- Что такое равенство
- Неравенства
- Запись равенств, знак равно
- Типы неравенств
- Верные и неверные равенства
- Свойства равенств
- Отражающая собственность
- Симметричное свойство
- Переходное свойство
- Единое свойство
- Отмена собственности
- Свойство замены
- Владение властью в равенстве
- Свойство корня в равенстве
- Замещающая собственность
- Двойные, тройные и так далее равенства
- Свойства числовых равенств
- Понятие пропорции
- Тождества
- 5 способов доказать тождество
- Основные свойства тождеств
- Формулы сокращенного умножения
- Уравнения
- 4 способа решить уравнение
- Как не запутаться в знаке неравенства
- Решаем задания
- Задание 1
- Задание 2
- Задание 3
- Задание 4
Что такое равенство
Само понятие сходства тесно переплетается с понятием сравнения, когда мы сравниваем характеристики и черты для выявления сходства. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые сравниваются друг с другом. Это рассуждение предполагает, что понятие подобия не может иметь место, когда нет по крайней мере двух объектов для сравнения. При этом, конечно, можно взять большее количество предметов: три и более, но в итоге мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из данных предметов.
Значение термина «равенство» в обобщенном толковании прекрасно определяется словом «одинаковый». Можно сказать, что два идентичных объекта «подобны». Например, квадраты
и
. А вот объекты, отличающиеся друг от друга хоть по какому-то признаку, мы будем называть разными.
Когда мы говорим о сходстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты обычно подобны, когда они подобны во всех свойствах. Например, когда мы упоминали в качестве примера сходство квадратов, мы имели в виду их сходство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Объекты могут быть не такими общими, но иметь такие же индивидуальные функции. Например:
и
. Указанные предметы похожи по форме (оба круга), но различны (неодинаковы) по цвету и размеру.
Таким образом, необходимо заранее понять, какое равенство мы имеем в виду.
Неравенства
В примере из учебника мы видим, что с одной стороны примера стоит «4», а с другой — «3». 4 и 3 не равны, значит это называется «неравенство». В нашем случае между 4 и 3 необходимо поставить знак неравенства «>» — «4>3».
Второй пример в колонке «Непохожести» немного сложнее. Справа от знака здесь стоит выражение «4-1», а слева только «4». Если из 4 вычесть 1, то получится 3. 3 меньше 4, а значит, тоже будет неравенство, которое обозначается знаком.
Запись равенств, знак равно
Для записи равенства используйте знак равенства (или знак равенства), обозначаемый как =. Это обозначение является общепринятым.
Компиляция равенства размещает похожие объекты рядом и ставит между ними знак равенства. Например, сходство между числами 5 и 5 будет записано как 5=5. Или, допустим, нам нужно записать равенство периметра треугольника АВС 6 метрам: РАВС = 6 м.
Определение 1
Равенство — это запись, в которой знак равенства используется для разделения двух математических объектов (или чисел, или выражений и т д.).
Когда возникает необходимость указать письменное неравенство между предметами, используют знак неравно, обозначаемый как ≠, т е по существу перечеркнутый знак равенства.
Типы неравенств
- Строгие неравенства — используйте только знак больше (>) или меньше (<).
- a < b означает, что a меньше b.
- a > b означает, что a больше b.
- неравенства a > b и b < a означают одно и то же, т е эквивалентны.
- Нестрогие неравенства – используйте знак сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно).
- a ≤ b означает, что a меньше или равно b.
- a ≥ b означает, что a больше или равно b.
- знаки ⩽ и ⩾ противоположны.
- Другие виды неравенств.
- a ≠ b означает, что a не равно b.
- a ≫ b означает, что a намного больше, чем b.
- a ≪ b означает, что a намного меньше, чем b.
- знаки >> и << противоположны.
Верные и неверные равенства
Составные сходства могут соответствовать сущности понятия сходства, а могут и противоречить ему. На этом основании все сходства классифицируются на истинные сходства и ложные сходства. Приведем примеры.
Составим уравнение 7=7. Числа 7 и 7, конечно, равны, и поэтому 7=7 — истинное равенство. Равенство 7=2, с другой стороны, неверно, так как числа 7 и 2 не равны.
Свойства равенств
Запишем три основные характеристики подобия:
Определение 2
- свойство рефлексивности, утверждающее, что объект подобен самому себе;
- свойство симметрии: если первый объект подобен второму, то второй подобен первому;
- свойство транзитивности: когда первый объект равен второму, а второй равен третьему, то первый равен третьему.
Запишем литеральные свойства следующим образом:
- а=а;
- если а=b, то b=а;
- если a=b и b=c, то a=c.
Отметим специальное использование второго и третьего свойств подобия — свойств симметрии и транзитивности — они позволяют утверждать о сходстве трех и более объектов через их попарное сходство.
Читайте также: ТОП-10 самых больших стран мира по площади
Отражающая собственность
Отражающее свойство в случае равенства утверждает, что каждое число равно самому себе и выражается как b = b для любого действительного числа b.
В частном случае равенства это свойство кажется очевидным, но в другом виде отношения между числами это не так. Другими словами, не каждое отношение между действительными числами удовлетворяет этому свойству. Например, такой случай отношения «меньше чем» (<); ningún número es menor Que Sí Mismo.
Симметричное свойство
Симметричное свойство равенства утверждает, что если а = Ь, то Ь = а. Какой бы порядок ни использовался в переменных, он будет сохранен отношением равенства.
Некоторую аналогию этого свойства можно наблюдать с коммутативностью в случае сложения. Например, из-за этого свойства это эквивалентно написанию y = 4 или 4 = y.
Переходное свойство
Транзитивное свойство равенства утверждает, что если a = b и b = c, то a = c. Например, 2 + 7 = 9 и 9 = 6 + 3; поэтому по свойству транзитивности имеем 2 + 7 = 6 + 3.
Простое утверждение таково: предположим, что Джулиану 14 лет, а Марио того же возраста, что и Роза. Если Роза ровесница Джулиана, то сколько лет Марио??
В этом сценарии транзитивное свойство используется дважды. Математически это интерпретируется как «а» возраст Марио, «б» возраст Розы и «в» возраст Джулиана. Известно, что b = c и c = 14.
Для свойства перехода мы имеем, что b = 14; то есть Розе 14 лет. Поскольку a = b и b = 14, опять же с учетом транзитивности, мы имеем a = 14; то есть возраст Марио тоже 14 лет.
Единое свойство
Свойство равномерности заключается в том, что если обе части равенства сложить или умножить на одно и то же число, равенство сохраняется. Например, если 2 = 2, то 2 + 3 = 2 + 3, что понятно, тогда 5 = 5. Это свойство более полезно, когда речь идет о решении уравнения.
Например, предположим, что вас попросили решить уравнение x-2 = 1. Удобно помнить, что решение уравнения состоит в явном определении соответствующей переменной (или переменных) на основе определенного числа или ранее указанной переменной.
Чтобы вернуться к уравнению x-2 = 1, мы должны явно определить, сколько стоит x. Для этого переменную необходимо удалить.
Ошибочно было сказано, что в этом случае, поскольку число 2 отрицательное, оно переходит в другую сторону от положительного знака. Но так говорить неправильно.
По сути, мы используем универсальное свойство, как мы увидим ниже. Идея состоит в том, чтобы удалить «x»; то есть оставьте его в покое на одной стороне уравнения. По договоренности его обычно оставляют слева.
Для этой цели число, которое вы хотите «исключить», равно -2. Это можно сделать, прибавив 2, поскольку -2 + 2 = 0 и x + 0 = 0. Чтобы сделать это без изменения равенства, ту же операцию нужно применить к другой стороне.
Это позволяет реализовать общее свойство: при x-2 = 1, если число 2 добавить к обеим сторонам равенства, общее свойство говорит, что то же самое не меняется. Тогда у нас есть x-2 + 2 = 1 + 2, что соответствует x = 3. При этом уравнение будет решено.
Точно так же, если вы хотите решить уравнение (1/5) y-1 = 9, вы можете использовать универсальное свойство следующим образом:
В более общем виде можно сделать следующие утверждения:
— Если ab = cb, то a = c.
— Если xb = y, то x = y + b.
— Если (1 / а) z = b, то z = a ×
— Если (1/с)а = (1/с)b, то а = b.
Отмена собственности
Свойство отмены — это частный случай унитарной собственности, особенно при вычитании и делении (которые, в конце концов, также эквивалентны сложению и умножению). Это свойство рассматривает этот вопрос отдельно.
Например, если 7+2=9, то 7=9-2. Или, если 2y = 6, то y = 3 (деление обеих сторон пополам).
Как и в предыдущем случае, следующие утверждения могут быть установлены через свойство abort:
— Если а + b = с + b, то а = с.
— Если x + b = y, то x = yb.
— Если az = b, то z = b/a.
— Если ca = cb, то a = b.
Свойство замены
Если мы знаем значение математического объекта, свойство подстановки говорит о том, что это значение можно подставить в любое уравнение или выражение. Например, если b = 5 и a = bx, а затем подставить значение «b» во второе равенство, мы получим, что a = 5x.
Другой пример: если «m» делит «n» и «n» делит «m», то должно быть, что m = n.
Фактически, утверждение, что «m» делит «n» (или, что то же самое, «m» является делителем «n»), означает, что деление m ÷ n является точным; то есть деление «m» на «n» даст вам целое число, а не десятичное число. Это можно выразить, сказав, что существует целое число «k», такое что m = k × n.
Поскольку «n» также делит «m», существует целое число «p», такое что n = p × m. Для свойства подстановки мы имеем n = p × k × n, и для этого есть две возможности: n = 0, i тогда мы будем иметь тождество 0 = 0; или p × k = 1, где тождество должно быть n = n.
Предположим, что «n» не равно нулю. Тогда обязательно p × k = 1; поэтому p = 1 и k = 1. Снова используя свойство подстановки, подставляя k = 1 в m = k × n (или, что то же самое, p = 1 в n = p × m), мы получаем m = n, что предстояло продемонстрировать.
Владение властью в равенстве
Как упоминалось ранее, если операция выполняется как сумма, умножение, вычитание или деление в обоих условиях равенства, она сохраняется, так же как могут использоваться другие операции, которые не изменяют равенство.
Ключ в том, чтобы всегда делать это с обеих сторон уравнения и убедиться, что операция может быть сделана заранее. Так обстоит дело с наделением полномочиями; то есть, если обе части уравнения возвести в одну и ту же степень, равенство все равно существует.
Например, поскольку 3 = 3, то 32 = 32 (9 = 9). В общем случае дано целое число «n», если x = y, то xN = yN.
Свойство корня в равенстве
Это особый случай возведения в степень, который применяется, когда показатель степени представляет собой нецелое рациональное число, например ½, представляющее собой квадратный корень. Это свойство указывает, что если один и тот же корень используется с обеих сторон равенства (где это возможно), равенство сохраняется.
В отличие от предыдущего случая, здесь вы должны быть осторожны с четностью используемого корня, поскольку хорошо известно, что четный корень из отрицательного числа определен нечетко.
Если радикал четный, то проблем нет. Например, если x3=-8, даже если они равны, вы не можете взять квадратный корень из обеих сторон, например. Но если вы можете использовать кубический корень (что даже более удобно, если вы хотите явно узнать значение x), вы получите x = -2.
Замещающая собственность
Если мы знаем значение математического объекта, свойство подстановки говорит о том, что это значение можно подставить в любое уравнение или выражение. Например, если b = 5 и a = bx, а затем подставить значение «b» во второе уравнение, мы получим, что a = 5x.
Другой пример: если «m» делит «n», а также «n» делит «m», то должно получиться m = n.
Действительно, утверждение, что «m» делит «n» (или, что то же самое, «m» является делителем «n»), означает, что деление m ÷ n является точным; то есть деление «m» на «n» дает целое число, а не десятичную дробь. Это можно выразить, сказав, что существует целое число «k», такое что m = k × n.
Поскольку «n» также делит «m», то существует целое число «p», такое что n = p × m. Благодаря свойству подстановки мы имеем, что n = p × k × n, и для этого есть две возможности. : n = 0, и в этом случае мы будем иметь тождество 0 = 0; или p × k = 1, из чего было бы тождество n = n.
Предположим, что «n» не равно нулю. Тогда обязательно p × k = 1; следовательно, p = 1 и k = 1. Снова используя свойство подстановки, подставляя k = 1 в m = k × n (или, что то же самое, p = 1 в n = p × m), мы, наконец, получаем, что m = n, что и мы хотели продемонстрировать.
Двойные, тройные и так далее равенства
Наряду со стандартной записью равенства, пример которой мы приводили выше, часто составляются также так называемые двойные равенства, тройные равенства и т д. Такие обозначения представляют собой, так сказать, цепочку равенств. Например, запись 2+2+2=4+2=6 является двойным равенством, а |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| — пример каждого гендерного равенства.
С помощью таких цепочек сходства оптимально составлять сходство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением сходства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку сходства.
Например, написанное выше двойное равенство 2+2+2=4+2=6 указывает на равенства: 2+2+2=4+2, и 4+2=6, и 2+2+2=6, и в силу свойства симметричности равенств и 4+2=2+2+2, и 6=4+2, и 6=2+2+2.
Составляя такие цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится понятным и отражает все промежуточные этапы вычислений.
Свойства числовых равенств
Что такое равенство? Изучение этого понятия требует знания свойств числовых тождеств. Следующие текстовые формулы позволят вам лучше изучить эту тему. Конечно, эти качества больше подходят для изучения математики в средней школе.
1. Численное равенство не будет нарушено, если к существующему выражению в обеих частях добавить одно и то же число.
А = В ↔ А + 5 = В + 5
2. Уравнение не нарушится, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число или выражение, отличное от нуля.
R = О ↔ R∙ 5 = О ∙ 5
Р = О ↔ Р: 5 = О: 5
3. Добавляя к обеим частям тождества одну и ту же функцию, имеющую смысл для всех допустимых значений переменной, мы получаем новое равенство, соответствующее исходному.
F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) + R(X) = Ψ(X) + R(X)
4. Любой термин или выражение можно перевести в другую сторону от знака равенства, при этом необходимо поменять знаки на противоположные.
Х + 5 = У — 20 ↔ Х = У — 20 — 5 ↔ Х = У — 25
5. Умножая или деля обе части уравнения на одну и ту же ненулевую функцию, имеющую смысл при каждом значении Х из ОДЗ, получаем новое уравнение, эквивалентное исходному.
F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) ∙ R(X) = Ψ(X) ∙ R(X)
F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) : G(X) = Ψ(X) : G(X)
Приведенные выше правила прямо указывают на принцип равенства, который существует при определенных условиях.
Понятие пропорции
В математике есть такое понятие, как равенство в отношениях. В этом случае подразумевается определение пропорции. Если разделить А на В, то получится отношение числа А к числу В. Пропорция есть равенство двух отношений:
Иногда пропорцию записывают так: A : B = C : D. Отсюда следует основное свойство пропорции: A * D = D * C, где A и D — крайние члены пропорции, а B и С – средние.
Тождества
Тождество — это равенство, которое будет истинным для всех допустимых значений переменных, входящих в задачу. Тождества могут быть представлены как буквальное или числовое сходство.
Равенства — это выражения, содержащие неизвестную переменную в обеих частях равенства, которые способны приравнять две части целого.
Если заменить одно выражение другим, которое будет ему равно, то речь идет об тождественном преобразовании. В этом случае можно использовать формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.
Чтобы уменьшить дробь, необходимо произвести идентичные преобразования. Например, дана дробь. Для получения результата следует использовать формулы сокращенного умножения, факторизации, упрощения выражений и сокращения дробей.
Следует отметить, что это выражение будет идентичным, когда знаменатель не равен 3.
5 способов доказать тождество
Чтобы доказать тождество равенства, необходимо преобразовать выражения.
Я так
Необходимо произвести соответствующие преобразования в левой части. В результате получается правая часть, и можно сказать, что тождество доказано.
II дорога
Все операции по преобразованию выражения происходят в правой части. Результат проделанных манипуляций – левая сторона. Если обе части идентичны, идентичность доказана.
III способ
«Преобразования» происходят в обеих частях выражения. Если результат равен двум равным частям, тождество доказано.
IV метод
Правая часть вычитается из левой. В результате эквивалентных преобразований должен получиться ноль. Тогда можно говорить о тождестве выражения.
5 способ
Левая часть вычитается из правой. Все эквивалентные преобразования сокращаются до тех пор, пока ответ не будет равен нулю. Только в этом случае можно говорить о тождестве равенства.
Основные свойства тождеств
В математике свойства подобия часто используются для ускорения процесса вычислений. Из-за основных алгебраических тождеств процесс вычисления некоторых выражений займет несколько минут вместо долгих часов.
- Х + У = У + Х
- Х + (У + С) = (Х + У) + С
- Х + 0 = Х
- Х + (-Х) = 0
- Х ∙ (У + С) = Х ∙ У + Х ∙ С
- Х ∙ (У — С) = Х ∙ У — Х ∙ С
- (X + Y) ∙ (C + E) = X ∙ C + X ∙ E + Y ∙ C + Y ∙ E
- Х + (У + С) = Х + У + С
- Х + (У — С) = Х + У — С
- Х — (У + С) = Х — У — С
- Х — (У — С) = Х — У + С
- Х ∙ Y = Y ∙ Х
- Х ∙ (У ∙ С) = (Х ∙ У) ∙ С
- Х ∙ 1 = Х
- Х ∙ 1/Х = 1, где Х ≠ 0
Формулы сокращенного умножения
По своей сути формулы сокращенного умножения являются уравнениями. Они помогают решать многие задачи по математике благодаря своей простоте и удобству использования.
- (A + B)2 = A2 + 2∙A∙B + B2 — квадрат суммы пары чисел;
- (A — B)2 = A2 — 2∙A∙B + B2 — квадрат разности пары чисел;
- (С + В) ∙ (С — В) = С2 — В2 — разность квадратов;
- (А+В)3=А3+3∙А2∙В+3∙А∙В2+В3 — куб суммы;
- (A – B)3 = A3 – 3∙A2∙B + 3∙A∙B2 – B3 – куб разности;
- (P+B)∙(P2 — P∙B+B2) = P3+B3 — сумма игральных костей;
- (П — В) ∙ (П2 + П ∙ В + В2) = П3 — В3 — разница костей.
Формулы сокращенного умножения часто используют, если необходимо привести многочлен к обычному виду, всячески упрощая его. Представленные формулы легко доказываются: достаточно раскрыть скобки и привести подобные члены.
Уравнения
Изучив вопрос, что такое равенство, можно перейти к следующему пункту: что такое уравнение. Уравнение – это равенство, в котором есть неизвестные величины. Решение уравнения состоит в том, чтобы найти все значения переменной, при которых обе части всего выражения будут равны. Также есть задачи, где невозможно найти решения уравнения. В этом случае говорят, что корней нет.
Как правило, решения дают подобия с неизвестными целыми числами. Однако бывают случаи, когда корнем является вектор, функция и другие объекты.
Уравнение — одно из важнейших понятий в математике. Большинство научных и практических задач не позволяют измерить или вычислить какую-либо величину. Поэтому необходимо выработать соотношение, которое будет удовлетворять всем условиям поставленной задачи. В процессе составления такой зависимости возникает уравнение или система уравнений.
Обычно решение уравнения с неизвестным сводится к преобразованию сложного уравнения и приведению его к простым формам. Необходимо помнить, что преобразования необходимо выполнять по отношению к обеим частям, иначе на выходе будет неверный результат.
4 способа решить уравнение
Под решением уравнения понимают замену данного равенства другим, которое соответствует первому. Такая замена известна как тождественное преобразование. Для решения уравнения необходимо воспользоваться одним из способов.
1. Одно выражение заменяется другим, которое обязательно будет тождественно первому. Пример: (3∙x+3)2=15∙x+10. Это выражение можно преобразовать в 9∙x2+18∙x+9=15∙x+10.
2. Перенос условий равенства с неизвестным с одной стороны на другую. В этом случае необходимо правильно менять знаки. Малейшая ошибка разрушит всю проделанную работу. Возьмем для примера предыдущий «пример».
9∙х2 + 12∙х + 4 = 15∙х + 10
9∙х2 + 12∙х + 4 — 15∙х — 10 = 0
9∙х2 — 3∙х — 6 = 0
Затем уравнение решается с помощью дискриминанта.
3. Умножить обе части равенства на равное число или выражение, не равное 0. Однако стоит помнить, что если новое уравнение не эквивалентно равенству до преобразований, то количество корней может существенно измениться.
4. Возведите в квадрат обе части уравнения. Этот способ просто удивителен, особенно когда в равенстве стоят иррациональные выражения, то есть корень квадратный и выражение ниже. Есть один нюанс: если возводить уравнение в четную силу, могут появиться посторонние корни, которые исказят суть проблемы. А при неправильном извлечении рута смысл вопроса в задаче будет неясен. Пример: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 и 2) – 7∙х = 35 → уравнение будет решено правильно.
Поэтому в этой статье упоминаются такие понятия, как уравнения и тождества. Все они происходят от термина «равенство». Благодаря разным типам эквивалентных выражений решение некоторых задач значительно упрощается.
Как не запутаться в знаке неравенства
Чтобы не запутаться, в какую сторону ставить знак неравенства, можно представить клюв птицы. «Клюв» должен быть обращен к числу, которое меньше. Проще говоря, чем больше так сказать «кирок», тем меньше.
Другой способ — использовать точки. Две точки ставятся вертикально возле самого большого числа, а одна посередине возле самого маленького. Затем просто соединяем полученные точки и получаем знак неравенства.
Решаем задания
Задание 1
Давайте разберем некоторые задачи на основе того, что мы узнали:
Правильные ответы будут:
4>3 3<4 5>2 3<5 1+2=3 5-3=2
Задание 2
Теперь попробуем найти неправильные неравенства:
Правильные ответы будут:
4+1=5 — верно
3-1<1 — ошибка
4<2 — неправильно, будет правильно 4>2
3>4 — неправильно, правильно будет 3<4
5-1=3 – неправильно, правильно было бы 5-1=4
2+1=3 — верно
Задание 3
Здесь нам даются карточки, на которые мы должны поставить правильный знак.
Получается следующее выражение:
3+1=4
5-1=4
4>3
2<4
5>1
3>2
1<4
5>3
Задание 4
Последнее задание практическое и самое интересное.
Нам предстоит ответить на вопросы, у кого из ребят больше монет, а у кого больше денег.
Сначала посчитаем количество монет: у Миши 1 монета, а у Коли 2, значит, у Коли больше монет. Запишем это в виде неравенства: 1<2.
Теперь давайте узнаем, у кого из ребят больше денег. У Миши всего одна монета достоинством 5 рублей. Здесь все просто.
Но у Коли есть две монеты в 1 и 2 рубля. Подсчитаем, сколько всего денег у Коли: 1 + 2 = 3. Получается, что у Коли 3 рубля.
Теперь мы знаем, что у Миши 5 рублей, а у Коли 3 рубля. Так что у Миши денег больше, чем у Коли. Запишем это в виде неравенства: 5>2+1.