Cp1 xp-1 ∆x+Cp2 xp- 2 (∆x)2+…+Cpp-1 x (∆x)p-1+Cpp (∆x)p)∆x==lim∆x→0(Cp1 xp -1+Cp2 xp-2 ∆ x+…+Cpp-1 x (∆x)p-2+Cpp (∆x)p-1)==Cp1 xp-1+0+0 +…+0=p!1!(p- 1)!xp-1=pxp-1

Итак, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени — натуральное число.

Доказательство 3

Чтобы привести доказательство для случая, когда p — любое действительное число, отличное от нуля, мы используем логарифмическую производную (здесь мы должны понимать отличие от производной логарифмической функции). Для более полного понимания желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно рассмотреть производную неявно заданной функции и производную комплексной функции.

Рассмотрим два случая: когда х положительный и когда х отрицательный.

Итак, х>0. Тогда: хр>0. Логарифмируем равенство y=xp по основанию e и используем свойство логарифма:

y=xpln y=ln xpln y=p ln x

На этом этапе достигается неявно определенная функция. Определим его производную:

(ln y)’=(p ln x)1y y’=p 1x⇒y’=p yx=p xpx=p xp-1

Теперь рассмотрим случай, когда x — отрицательное число.

Если показатель степени p является четным числом, степенная функция также определена для x<0 и является четной: y(x)=-y((-x)p)’=-p (-x)p-1 (- х)’ ==р (-х)р-1=р хр-1

Тогда xp<0 и можно провести доказательство с помощью логарифмической производной.

Если p — нечетное число, степенная функция также определена для x<0 и является нечетной: y(x)=-y(-x)=-(-x)p. Тогда xp<0, что означает, что нельзя использовать логарифмическую производную. В такой ситуации можно начать с доказательства правила дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции:

y'(x)=(-(-x)p)’=-((-x)p)’=-p (-x)p-1 (-x)’==p (-x) p-1 =р хр-1

Последний переход возможен благодаря тому, что если p нечетно, то p-1 либо четно, либо равно нулю (при p=1), поэтому при отрицательных x выполняется равенство (-x)p-1 = xp- 1 верно.

Итак, мы доказали формулу производной степенной функции для любого действительного p.

Пример 2

Предоставляемые функции:

f1(x)=1×23,f2(x)=x2-14,f3(x)=1xlog712

Определите их производные.

Решение

Преобразуем часть заданных функций в табличный вид y=xp, исходя из свойств степени, а затем воспользуемся формулой:

f1(x)=1×23=x-23⇒f1′(x)=-23x-23-1=-23x-53f2′(x)=x2-14=2-14×2-14-1=2- 14 x2-54f3(x)=1xlog712=x-log712⇒f3′(x)=-log712 x-log712-1=-log712 x-log712-log77=-log712 x-log784

Производная показательной функции

Доказательство 4

Выведем формулу производной, исходя из определения:

(ax)’=lim∆x→0ax+∆x-ax∆x=lim∆x→0ax(a∆x-1)∆x=ax lim∆x→0a∆x-1∆x=00

У нас появилась неопределенность. Чтобы это выявить, запишем новую переменную z=a∆x-1 (z→0 при ∆x→0). В этом случае a∆x=z+1⇒∆x=loga(z+1)=ln(z+1)ln a.Для последнего перехода используется формула перехода к новому основанию логарифма.

Выполним замену в исходной границе:

(ax)’=ax lim∆x→0a∆x-1∆x=ax ln a lim∆x→011z ln(z+1)==ax ln a lim∆x→01ln(z +1)1z=ax В 1lnlim∆x→0(z+1)1z

Вспомним второй чудесный предел, и тогда получим формулу производной экспоненциальной функции:

(ax)’=ax ln a 1lnlimz→0(z+1)1z=ax ln a 1ln e=ax ln a

Пример 3

Показательные функции задаются следующим образом:

f1(x)=23x,f2(x)=53x,f3(x)=1(e)x

Нам нужно найти их производные.

Решение

Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:

f1′(x)=23x’=23x ln23=23x (ln 2-ln 3)f2′(x)=53x’=53x ln 513=13 53x ln 5f3′(x)=1(e)x’=1ex ‘=1ex ln1e=1ex ln e-1=-1ex

Производная логарифмической функции

Доказательство 5

Докажем формулу производной логарифмической функции для любой xi области определения и любых допустимых значений основания а логарифма. Исходя из определения производной, получаем:

(logax)’=lim∆x→0loga(x+∆x)-logax∆x=lim∆x→0logax+∆xx∆x==lim∆x→01∆x loga1+∆xx=lim∆x→0loga1+∆xx1 ∆ x==lim∆x→0loga1+∆xx1∆x xx=lim∆x→01x loga1+∆xxx∆x==1x logalim∆x→01+∆xxx∆x=1x logae=1x ln eln a=1x ln a

Из указанной цепочки подобия видно, что преобразования строились на основе свойства логарифмичности. Предел равенства ∆x→01+∆xxx∆x=e верен в соответствии со вторым заметным пределом.

Пример 4

Даны логарифмические функции:

f1(x)=logln3x,f2(x)=lnx

Необходимо вычислить их производные.

Решение

Используем полученную формулу:

f1′(x)=(logln3 x)’=1x ln(ln 3);f2′(x)=(ln x)’=1x ln e=1x

Таким образом, производная натурального логарифма равна единице, деленной на х.

Производные тригонометрических функций

Доказательство 6

Мы используем некоторые тригонометрические формулы и первый фантастический предел для вывода формулы производной тригонометрической функции.

Согласно определению производной функции синуса получаем:

(sin x)’=lim∆x→0sin (x+∆x)-sin x∆x

Формула разности синусов позволит нам выполнить следующие действия:

(sin x)’=lim∆x→0sin (x+∆x)-sin x∆x==lim∆x→02 sin x+∆x-x2 cosx+∆x+x2∆x==lim∆x→0sin ∆x2 cosx+∆x2∆x2==cosx+02 lim∆x→0sin ∆x2∆x2

Наконец, воспользуемся первым фантастическим пределом:

sin’ x=cos x+02 lim∆x→0sin∆x2∆x2=cos x

Таким образом, производная функции sin x будет равна cos x.

Точно так же докажем формулу для косинусной производной:

cos’ x=lim∆x→0cos (x+∆x)-cos x∆x==lim∆x→0-2 sin x+∆x-x2 sinx+∆x+x2∆x==-lim∆x→ 0sin∆ x2 sinx+∆x2∆x2==-sinx+02 lim∆x→0sin∆x2∆x2=-sinx

Производная от cos x будет равна –sin x.

Выведем формулы производных тангенса и котангенса на основе правил дифференцирования:

tg’x=sin xcos x’=sin’ x cos x-sin x cos’ xcos2 x==cos x cos x-sin x (-sin x)cos2 x=sin2 x+cos2 xcos2 x=1cos2 xctg’x= cos xsin x’=cos’x sin x-cos x sin’xsin2 x==-sin x sin x-cos x cos xsin2 x=-sin2 x+cos2 xsin2 x=-1sin2 x

Производные обратных тригонометрических функций

Раздел о производных обратных функций содержит обширную информацию о доказательстве формул для производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому мы не будем дублировать здесь материал.

Производные гиперболических функций

Доказательство 7

Мы можем вывести формулы для производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса, используя правило дифференцирования и формулу для производной показательной функции:

sh’x=ex-e-x2’=12ex’-ex’==12ex—ex=ex+e-x2=chxch’x=ex+e-x2’=12ex’+ex’==12ex+-ex =ex-e-x2=shxth’x=shxchx’=sh’x chx-shx ch’xch2x=ch2x-sh2xch2x=1ch2xcth’x=chxshx’=ch’x shx-chx sh’xsh2x=sh2x -ch2xsh2x=- 1ш2х

Рекомендуется выучить формулы из таблицы производных: они не слишком сложны для запоминания, но экономят много времени при решении задач на дифференцирование.