Позиционные системы счисления: десятичная, двоичная, таблица перевода чисел

Виды

Существуют различные типы СС:

1. Непозиционный. В них его значение не зависит от его положения.
2. Позиционно. «Исход» зависит от того, как именно расположен тот или иной компонент.
3. Однородный.
4. Неоднородный.

Каждый вариант имеет свои ключевые особенности.

Позиционный тип

Здесь значение каждой цифры будет зависеть от цифры в номере. Пример — 10-й СС известен человеку. Она позиционно определена. 453 считается примером. Здесь 4 — сотни, обозначающие 400, 5 — десятки (50), 3 — единицы (3). Чем больше число, тем выше будет значение.

Непозиционный тип

Самая старая версия. Каждый компонент представляет собой отдельное значение. Это не зависит от категории. В программировании не используется, поэтому рассматривать его более подробно не рекомендуется.

Однородный тип

Однородный вариант — это такой, в котором набор допустимых символов для всех позиций в номере будет одинаковым. Примером является десятичная система. Чтобы написать элемент, вы можете использовать только одну цифру в каждой цифре. А именно от 0 до 9. Запись 450 разрешена (1 цифра — 0, 2 — 5, 3. — 4), а 4F5 — нет.

Смешанный тип

Это позволяет другой набор других позиций в каждой категории. Примером является измерение времени:

• в секундах — 60 символов;
• в часах — 24;
• в сутки — 365.

Теперь мы можем оценить, какие СС чаще всего встречаются в информатике.

Читайте также: Самые длинные реки в мире: Топ-10 крупнейших

Системы счисления в информатике

В информатике принято различать четыре основные системы счисления: двоичную, восьмеричную, десятичную, шестнадцатеричную. В первую очередь это связано с их использованием в различных отраслях программирования.

Таким образом, восьмеричная система необходима для преобразования в двоичные числа на цифровых устройствах и в документации данных. Позже он был заменен шестнадцатеричным, который используется для записи символов Unicode. Однако восьмеричный код по-прежнему используется в системе Linux. Наиболее распространенной системой является двоичная, которая используется при программировании почти всех компьютеров.

Двоичная система счисления: основание – 2

Используется в дискретной математике, информатике и программировании. Содержит всего две цифры – 0 и 1. Число, записанное в этой системе, обозначается буквой В на конце (приставкой).

Примеры:

• 101012 = 10101B = 1×24+0x23+1×22+0x21+1×20 = 16+4+1= 21
• 101112 = 10111B = 1×24+0x23+1×22+1×21+1×20 = 16+4+2+1= 23
• 1000112 = 100011B = 1×25+0x24+0x23+0x22+1×21+1×20 =32+2+1= 35

Восьмеричная система счисления: основание – 8

для записи числа используются восемь цифр — от 0 до 7.

Примеры:

• 278 = 2х81+7х80 = 16+7 = 23
• 308 = 3×81+0x80 = 24
• 43078 = 4×83+3×82+0x81+7×80= 2247

Десятичная система счисления: основание -10

Самая распространенная система, применяемая повсеместно. Содержит числа от 0 до 9.

Пример:

253810 = 2х103+5х102+3х101+8х100

Шестнадцатеричная система счисления: основание – 16

Используются цифры от 0 до 9, а также буквы от A до F. Для ввода цифр используется префикс H. Система используется в информатике и программировании.

Примеры:

• 2816 = 28H = 2×161+8×160 = 40
• 2F16 = 2FH = 2×161+15×160 = 47
• BC1216 = BC12H = 11×163+12×162+1×161+2×160= 48146

Таблица соответствия чисел систем счисления

система» data-order=»Двоичный система» стиль = «минимальная ширина: 24,6711%»; ширина:24,6711%;»>Двоичный система	система» data-order=»восьмеричный система» стиль = «минимальная ширина: 24,1776%»; ширина:24,1776%;»>восьмеричная система	система» data-order=»Десятичный система» стиль = «минимальная ширина: 22,2039%; ширина:22,2039%;»>Десятичный система	система» data-order=»Шестнадцатеричный система» стиль = «минимальная ширина: 28,9474%»; ширина:28,9474%;»>Шестнадцатеричный система
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	1
11	1011	1. 3	Б
12	1100	14	С
1. 3	1101	15	Д
14	1110	16	Е
15	1111	17	Ф
16	10 000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	1. 3
20	10100	24	14
21	10101	25	15
22	10110	26	16
23	10111	27	17
24	11000	30	18
25	11001	31	19
26	11010	32	1А
27	11011	33	1Б
28	11100	34	1С
29	11101	35	1D
30	11110	36	1Э
31	11111	37	1эт
32	100 000	40	20

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Ряд систем счисления, существовавших ранее и используемых в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые для записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления обозначаемое им значение не зависит от положения цифры в записи числа. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

В позиционных системах счисления значение, обозначаемое цифрой в записи числа, зависит от позиции. Количество используемых цифр называется основой системы счисления. Позиция каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на принципе положения, — шестидесятеричная вавилонская. Числа в нем были двух видов, одни из которых обозначали единицы, другие — десятки.

Однако наиболее распространенной была индийско-арабская десятичная система. Коренные американцы были первыми, кто использовал ноль для обозначения позиционного значения количества в строке чисел. Эта система называется десятичной, потому что в ней десять цифр.

Разницу между позиционной и непозиционной системами счисления проще всего понять, сравнив два числа. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в оцениваемых числах цифры, находящиеся в одной позиции, сравниваются слева направо. Больший разряд соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234 1 меньше 2, поэтому число 234 больше числа 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого является сравнение двух чисел IX и VI. Хотя I меньше V, IX больше VI.

Позиционные системы счисления.

Основа системы нумерации, в которой записывается число, обычно указывается нижним индексом. Например, 5557 — это число, записанное в септальной системе счисления. Если число записывается в десятичной системе, основание обычно не указывается. Основой системы также является число, и мы будем вводить его в обычной десятичной системе. В общем случае число x может быть представлено в базовой p-системе как x = an pn + an – 1 pn–1 + a1 p1 + a0 p0, где an…a0 – цифры в представлении этого числа. Например,

103510=1 103 + 0 102 + 3 101 + 5 100;

10102 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 10.

Наибольший интерес при работе на компьютере представляют системы счисления с основанием 2, 8 и 16. В целом этих систем счисления обычно достаточно для полноценной работы как человека, так и компьютера, но иногда, в силу различных обстоятельств, вам все равно придется обращаться к другим системам счисления, таким как троичная, семеричная или основание 32.

Чтобы оперировать числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно помнить, что они принципиально ничем не отличаются от обычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему не используются другие системы счисления? В основном потому, что в быту люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и больше ничего не требуется. В компьютерах используется двоичная система счисления, так как с числами, записанными в двоичной форме, достаточно легко оперировать.

Часто в информатике используется шестнадцатеричная система, так как запись чисел в ней намного короче, чем запись чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать систему счисления для записи очень больших чисел, например с основанием 50? Для такой системы счисления необходимо 10 обычных цифр плюс 40 цифр, которые соответствовали бы числам от 10 до 49, и вряд ли кто-то захочет работать с этими сорока цифрами. Поэтому в реальной жизни системы счисления с основанием больше 16 практически не используются.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Наиболее распространенными системами счисления являются двоичная, шестнадцатеричная и десятичная. Как связаны представления чисел в разных системах счисления? Существуют разные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую на конкретных примерах.

Предположим, вам нужно преобразовать число 567 из десятичной системы в двоичную. Во-первых, максимальная степень двойки определяется так, чтобы двойка в этой степени была меньше или равна исходному числу. В данном случае это 9, потому что 29 = 512, а 210 = 1024, что больше исходного числа. Таким образом получается количество цифр в результате, оно равно 9+1=10, поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо x можно использовать все двоичные цифры. Вторая цифра в результате находится следующим образом — двойка возводится в степень 9 и вычитается из исходного числа: 567 — 29 = 55. Остаток сравнивается с числом 28 = 256. Так как 55 меньше 256, то это девятая цифра ноль, т.е результат имеет вид 10ххххххххххх. Рассмотрим восьмую категорию. Так как 27 = 128 > 55, то оно тоже будет равно нулю.

Седьмая цифра также оказывается равной нулю. Искомая двоичная запись числа имеет вид 1000хххххх. 25 = 32 < 55, поэтому шестая цифра равна 1 (результат 10001xxxxxx). Для остальных 55 — 32 = 23 верно неравенство 24 = 16 < 23, а значит, пятая цифра равна единице. Точно так же результатом является число 1000110111. Это число расширяется до степени двойки:

567 = 1 29 + 0 28 + 0 27 + 0 26 + 1 25 + 1 24 + 0 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20

Другой способ перевода чисел — использование операции деления в столбце. Если мы возьмем то же число 567 и разделим его на 2, то получим частное 283 и остаток 1. Та же операция проделывается с числом 283. Частное равно 141, остаток равен 1. Снова полученное частное делится на 2 и так далее, пока частное не станет меньше делителя. Теперь, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, т е. 1, и приписать к нему в обратном порядке все остатки, полученные в процессе деления.

Результат, разумеется, не изменился: 567 в двоичном виде записывается как 1 000 110 111.

Эти два метода полезны при переводе числа из десятичной системы в систему с любым основанием. Например, при преобразовании числа 567 в систему счисления с основанием 16 число сначала разлагается на степени основного числа. Искомое число состоит из трех цифр, потому что 162 = 256 < 567 < 163 = 4096. Определяется старший разряд. 2 162 = 512 < 567 < 3 162 = 768, поэтому искомое число имеет вид 2хх, где х можно заменить любой шестнадцатеричной цифрой. Осталось распределить число 55 (567 — 512) на следующие цифры. 3 16 = 48 < 55 < 4 16 = 64, значит, число 3 стоит во второй цифре. Последняя цифра 7 (55 — 48). Искомое шестнадцатеричное число — 237.

Второй способ заключается в последовательном делении в столбик, с той лишь разницей, что делить нужно не на 2, а на 16, и процесс деления заканчивается, когда частное становится строго меньше 16.

Конечно, чтобы записать число в шестнадцатеричном формате, нужно заменить 10 на А, 11 на В и так далее.

Операция перевода в десятичную систему выглядит гораздо проще, так как любое десятичное число можно представить в виде x = a0 pn + a1 pn–1 +… + an–1 p1 + en p0, где a0 . an – цифры данного числа в системе счисления.

Например, вот как можно перевести число 4A3F в десятичную систему. По определению 4A3F= 4 163 + A 162 + 3 16 + F. Замена A на 10 и F на 15 дает 4 163 + 10 162 + 3 16 + 15 = 19007.

Проще всего перевести числа из двоичной системы в системы с основаниями, равными степеням двойки (8 и 16), и наоборот. Чтобы записать двоичное целое число в системе счисления с основанием 2n, вы должны разделить это двоичное число справа налево на группы по n цифр в каждой; если последняя левая группа содержит менее n цифр, дополнить ее нулями до необходимого количества цифр; рассматривать каждую группу как n-битное двоичное число и заменять его соответствующей цифрой по основанию 2n.

Таблица 1. Двоично-шестнадцатеричная таблица
2	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16	0	1	2	3	4	5	6	7
2	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16	8	9	ОДИН	Б	С	Д	Е	Ф

Таблица 2. ДВОИЧНАЯ ВОСЬМЕРИЧНАЯ ТАБЛИЦА
2	000	001	010	011	100	101	110	111
8	0	1	2	3	4	5	6	7

Знаменитый французский астроном, математик и физик Пьер Симон Лаплас (1749–1827) писал об историческом развитии систем счисления, что «Идея выразить все числа девятью знаками, придав им, кроме значения по форме, еще и значение на месте, настолько прост, что из-за этой простоты трудно понять, насколько он прекрасен.Как трудно было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености, Архимеда и Аполлония , для которого эта мысль осталась скрытой.»

Сравнение десятичной системы счисления с другими позиционными системами позволило математикам и инженерам-конструкторам открыть для себя удивительные возможности современных недесятичных систем счисления, что обеспечило развитие вычислительной техники.

О преобразованиях

При работе с любой системой счисления нужно понимать, как перевести число из одного «варианта» в другой. Эти навыки пригодятся всем, кто планирует углубиться в IT.

В десятичную

Первый вариант — привести любую «систему» ​​к «десятичной форме». Тот, который известен всем пользователям.

Пусть задано число a1a2a3, где основанием является b, тогда вы должны умножить каждую цифру на bn. N будет цифрой. Формула перевода будет такой: (a1a2a3)b=(a1*b2+a2*b1+a3*b0)10.

Из десятичной

Из десятичной системы счисления можно преобразовать число в любое другое. Здесь стоит разделить процесс на образование дробной и целочисленной частей. В противном случае желаемый результат не будет достигнут.

Что касается всего раздела, действовать нужно так:

1. Весь раздел последовательно разбит на основы новой системы. Это делается до тех пор, пока число не станет равным нулю.
2. Полученные остатки и есть номера искомых компонент.
3. Зачисление осуществляется от последнего остатка к первому.

Дробь преобразуется следующим образом:

1. Соответствующий элемент умножается на базу системы, в которую производится перевод.
2. Вся часть разведена.
3. Умножьте дробь на основание новой. Делайте это до тех пор, пока он не станет равным 0.
4. Запишите результат умножения. Делается это в том порядке, который соответствует квитанции.

Пример — 1510 при переводе в восьмеричную систему счисления это 178. Получилось так: 15/8 = 1, остаток — 7, а также 1/8 = 0, остаток 1.

Из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную

Чтобы преобразовать 1 a (число) из двоичной системы в 8, вам нужно:

1. Разделите его на группы по 3 компонента справа налево.
2. Пропущенные биты заполняются ведущими нулями.
3. Преобразуйте каждую группу, умножив цифру на 2n.

Точно так же надо действовать и с шестнадцатеричной системой, но надо разделить компонент на группы по 4 элемента.

Из 8-ой и 16-ой в 2-ю

В случае восьмеричной системы каждая цифра в числе преобразуется в 3-значный двоичный код путем деления на 2. Отсутствующие крайние цифры равны нулю.

Шестнадцатеричная система предусматривает преобразование каждой цифры в двоичную 4-компонентную. Сопровождается делением на 2. Недостающие крайние цифры равны нулю.