Правила сравнения модулей чисел: положительных, отрицательных

Равные и неравные целые числа

сравнение двух чисел приводит к тому, что они либо равны, либо не равны. Возьмем определение.

Определение 1

Два целых числа называются равными, когда их записи полностью совпадают. В противном случае они считаются неравными.

Отдельное место для обсуждения имеет 0 и -0. Противоположный номер -0 и есть 0, в этом случае эти два числа равны.

Определение поможет сравнить данные два числа. Возьмем, к примеру, числа -95 и -95. Их запись пополнение копачает, то есть они наличания условиями. Если взять числа 45 и -6897, то визуально видно, что они различаются и не считаются равными. У них разные знаки.

Если числа равны, это записывается с помощью знака «=». Его позиция находится между цифрами. Если взять числа -45 и -45, то они равны. Запись примечать вид -45=-45. Если числа не равны, то используется знак «≠». Рассмотрим на примере двух чисел: 57 и -69. Эти числа целые, но не равные, так как записи отличаются друг от друга.

При сравнении чисел используется правило числового модуля.

Определение 2

Если два числа имеют одинаковые знаки и их модули равны, то эти два числа считаются равными. В противном случае они называются неравными.

Давайте рассмотрим это определение в качестве примера.

Пример 1

Например, это два числа -709 и -712. Выяснить,высокую ли они.

Очевидно, что числа имеют одинаковый знак, но это не значит, что они равны. Для сравнения используется числовой модуль. По модулю первое число оказалось меньше второго. Они не ограничены ни по модулю, ни без него.

Итак, делаем вывод, что числа не равны.

Рассмотрим еще пример.

Пример 2

Если взять два числа, 11 и 11. Они оба равны. По модулю цифры совпадают. Эти натуральные числа можно считать равными, так как их записи полностью совпадают.

Если мы получаем неравные числа, то необходимо указать, какое из них меньше, а какое больше.

Сравнение произвольных целых чисел с нулем

В предыдущем пункте было замечено, что ноль равен самому себе даже со знаком минус. В таком случае равноправны равенства 0=0 и 0=-0. При сравнении натуральных чисел мы получаем, что все натуральные числа больше нуля. Все положительные целые числа натуральные, поэтому 0 больше.

При сравнении отрицательных чисел с нулем существует другая ситуация. Все числа меньше нуля считаются отрицательными. Отсюда делаем вывод, что любое отрицательное число меньше нуля, ноль равен нулю, а любое целое положительное число больше нуля, правило таково, что ноль больше отрицательных чисел, но меньше всех положительных.

Например, числа 4, 57666, 677848 больше 0, так как они положительные. Отсюда следует, что ноль меньше указанных чисел, так как они отмечены +.

При сравнении отрицательных чисел все по-другому. Число -1 целое и меньше 0, так как оно имеет знак минус. Значит, -50 тоже меньше нуля. Но ноль больше всех чисел со знаком минус.

Приниматься бесплатно значения для записи при помощи знаков менеши или больше, то есть < и >. Такая запись как -24<0 означает, что -24 меньше нуля. Если необходимо записать, что одно число больше другого, используйте знак >, например, 45>0.

Читайте также: Степенная ⭐ функция: определение и основные свойства, как решать, примеры задач, таблица

Сравниваемые целые числа на координатной прямой

Рассмотрим вечерние номера, расположенные на коридантной прямой.

Из рассмотренных выше правил получаем, что на горизонтальной координатной прямой точки, которым соответствуют большие целые числа, то есть они лежат правее тех, которым соответствуют меньшие.

Из чисел -1 и -6 видно, что -6 лежит левее, а значит меньше -1. Точка 2 расположена правее -7, поэтому она больше.

Начало отчета – это ноль. Он выше всех негативов и меньше всех позитивов. Также с точками, расположенными на координатной линии.

Наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целое число

Сравнение двух целых чисел подробно обсуждалось в предыдущих пунктах. В этом разделе мы поговорим о сравнении трех и более чисел, рассмотрим ситуации.

При сравнении трех и более чисел для начала создаются все возможные пары. Например, рассмотрим числа 7, 17, 0 и −2. Сравнивать их нужно по отдельности, тогда запись будет иметь вид 7<17, 7>0, 7>−2, 17>0, 17>−2 и 0>−2. Результаты можно объединить в цепочку неравенств. Запись чемые продукты заразмера. В этом случае цепочка будет иметь вид −2<0<7<17.

При сравнении нескольких чисел появляется определение наибольшего и наименьшего значения числа.

Определение 6

Число данного набора считается наименьшим, если оно меньше любого другого из набора данных чисел.

Определение 7

Число данного набора является наибольшим, если оно больше любого другого из набора данных чисел.

Если набор состоит из 6 целых чисел, запишем его так: −4, −81, −4, 17, 0 и 17. Отсюда следует, что −81<−4=−4<0<17=17. Видно, что -81 – наименьшее число из данного набора, а 17 – самое большое. Это означает, что эти числа являются наибольшими и наименьшими только в данном множестве.

Все числа кратных должны быть записаны в порядке возрастания. Цепочка может быть бесконечной, как в этом случае: …, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … . Ряд данных записывается, как …<−5<−4<−3<−2<−1<0<1<2<3<4<5<… .

очевидно, что множество целых чисел огромно и бесконечно, поэтому указать наименьшее или наибольшее число невозможно. Это можно сделать только в заданном наборе чисел. Число справа от координатной линии всегда считается большим, чем число слева.

Множество позижительных чисел имеет наименьшее натуральное число, равное 1. Нуль считается наименьшим неотрицательным числом. Все числа слева от него отрицательные и меньше 0.

Модуль числа

Модуль для закрытия $|a|$. Вертикальные черточки справа и слева от числа образуют знак модуля.

Например, модуль любого числа (натурального, целого, рационального или иррационального) записывается следующим образом: $|5|$, $|-11|$, $|2,345|$, $|sqrt4{45}|$.

Определение 1

Номер модуля a равен числу a, если a положительное, −a, если a отрицательное, или 0, если a=0.

Это определение числового модуля можно записать следующим образом:

|a|= begin{cases} a, & a > 0, 0, & a=0, -a, &a

Вы можете использовать более короткую запись:

|a|=begin{case} a, & a geq 0 -a, & a

Пример 1

Вычислите номер модуля 23 и -3,45.

Решение.

Найдем модуль вечер 23.

Число 23 – положительное, поэтому по определению модуль положительного числа равен этому числу:

|23|=23.

Найдем модуль месяца –3.45.

Число –3.45 — отрицательное число, поэтому по определению модуль отрицательного числа равен числу, противоположному этому:

|-3,45|=3,45.

Ответ: |23|=23, |-3,45|=3,45.

Определение 2

Модуль числа — это абсолютное значение числа.

Таким образом, номер модуля – это число под знаком модуля без учета его знака.

Модуль числа как расстояние

Геометрическое значение числового модуля: числовой модуль — это расстояние.

Определение 3

Модуль числа a — это расстояние от начальной точки (нуля) на числовой прямой до точки, соответствующей числу $a$.

Пример 2

Например, номер модуля 12 равен 12, т.к расстояние от точки отсчета до точки с координатой 12 равно двенадцати:

|12|=12.

Точка с координатой −8,46 находится от начала расчета на расстоянии 8,46, поэтому |-8,46|=8,46.

Модуль числа как арифметический квадратный корень

Определение 4

Модуль числа a равен арифметическому квадратному корню из a^2:

|а|=sqrt{а^2}.

Пример 3

Вычислите модуль числа –14 с помощью определения модуля числа через квадратный корень.

Решение.

|-14|=sqrt{((-14)^2}=sqrt{(-14) cdot (-14)}=sqrt{14 cdot 14}=sqrt{(14)^2 }=14.

Ответ: |-14|=14.

Правила сравнения модулей

Положительные числа

Модули положительных чисел сравниваются так же, как и действительные числа.

Примеры:

• |6| > |4|
• |15,7| < |9|
• |20| = |20|

Отрицательные числа

1. Если модуль одного из отрицательных чисел меньше другого, то это число больше.
2. Если модуль одного из отрицательных чисел больше другого, то это число меньше.
3. Если модули отрицательных чисел равны, то и эти числа равны.

Примеры:

• |-7| < |-3|
• |-5| > |-14,6|
• |-17| = |-17|

Примечание:

На оси координат наибольшее отрицательное число находится справа от меньшего.

Сравнение чисел с противоположными знаками

Заметка 3

Правило сравнения чисел с противоположными знаками:

Положительное число всегда больше отрицательного числа, а отрицательное число всегда меньше положительного числа.

Пример 5

Сравните целые числа −53 и 8.

Решение.

Числа имеют противоположные знаки. По правилу сравнения чисел с противоположными знаками получаем, что отрицательное число −53 меньше положительного числа 8.

Ответ: −53

Пример 6

Сравните числа 3 frac{11}{13} и –5,(123).

Решение.

По правилу сравнения чисел с противоположными знаками отрицательное число всегда меньше положительного. Следовательно, –5,(123)

Ответ: –5,(123)

По этому правилу можно сравнивать и действительные числа с противоположными знаками.

Если числа заданы как числовые выражения, то сразу невозможно определить, какие у них знаки. В этом случае необходимо вычислить значение этих выражений, а затем определить, какое из правил сравнения можно применить.