Порядок действий в Математике

Основные операции в математике

Основные операции, используемые в математике, это сложение, вычитание, умножение и деление. В дополнение к этим операциям существуют также относительные операции, например, равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• дополнение (+);
• вычитание (-);
• умножение (*);
• разделение (:).

Реляционные операции:

• равно (=);
• больше (>);
• меньше чем (<);
• больше или равно (≥);
• меньше или равно (≤);
• не равно (≠).

Сложение — это операция, объединяющая два слагаемых.

• Введение в сложение: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание противоположно сложению.

• Обозначение вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность равна 9, прибавив к вычитаемой 1, то уменьшаемое будет 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — это арифметическая операция в виде краткого представления суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множитель, 4 — множитель, 12 — произведение.

  

• 3×4 = 3+3+3+3, то есть число 3 прибавляется 4 раза к самому себе.

  

Если множитель и множитель поменять местами, произведение останется прежним. Например: 5 × 2 = 5 + 5 = 10 и 2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называются факторами.

Деление — это арифметическое действие, обратное умножению.

• Запись: 30: 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

  

В этом случае произведение делителя 6 на частное 5 дает в качестве теста делимое 30.

Сложение и вычитание, умножение и деление попарно представляют собой инверсию друг друга. А теперь давайте узнаем, в каком порядке выполняются арифметические действия.

Читайте также: Что такое показательная функция: определение, формула, свойства, график

Порядок вычисления простых выражений

Существует четкое правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются в порядке слева направо
• сначала выполняются умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Из этого правила становится понятнее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, приходится разбирать каждый пример и выбирать решение самостоятельно.

Что первично, умножение или деление? — По порядку слева направо. Сначала умножение или сложение? Умножь и прибавь.

Порядок действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято писать слева направо. А необходимость сначала умножать или делить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить расчет: 11 − 2 + 5.

Как мы решаем:

В нашем выражении нет умножения, деления и скобок, поэтому все операции выполняем слева направо. Сначала вычтите два из одиннадцати:

11 — 2 = 9

Затем прибавляем к результату пять, и в итоге получаем четырнадцать:

9 + 5 = 14

Вот полное решение: 11 − 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Ответ: 14.

Пример 2. В каком порядке следует производить вычисления в выражении: 10 : 2 × 7 : 5?

Как мы спорим:

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление, а значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала делим десять на два:

10 : 2 = 5

Теперь умножьте результат на семь:

5 х 7 = 35

И полученное число делится на пять:

35 : 5 = 7

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 × 7 : 5 = 5 × 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Ответ: 7.

Пока не известны новые знания, чтобы не путать последовательность действий при вычислении значения выражения, числа удобно ставить над знаками арифметических действий, соответствующих порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример с действиями:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических операций на операции первого и второго этапа.

• Операции первой ступени называются сложением и вычитанием, а умножение и деление — операциями второй ступени.

С этими условиями правило для определения порядка, в котором выполняются действия:

Если выражение не содержит скобок, сначала выполняются операции второго шага (умножение и деление) в порядке слева направо, затем действия первого шага (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать круглые скобки, обозначающие порядок выполнения математических операций, в этом случае действует правило:

Сначала выполните действия в скобках, при этом умножая и деля по порядку слева направо, а затем сложите и вычтите.

Выражения в скобках рассматриваются как компоненты исходного выражения. Они сохраняют уже известную нам последовательность действий.

Рассмотрим последовательность действий на примерах со скобками.

Пример 1 Вычислить: 10 + (8 − 2 × 3) × (12 −​​​​​​​​4): 2.

Как правильно решить пример:

Во-первых, давайте определимся с планом действий. Выражение содержит скобки, поэтому мы сначала выполним действия над выражениями, заключенными в эти скобки.

Что первично, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание.

Итак, мы определили первые три действия:

Когда все действия в скобках выполнены, по правилу надо выполнить умножение и деление, и, наконец, сложение. Теперь мы знаем, в каком порядке решать пример:

Осталось решить пример с действиями:

1. 2 х 3 = 6
2. 8 — 6 = 2
3. 12 — 4 = 8
4. 2 х 8 = 16
5. 16 : 2 = 8
6. 10 + 8 = 18

На этом все действия завершены.

Ответ: 10 + (7 — 2 × 3) × (12 — 4): 2 = 18.

Вы можете встретить выражения, содержащие скобки внутри скобок. Для их решения необходимо последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и переходить к внешним. Покажем пример.

Пример 2. Выполните действия над выражением: 9 + (5 + 1 + 4 × (2 + 3)).

Как мы решаем:

Сначала определим процедуру

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий должно начинаться с выражения в скобках, то есть с 5+1+4×(2+3). Но это выражение также содержит круглые скобки, поэтому сначала начнем с действий внутри них:

Теперь давайте перейдем к выражению во внешних скобках. Первой операцией по правилу будет умножение, а затем слева направо — две операции сложения:

И последний шаг — выполнить сложение:

Рассчитываем по действиям:

1. 2 + 3 = 5
2. 4 х 5 = 20
3. 5 + 1 = 6
4. 6 + 20 = 26
5. 9 + 26 = 35

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 × (2 + 3)) = 35.

Порядок действий без скобок

Установленный порядок арифметических операций без скобок:

1. Если выражение содержит только операции сложения и вычитания, то они выполняются в следующем порядке — слева направо:
2. Если выражение содержит только операции умножения и деления, то операции выполняются в следующем порядке — слева направо:
3. Если выражение содержит как умножение и деление, так и сложение и вычитание, то сначала умножение и деление выполняются в их порядке (слева направо), а затем сложение и вычитание выполняются в их порядке (слева направо):

Порядок действий со скобками

Если выражение содержит скобки, сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем выполняются все действия вне скобок.

В числовых выражениях со скобками порядок арифметических операций такой же, как и в выражениях без скобок.

Скобки используются для обозначения действий, которые должны быть выполнены в первую очередь. Скобки не влияют на порядок других действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.

Правило раскрытия скобок при сложении

Определение 1

Расширение скобок — это удаление скобок из выражений и изменение порядка вычисления.

Существует 4 правила открытия круглых скобок, когда:

• добавление;
• вычитание;
• умножение;
• разделение.

Правило раскрытия скобок при сложении.

При раскрытии скобок в выражении используется ассоциативное сложение свойства, которое гласит:

Правило 1

Если вам нужно прибавить к числу сумму двух чисел, вы можете прибавить к этому числу первое слагаемое, а затем второе.

а + (б + с) = а + б + с

При использовании этого свойства соблюдайте следующее правило раскрытия скобок:

Если скобкам предшествует знак «+», все числа в скобках сохраняют свой знак.

а + (б + с) = а + б + с

а + (б — с) = а + б — с

а + (-b + с) = а — б + с

а + (-b — с) = а — б — с

То же правило применяется, когда в выражении встречаются две или более круглых скобок.

а + (b — c) + d + (-f) = a + b — c + d — f

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит знак «-», знаки терминов должны меняться местами при их раскрытии.

а — (б + с) = а — б — с

а — (б — в) = а — б + в

а — (-b + с) = а + b — с

а — (-b — с) = а + b + с

Примечание 1

Отсутствие знака в скобках перед первым абзацем означает, что он положительный, а при раскрытии скобок становится отрицательным.

Решение таких примеров состоит из следующих действий:

• скобки раскрыты;
• знак каждого члена меняется на противоположный.

х — (у + z) = х — у — z;

м — (-н — р) = м + н + р;

Случаи, когда выражение содержит сложение и вычитание скобок.

10а + (19б — 34в) — 50 — (м + н)

В данном примере скобки раскрываются по алгоритму:

• правило сложения применяется к первой скобке;
• вторая скобка расширяется по правилу вычитания.

10а + 19б — 34 в — 50 — м — н

Раскрытие скобок в сложных выражениях.

Определение 2

Сложное выражение — это выражение, в котором используются круглые скобки и знаки деления/умножения.

Раскрытие скобок при умножении

Действия по раскрытию скобок при умножении основаны на работе дистрибутивного или ассоциативного свойства умножения.

Применение того или иного свойства умножения зависит от действия в скобках. Если есть сложение или вычитание, работает распределительное свойство. При умножении или делении используется свойство ассоциативности.

1. Открывающие скобки в соответствии со свойством распределения.

При добавлении:

Правило 2

Чтобы умножить сумму на число, умножьте каждый член на это число и сложите результаты.

а ∙ (б + с) = аб + ас

(а + б) ∙ с = ​​ас + Ьс

При вычитании:

Правило 3

Чтобы умножить разность на число, умножьте на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое и из первого произведения вычтите второе.

а ∙ (б — в) = аб — ас

(а – б) ∙ с = ​​ас – bc

Заметка 2

В математике для сокращения записей знак умножения не ставится перед числом и скобками.

Если общий множитель имеет отрицательное значение, все значения в скобках умножаются на (–1) и меняются местами:

-х(у + г) = -ху — хг

-х(у — г) = -ху + хг

2. Открывающие скобки по свойству ассоциативности:

Правило 4

Произведение трех и более факторов не изменится, если эту группу факторов заменить их произведением.

(а ∙ б) ∙ с = ​​а ∙ б ∙ с

(б ∙ в ∙ г) ∙ а = б ∙ в ∙ д ∙ а

В случае, если умножение выполняется в скобках, раскрытие происходит как при сложении — скобки просто раскрываются и перемножаются все значения:

а ∙ (б ∙ с) = а ∙ б ∙ с

(б ∙ в) ∙ а = б ∙ с ∙ а

Заметка 3

При раскрытии скобок необходимо учитывать правило знака.

При умножении:

(+) · (+) = (+)

(+) · (-) = (-)

(-) · (+) = (-)

(-) · (-) = (+)

При совместном использовании:

(+) : (+) = (+)

(+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)

(-) : (-) = (+)

При делении в скобках расширение происходит следующим образом:

Если общий множитель стоит перед скобками, то:

• общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе число:

а ⋅ (б : с) = а ⋅ б : с;

• или общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое число:

а ⋅ (б : с) = а : с ⋅ б.

Если общий множитель стоит после скобок, то:

• общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе:

(а : б) ⋅с = с ⋅ а : б;

• общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое:

(а : б) ⋅ с = с : б ⋅ а.

Скобка на скобку

Если вы хотите перемножить несколько скобок вместе, умножьте каждый элемент первой скобки на каждый член второй скобки:

(a + b) ⋅ (c — d) = a ⋅ (c — d) + b ⋅ (c — d) = ac — ad + bc — bd

Алгоритм действий при открытии скобки для скобки:

1. Первая скобка раскрывается, каждое из слагаемых умножается на вторую скобку.
2. Число умножается на скобки, даются аналогичные термины.

(5х + 7) ⋅ (10х — 2) =

5 х (10 х — 2) + 7 (10 х — 2) =

50x² — 10x + 70x — 14 =

50x² + 60 — 14

Скобка в скобке

В математике могут быть примеры, когда одни скобки заключаются в другие скобки.

Алгоритм действий такого типа примера:

1. Каждая скобка раскрывается последовательно, начиная с внутренней.
2. Скобки раскрываются в соответствии с принятыми правилами раскрытия скобок при сложении, вычитании, умножении и делении.
3. Аналогичные термины даны для дальнейшего решения математического выражения или уравнения

8x + y(4 — (2x — y)) = 8x + y(4 — 2x + y) = 8x + 4y — 2xy + y²

Раскрытие скобок при делении

1. Случаи, когда сложение или вычитание выполняется в круглых скобках.

Правило 5

Если знак деления стоит после скобок, то каждое число в скобках делится на делитель, стоящий после скобок:

(а + b): с = а: с + b: с;

(а — б): с = а: с — б: с.

Если перед скобками стоит знак деления, делимое делится на каждое число в скобках:

с: (а + Ь) = с: а + с: Ь;

с : (а — б) = с : а — с : б.

1. Если умножение выполняется в скобках, то:

Если знак деления стоит перед скобкой:

• делимое делится на первое число в скобках и делится на второе:

а : (б ⋅ с) = а : б : с;

• либо делимое делится на второе число в скобках, а затем делится на первое:

а : (б ⋅ с) = а : с : б.

Если знак деления стоит после скобки:

• первое число в скобках делится на делитель и умножается на второе:

(б ⋅ с): а = (б : а) ⋅ с ;

• или второе число в скобках делится на делитель и умножается на первое:

(б ⋅ с) : а знак равно (с : а) ⋅ б .

Если деление выполняется в круглых скобках:

• делимое делится на первое число в скобках и умножается на второе:

а : (б : с) = а : б ⋅ с;

• первое число в скобках делится на делитель и делится на второе число:

(б : в) : а = б : с : а.

Не забывайте, что при раскрытии скобок необходимо учитывать правило символов, описанное выше:

При умножении:

(+) · (+) = (+)

(+) · (-) = (-)

(-) · (+) = (-)

(-) · (-) = (+)

При совместном использовании:

(+) : (+) = (+)

(+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)

(-) : (-) = (+)

Дробная черта

Дробную черту в выражении можно заменить знаком деления, в этом случае все, что было выше и ниже дробной черты, необходимо заключить в круглые скобки. Например:

13+2	= (13 + 2): (10 — 7).
10 — 7

Знак деления в выражении может быть заменен дробной косой чертой только в том случае, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение:

20: 4(2+3)

не может быть заменен на

20	,
4(2+3)

потому что такая замена нарушила бы порядок операций в этом выражении.

<td> ;

20: 4(2+3) ≠	20
4(2+3)

 

20	= 20: (4(2 + 3)).
4(2+3)

 

Дробная черта в выражении заменяет скобки и означает, что необходимо вычислить отдельно выражение в числителе и отдельно выражение в знаменателе, и разделить первый результат на второй.

Правила выполнения действий для примеров с буквенными составляющими

Когда в выражении есть буквы, применяется тот же порядок вычисления:

1. выполнять умножение и деление;
2. выполнять сложение и вычитание.

Пример 4

Условие: необходимо вычислить выражение 5х+3х — 1х.

Подход:

1. выполнять прибавления;
2. сделать вычитание.

Решение:

• добавить 5x и 3x (5x + 3x = 8x);
• вычесть 1x (8x — 1x = 7x).

В общем случае решение выглядит так: 5х + 3х — 1 = 8х — 1х = 7х

Ответ: 5х + 3х — 1х = 7х

Процедура упрощения

Если пример содержит числовое или буквальное выражение в круглых скобках, которое необходимо возвести в степень, необходимо соблюдать следующие правила:

1. Во-первых, мы делаем все расчеты внутри скобок.
2. Далее мы оцениваем все скобки слева направо (от начала до конца примера).
3. Все остальное делаем как обычно.

Пример 9

Условие: необходимо вычислить значение выражения 2³ ⋅ (4² − 12).

Расчеты выполняем в соответствии с порядком арифметических действий:

1. вычислить значение в скобках;
2. сделать умножение.

Решение:

4² — 12 = 16 — 12 = 4

2³ ⋅ 4 = 8 ⋅ 4 = 32

Ответ: 2³ ⋅ (4² − 12) = 32

Порядок выполнения действий в сложных выражениях

Числовые и переменные примеры могут содержать символы для различных арифметических операций. При преобразовании и вычислении значений таких примеров все шаги выполняются в определенном порядке, который необходимо соблюдать.

Рассмотрим пример.

Пример 10

Вычислите значение 5 + (7 — 2 3) (6 — 4): 2.

Пример содержит круглые скобки, поэтому давайте сначала выполним операции внутри этих круглых скобок.

1. Начнем решение с выражения 7 − 2 3. В нем нужно сначала умножить, а затем вычесть: 7 − 2 3 = 7 − 6 = 1.
2. Переходим ко второму выражению в скобках 6 — 4. Здесь только одна операция — вычитание: 6−4 = 2.
3. Подставляем полученные значения в исходное выражение:

5 + (7 — 2 3) (6 — 4) : 2 = 5 + 1 2 : 2.

В полученном значении сначала выполняем умножение и деление слева направо, а затем вычитание:

5 + 1 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6.

Все сделано, мы сохранили следующий порядок их выполнения: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2.

Короткое решение: 5 + (7 — 2 3) (6 — 4) : 2 = 5 + 1 2 : 2 = 5 + 1 = 6.

Ответ: 5 + (7 — 2 3) (6 — 4): 2 = 6

Если учащийся затрудняется выполнить последовательность арифметических действий, необходимо потренироваться на простейших примерах, содержащих только сложение и вычитание. Только после этого можно переходить к выражениям с умножением и делением.

Только освоив правила выполнения действий для простейших арифметических задач, можно приступать к расчету более сложных примеров со скобками.

Вычисление выражений, содержащих несколько скобок, возведения в степень или буквенные значения, будет доступно только после того, как учащийся легко справится с простыми примерами.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас есть выражение в условии степени, корня, логарифма или тригонометрической функции (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) или других функций, то мы сначала вычисляем значение функции. После этого действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Другими словами, функции так же важны, как и выражение в скобках.

Рассмотрим пример такого расчета.

Пример 6

Условие: найдите, сколько станет (3+1) 2+62:3−7.

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которой нужно найти в первую очередь. Считаем: 62=36. Теперь подставим результат в выражение, после чего оно будет иметь вид (3+1)2+36:3−7.

Далее действуем по известному алгоритму: считаем, сколько получится в скобках, затем в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а затем сложение и вычитание (сложение и вычитание).

(3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13

Ответ: (3+1) 2+62:3−7=13.