Правильные и неправильные дроби

Правильные дроби

Правильная дробь — это правильная дробь $frac{m}{n}$, у которой числитель меньше знаменателя, т е. $m

Пример 1

Например, часто встречаются дроби $frac{1}{3}$, $frac{9}{123}$, $frac{77}{78}$, $frac{378567}{456298}$, так как в каждом числитель меньше знаменателя, что соответствует определению правильной дроби.

Существует определение правильной дроби, основанное на сравнении дроби с единицей.

Правильная дробь $frac{m}{n}$ верна, если она меньше единицы:

Пример 2

Например, правильная дробь $frac{6}{13}$ верна, потому что выполняется условие $frac{6}{13

Неправильные дроби

Неправильная дробь — это правильная дробь $frac{m}{n}$, числитель которой больше или равен знаменателю, т е. $mge n$.

Пример 3

Например, дроби $frac{5}{5}$, $frac{24}{3}$, $frac{567}{113}$, $frac{100001}{100000}$ неуместны, так как в каждом числитель больше или равен знаменателю, что соответствует определению неправильной дроби.

Дадим определение неправильной дроби, основанное на сравнении с единицей.

Правильная дробь $frac{m}{n}$ неправильная, если она больше или равна единице:

frac{m}{n}ge 1

Пример 4

Например, обыкновенная дробь $frac{21}{4}$ не подходит, поскольку выполняется условие $frac{21}{4} >1$;

правильная дробь $frac{8}{8}$ неправильная, так как выполняется условие $frac{8}{8}=1$.

«Правильные и неправильные дроби» Выполненные курсовые и рефераты Купить от 250₽ Консультация специалиста по теме Найти эксперта Помогите написать курсовую Узнать стоимость

Рассмотрим более подробно понятие неправильной дроби.

Возьмем $frac{7}{7}$ в качестве примера. Величина этой дроби принимается за семь частей предмета, который делится на семь равных частей. Таким образом, из семи доступных акций вы можете составить всю тему. Неправильные дроби $frac{7}{7}$ описывают весь объект и $frac{7}{7}=1$. Итак, неправильные дроби, у которых числитель равен знаменателю, описывают один объект целиком, и такую ​​дробь можно заменить натуральным числом $1$.

Рассмотрим следующие неправильные дроби:

• $frac{5}{2}$ — совершенно очевидно, что эти пять других частей могут принести $2$ целых предметов (один целый предмет даст $2$ частей, а чтобы сделать два целых предмета, вам нужно $2+2= 4$ акция) и остается одна вторая акция. То есть неправильная дробь $frac{5}{2}$ описывает $2$ элемента и $frac{1}{2}$ этого элемента.
• $frac{21}{7}$ — двадцать одна седьмая может заработать $3$ товаров целиком ($3$ товаров с акциями $7$ каждый). Дробь $frac{21}{7}$ описывает $3$ целых чисел.

Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: неправильную дробь можно заменить натуральным числом, если числитель полностью делится на знаменатель (например, $frac{7}{7}=1$ и $fraction {21}{7 }=3$) или сумма натурального числа и правильной дроби, если числитель не делится без остатка на знаменатель (например, $ frac{5}{2}=2+ frac {1}{2}$). Поэтому такие дроби называются неуместными.

Определение 1

Процесс представления неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби (например, $frac{5}{2}=2+frac{1}{2}$) называется извлечением целой части из неправильная дробь.

При работе с неправильными дробями существует тесная связь между ними и смешанными числами.

Неправильная дробь часто записывается как смешанное число, состоящее из целого числа и дроби.

Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа, нужно разделить числитель знаменателя на остаток. Частное будет целой частью смешанного числа, остаток будет числителем дроби, а делитель будет знаменателем дроби.

Пример 5

Запишите неправильную дробь $frac{37}{12}$ в виде смешанного числа.

Решение.

Разделить числитель на знаменатель с остатком:

frac{37}{12}=37:12=3 (остаток 1) frac{37}{12}=3frac{1}{12}

Отвечать. $frac{37}{12}=3frac{1}{12}$.

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, умножьте знаменатель на целую часть числа, прибавьте числитель к дробной части полученного произведения и полученную сумму запишите в числитель дроби. Знаменатель неправильной дроби будет равен знаменателю дробной части смешанного числа.

Пример 6

Запишите смешанное число $5frac{3}{7}$ в виде неправильной дроби.

Решение.

[5frac{3}{7}=frac{5cdot 7+3}{7}=frac{38}{7}]

Отвечать. $5frac{3}{7}=frac{38}{7}$.

Читайте также: Вычитание десятичных дробей: правила, примеры, решения, как вычесть из десятичной дроби обыкновенную дробь

Сложение смешанного числа и правильной дроби

Сложение смешанного числа $afrac{b}{c}$ и правильной дроби $frac{d}{e}$ осуществляется путем прибавления к данной дроби дроби данного смешанного числа:

[afrac{b}{c}+frac{d}{e}=a+left(frac{b}{c}+frac{d}{e}right)]

Пример 7

Сложите правильную дробь $frac{4}{15}$ и смешанное число $3frac{2}{5}$.

Решение.

Давайте воспользуемся формулой для сложения смешанного числа и правильной дроби:

[frac{4}{15}+3frac{2}{5}=3+left(frac{2}{5}+frac{4}{15}right)=3+ влево(frac{2cdot 3}{5cdot 3}+frac{4}{15}right)=3+frac{6+4}{15}=3+frac{10}{ 15}]

По критерию деления на число textit{5} можно решить, что дробь $frac{10}{15}$ сократима. Выполните сокращение и найдите результат сложения:

[3+frac{10}{15}=3+frac{10:5}{15:5}=3+frac{2}{3}=3frac{2}{3}]

Таким образом, результат сложения правильной дроби $frac{4}{15}$ и смешанного числа $3frac{2}{5}$ равен $3frac{2}{3}$.

Ответ: $3frac{2}{3}$

Сложение смешанного числа и неправильной дроби

Сложение неправильной дроби и смешанного числа сводится к сложению двух смешанных чисел, для чего достаточно вычесть из неправильной дроби целую часть.

Пример 8

Вычислите сумму смешанного числа $6frac{2}{15}$ и неправильной дроби $frac{13}{5}$.

Решение.

Сначала выделим целую часть неправильной дроби $frac{13}{5}$:

[frac{13}{5}=2frac{3}{5}]

Кроме того, сложение смешанного числа и неправильной дроби сводится к сложению двух смешанных чисел:

[6frac{2}{15}+2frac{3}{5}=6frac{2}{15}+2frac{3cdot 3}{5cdot 3}=6+ 2+frac{2}{15}+frac{9}{15}=8+frac{11}{15}=8frac{11}{15}]

Ответ: $8frac{11}{15}$.

Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью. Его следует принимать как сумму целой и дробной частей.

Например 4 6/11

= 4 +

6/11.
Преобразование неправильной дроби в смешанную дробь

Любую неправильную дробь можно представить в виде смешанной дроби, разделив числитель на знаменатель. В этом случае неполное частное от деления будет целой частью смешанной дроби, а остаток — числителем дроби. Знаменатель остается прежним (см пример 1).

Смешанную дробь можно представить в виде неправильной дроби. Для этого умножьте целую часть на знаменатель дробной части. Прибавляем полученный результат к числителю дроби, и таким образом получаем числитель неправильной дроби. Знаменатель остается прежним (см пример 2).

Понятие смешанного числа

Если взять сумму n + ab, где значением n может быть любое натуральное число, а ab — его собственная обыкновенная дробь, то то же самое можно записать и без плюса: nab. Возьмем для наглядности конкретные числа: например, 28 + 57 — это то же самое, что 2857. Запись дроби рядом с целым числом обычно называется смешанным числом.

Определение 1

Смешанное число — это число, равное сумме натурального числа n с обыкновенной дробью ab. В данном случае n — целая часть числа, а ab — дробная часть.

Из определения следует, что всякое смешанное число равно тому, которое получится при сложении его целых и дробных частей. Таким образом, будет выполняться равенство nab=n+ab.

Его также можно записать как n+ab=nab.

Какие есть примеры смешанных чисел? Значит, им принадлежит 518, при этом пять — это целая его часть, а одна восьмая — дробь. Еще примеры: 112, 2343453, 34000625.

Выше мы писали, что в дробной части смешанного числа должна быть только одна правильная дробь. Иногда можно встретить такие записи, как 5223, 7572. Это не смешанные числа, потому что их дробь неверна. Их следует понимать как сумму целого числа и дроби. Такие числа можно привести к стандартным смешанным числам, взяв целую часть неправильной дроби и прибавив ее к 5 и 75 соответственно в этих примерах.

Номера по форме 0314 также не смешиваются. Здесь не выполняется первая часть условия: целая часть должна быть представлена ​​только натуральным числом, а ноль — нет.

Как соотносятся между собой неправильные дроби и смешанные числа

Эту связь легче всего проследить на конкретном примере.

Пример 1

Возьмем целый торт и еще три четверти такого же. По дополнительным правилам у нас на столе 1 + 34 пирожных. Это количество может быть представлено как смешанное число, например, 134 файла cookie. Если мы возьмем целый торт и тоже разрежем его на четыре равные части, у нас на столе будет 74 торта. Очевидно, что от резки количество не увеличилось, а 134=74.

Наш пример доказывает, что любую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа.

Вернемся к нашим 74 пирожным, оставшимся на столе. Складываем лепешку из кусочков (1+34). У нас снова будет 134.

Ответ: 74=134.

Мы разобрались, как преобразовать неправильную дробь в смешанное число. Если в числителе неправильной дроби стоит число, которое можно разделить на знаменатель без остатка, то можно так поступить, и тогда наша неправильная дробь станет натуральным числом.

Пример 2

Например,

84=2, потому что 8_4=2.

Как перевести смешанное число в неправильную дробь

Для успешного решения задач полезно уметь делать обратное, то есть составлять из смешанных чисел неправильные дроби. В этом разделе мы разберем, как это сделать правильно.

Для этого нужно воспроизвести следующую последовательность действий:

1. Для начала представим имеющееся смешанное число наб в виде суммы целой и дробной частей. Получается н+аб

2. Далее заменяем целую часть дробью со знаменателем, равным единице (то есть пишем n как n1).

3. После этого выполняем уже известное действие — складываем две обыкновенные дроби n1 и ab. Полученная неправильная дробь будет равна заданному в условии смешанному числу.

Разберем это действие на конкретном примере.

Пример 3

Представьте 537 в виде неправильной дроби.

Решение

Выполняем шаги вышеописанного алгоритма по порядку. Наше число 537 представляет собой сумму целой и дробной частей, то есть 5+37. Теперь запишем пятерку в виде 51. Получилась сумма 51+37.

Последний шаг — сложить дроби с разными знаменателями:

51+37=357+37=387

Полное решение в краткой форме можно записать как 537=5+37=51+37=357+37=387.

Ответ: 537=387.

Таким образом, используя приведенную выше цепочку действий, мы можем преобразовать любое смешанное число наб в неправильную дробь. Нам дана формула nab=n b+ab, которую мы будем использовать для решения дальнейших задач.

Пример 4

Представьте 1525 в виде неправильной дроби.

Решение

Возьмите эту формулу и подставьте в нее нужные значения. У нас n=15, a=2, b=5, поэтому 1525=15 5+25=775.

Ответ: 1525=775.

Как выделить из неправильной дроби целую часть

Обычно мы не указываем неправильную дробь в качестве окончательного ответа. Принято доводить вычисления до конца и заменять его либо натуральным числом (делением числителя на знаменатель), либо смешанным числом. Как правило, первый способ применяют, когда можно разделить числитель на знаменатель без остатка, а второй — если такое действие невозможно.

Когда мы вычитаем целую часть из неправильной дроби, мы просто заменяем ее равным смешанным числом.

Давайте посмотрим, как именно это делается.

Определение 2

Любая неправильная дробь ab является смешанным числом qrb. Здесь q — частичное частное, а r — остаток от ab. Таким образом, целая часть смешанного числа есть неполное частное от деления на ab, а дробная часть — остаток.

Приведем доказательство этого утверждения.

Нам нужно объяснить, почему qrb=ab. Для этого смешанное число qrb нужно представить в виде неправильной дроби, выполнив все шаги алгоритма из предыдущего раздела. Поскольку частное неполное, а r — остаток от деления a на b, то должно выполняться равенство a=b q+r.

Таким образом, q b+rb=ab, поэтому qrb=ab. Это доказательство нашего утверждения. Обобщить:

Определение 3

Выделение целой части из неправильной дроби ab осуществляется таким образом:

1) делим а на b с остатком и выписываем неполное частное q и остаток r отдельно.

2) Запишите результаты как qrb. Это наше смешанное число, равное исходной неправильной дроби.

Пример 5

Выразите 1074 в виде смешанного числа.

Решение

Делим 104 на 7 в столбик:

деление числителя a=118 на знаменатель b=7 дает нам неполное частное q=16 и остаток r=6.

В итоге получаем, что неправильная дробь 1187 равна смешанному числу qrb=1667.

Ответ: 1187=1667.

Нам осталось посмотреть, как заменить неправильную дробь натуральным числом (при условии, что числитель делится на знаменатель без остатка).

Для этого вспомните, какая связь существует между обыкновенными дробями и делением. Отсюда мы можем вывести сходство: ab=a:b=c. Оказывается, неправильную дробь ab можно заменить натуральным числом c.

Пример 6

Например, если ответом является неправильная дробь 273, мы можем вместо этого написать 9, поскольку 273=27:3=9.

Ответ: 273=9.

Примеры

Пример 1

Напиши неправильную дробь 17/6

в смешанной форме.

Решение
Чтобы справиться с задачей, разделим числитель на знаменатель, используя описанный выше алгоритм.

Тогда 17/6=25/6.

Пример 2

Напишите смешанную дробь 6 4/7 в неправильной форме.

Решение

6 4/7=6⋅7+4/7=46/7