Правила вычисления производных

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем перейти к таблице расчета производной, давайте определим производную. В учебнике это выглядит так:

Производная функции есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Простыми словами, производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция изменяется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Поясним на примере: допустим, Маша решила утром сделать зарядку и постоять у стойки. Первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, а со второй недели могла стоять в планке каждый день на 3 секунды дольше. Успех Маши можно описать следующими графиками:

очевидно, что в первую неделю результаты Маши не изменились (т.е были постоянными), темп роста остался нулевым. Если мы посмотрим на таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

у = 10

у’ = 0

На второй неделе время планки с 10 секунд стало увеличиваться на 3 секунды ежедневно.

у = 10 + 3x

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от x равна 1, а также по правилам вычисления производных (c*f(x))’=cf'(x) и (f(x)+g(x)) ‘=f'(x)+g'(x).

у = 10 + 3x

у’ = 0 + 3

у’ = 3

Вот так, используя таблицу производных и элементарную математику, мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 секунды в день.

Это был очень простой пример, объясняющий основы дифференциального исчисления в общих чертах и ​​помогающий понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но понять решение задач, где скорость изменяется нелинейно, конечно, не так просто.

Читайте также: Призма

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для классов 10 и 11 может содержать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому мы приводим стандартную таблицу производных.

Функция F(x

Производная f'(x)

C (т.е константа, любое число)

0

икс

1

хп

nxn-1

√х

1/(2√х)

жаль х

потому что х

потому что х

-грех х

тг х

1/cos2(х)

кТГ х

-1/sin2x

например

например

топор

топор* пер

инкс

1/х

логакс

1/(х * ln а)

Элементарные функции можно складывать, перемножать друг с другом, находить их разность или частное — словом, производить все математические операции. Но для этого есть определенные правила.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование запомните (или запишите в шпаргалку) пять простых формул:

(с ⋅ е)′ = с ⋅ е′

(и + v)′ = и′ + v′

(и — v)’ = и’ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2

При этом u, v, f — функции, а c — константа (любое число).

С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. В частности, вам нужно только запомнить формулы, где нужно разделить одну функцию на другую или умножить их и найти производную результата.

Например: вы хотите найти производную функции y = (5 ⋅ x3).

у′ = (5 ⋅ x3)′

Помните, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 ⋅ x3)’ = 5 ⋅ (x3)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ x3-1 = 15×2

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, не все функции выглядят так, как в таблице выше. Как быть с дифференцированием, например, таких функций: у = (3 + 2х2)4?

Сложная функция — это выражение, в котором одна функция вложена в другую. Производную комплексной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′. Другими словами, вы должны умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.

Пример 1

Найдем производную функции y(x) = (3 + 2×2)4.

Заменим 3 + 2×2 на u и тогда получим y = u4.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций получаем:

y = y’u ⋅ u’x = 4u3 ⋅ u’x

Теперь сделаем обратную подстановку и заменим исходное выражение:

4u3 ⋅ u′x = 4 (3 + 2×2)3 ⋅ (3 + 2×2)′ = 16 (3 + 2×2)3 ⋅ x

Пример 2

Найдем производную функции y = (x3 + 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.

y′ = (x3 + 4)′ ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ cos x ′ = 3×2 ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ (-sin x) = 3×2 ⋅ cos x – (x3 + 4) ⋅ грех х

Правила вычисления производных

Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательства, так как доказательство выходит за рамки школьного курса математики.

Правило 1 (производная произведения числа и функции) справедливое равенство

(ср(х))’ = ср'(х) ,

где с — любое число.

Другими словами, производная произведения числа и функции равна произведению этого числа и производной функции.

Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x),

то есть производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

Правило 3 (производная функциональной разницы). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) — g (x))’ = f’ (x) — g’ (x),

то есть производная разности функций равна разности производных этих функций.

Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f(x)g(x))’ =
=f'(x)g(x) + f(x)g'(x),

Другими словами, производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции.

Правило 5 (производная от частного двух функций). Производная дроби (частное двух функций) вычисляется по формуле

Определение. Рассмотрим функции f(x) и g(x) . Сложная функция или «функция из функции» — это функция вида

е (г (х))

В этом случае функция f(x) называется внешней функцией, а функция g(x) внутренней функцией.

Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

f(g(x))’ = f'(g(x)) g'(x)

Другими словами, чтобы найти производную комплексной функции f(g(x)) в точке x, надо умножить производную внешней функции, вычисленной в точке g(x), на производную внутренней функции , рассчитанный в точке x .

Таблица производных часто встречающихся функций

В следующей таблице приведены формулы для производных степени, показательной (экспоненциальной), логарифмической, тригонометрической и обратной тригонометрической функций. Доказательство большинства этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

Функция	Формула производной	Название формулы
у=с где с — любое число	у’ = 0	Производная постоянной функции
у=хс где с — любое число	у’ = схс — 1	Производная функции мощности
у = бывший	у’ = экс	Производная показателя степени (показательной функции с основанием e)
у = топор где а — любое положительное число, не равное 1	y’ = акс журнал а	Производная показательной функции с основанием a
у = журнал х, х > 0	, х > 0	Производная натурального логарифма
у = журнал а х , х > 0 где а — любое положительное число, не равное 1	, х > 0	Производная логарифма основания a
у = грех х	у’ = потому что х	Синусоидальная производная
у = потому что х	у’ = -sin х	Производная косинуса
у = тг х ,	,	Касательная производная
у = ктг х ,	,	Производная котангенса
у = арксинух х ,		Производная арксинуса
y = дуга cos x ,		Производная арккосинуса
у = арктангенс х		Производная арктангенса
у = дуга х		Производная арктангенса

Производная постоянной функции

Функция: у=с где с — любое число Формула производной: у’ = 0

Производная функции мощности

Функция: у=хс где с — любое число Формула производной: у’ = схс — 1

Производная показателя степени (показательной функции с основанием e)

Функция: у = бывший Формула производной: у’ = экс

Производная показательной функции с основанием a

Функция: у = топор где а — любое положительное число, не равное 1 Формула производной: y’ = акс журнал а

Производная натурального логарифма

Функция: у = журнал х, х > 0 Формула производной: , х > 0

Производная логарифма основания a

Функция: у = журнал а х , х > 0 где а — любое положительное число, не равное 1 Формула производной: , х > 0

Синусоидальная производная

Функция: у = грех х Формула производной: у’ = потому что х

Производная косинуса

Функция: у = потому что х Формула производной: у’ = -sin х

Касательная производная

Функция: у = тг х , где Формула производной: ,

Производная котангенса

Функция: у = ктг х , где Формула производной: ,

Производная арксинуса

Функция: у = арксинух х , Формула производной:

Производная арккосинуса

Функция: y = дуга cos x , Формула производной:

Производная арктангенса

Функция: у = арктангенс х Формула производной:

Производная арктангенса

Функция: у = дуга х Формула производной:

Таблица производных сложных функций

В следующей таблице приведены формулы для производных комплексных функций.

Отдельные строки (с желтым фоном) содержат формулы для производных комплексных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид f(x) = kx + b , где k и b — все числа, .

Функция	Формула производной
у = (кх + Ь) с , где с — любое число.	у’ = кс (кх + Ь) с — 1 ,
у = (f(x))c , где с — любое число.
у=экх+б	у = кэкх + б
у = эф (х)
у=акх+б где а — любое положительное число, не равное 1
у = из (х) где а — любое положительное число, не равное 1
y = log (kx + b), kx + b > 0	, кх + Ь > 0
у = журнал (f (х)), f (х) > 0	, е (х) > 0
y = log a (kx + b), kx + b > 0 где а — любое положительное число, не равное 1	, кх + Ь > 0
y = log a (f (x)), f (x) > 0 где а — любое положительное число, не равное 1	, f (х) > 0
у=грех(кх+б)	y’ = k cos (kx + b)
у = грех (е (х))
у = потому что (кх + б)	y’ = -k sin (kx + b)
у = потому что (е (х))
у = tg (кх + Ь), где	,
у=тг(е(х)), где	,
у=ctg(kx+b), где	,
у = ctg (f (х)), где	,
y=arcsin(kx+b),
y=arcsin(f(x)),
y = arccos (kx + b),
y=arccos(f(x)),
y=arctg(kx+b)
у = арктангенс (е (х))
y=arctg(kx+b)
y=arctg(f(x))

Функция: у = (кх + Ь) с , где с — любое число. Формула производной: у’ = кс (кх + Ь) с — 1 ,

Функция: у = (f(x))c , где с — любое число. Формула производной:

Функция: у=экх+б Формула производной: у = кэкх + б

Функция: у = эф (х) Формула производной:

Функция: у=акх+б где а — любое положительное число, не равное 1 Формула производной:

Функция: у = из (х) где а — любое положительное число, не равное 1 Формула производной:

Функция: y = log (kx + b), kx + b > 0 Формула производной: , кх + Ь > 0

Функция: у = журнал (f (х)), f (х) > 0 Формула производной: , f (х) > 0

Функция: y = log a (kx + b), kx + b > 0 где а — любое положительное число, не равное 1 Формула производной: , кх + Ь > 0

Функция: y = log a (f (x)), f (x) > 0 где а — любое положительное число, не равное 1 Формула производной: , f (х) > 0

Функция: у=грех(кх+б) Формула производной: y’ = k cos (kx + b)

Функция: у = грех (е (х)) Формула производной:

Функция: у = потому что (кх + б) Формула производной: y’ = -k sin (kx + b)

Функция: у = потому что (е (х)) Формула производной:

Функция: у = tg (кх + Ь), где Формула производной: ,

Функция: у=тг(е(х)), где Формула производной: ,

Функция: у=ctg(kx+b), где Формула производной: ,

Функция: у = ctg (f (х)), где Формула производной: ,

Функция: y=arcsin(kx+b), Формула производной:

Функция: y=arcsin(f(x)), Формула производной:

Функция: y = arccos (kx + b), Формула производной:

Функция: y=arccos(f(x)), Формула производной:

Функция: y=arctg(kx+b) Формула производной:

Функция: у = арктангенс (е (х)) Формула производной:

Функция: y=arctg(kx+b) Формула производной:

Функция: y=arctg(f(x)) Формула производной:

Свойства производных и примеры решения.

Рассмотрим свойства и примеры решения производных с помощью таблицы.

Производная суммы равна сумме производных.

(и + v)’ = и’ + v’
Пример:
(lnx+x)’ = (lnx)’ + x’ (расширить сумму)
(lnx+x)’ = 1/x + 1 x0 (см таблицу производных для производной каждого члена)
(lnx+x)’ = 1/x + 1 (мы получаем соотношение)

Производная произведения.

(uv)’ = u’v + uv’
Пример:
(5x sinx)’ = (5x)’ sinx + 5x (sinx)’ (разложить произведение производных)
(5x sinx)’ = 5x ln5 sinx + 5x cosx; (смотрим в таблицу и получаем ответ)

Производная при делении.

(u/v)’ = (u’v-uv’)/v
Пример:

(log7x x3)’ = ((log7x)’ x3 — log7x (x3)’)/x3 (разложить)
(log7xx3)’ = (1×3/(xln7) — log7x3x2)/x3; (см таблицу производных)
(log7xx3)’ = (x2/ln7 — log7x3x2)/x3; (уменьшить числитель xi на 1 x3/(x ln7));
(log7x x3)’ = x2 (1/ln7 — 3log7x)/x3 (скобки x2);
(log7x x3)’ = (1/ln7 — 3log7x)/x (вычесть x2 и получить ответ);

Производную сложной функции можно выразить:

(а(б))’=а'(б) б’
Пример:
(cos3x5)’ (здесь b=3×5) ;
(cos3x5)’ = -sin(3×5) (3×5)’ (разложить по формуле);
(cos3x5)’ = -sin(3×5) 3 5×4 (см таблицу);
(cos3x5)’ = -15sin(3×5) x4 (мы получаем ответ);