Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю: правило, примеры решений

Общий знаменатель обыкновенных дробей

Если обыкновенные дроби имеют одинаковые знаменатели, то говорят, что эти дроби имеют общий знаменатель. Например дроби

и  

имеет общий знаменатель 7.

Общий знаменатель – это число, являющееся знаменателем двух или более обыкновенных дробей.

Дроби с разными знаменателями можно привести к общему знаменателю.

Базовая информация

Обыкновенная дробь – это число, состоящее из верхней части (числителя) и нижней части (знаменателя). Они разделены линией. Значения обыкновенной дроби бывают трех видов: обыкновенная, неправильная и смешанная. К первой группе относятся значения, у которых числитель меньше знаменателя, ко второй – наоборот. Промежуточное значение представляет собой смешанное число. Он состоит из целого числа и дроби.

Для выполнения арифметических действий сложения и вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю (CD). Последняя математическая операция связана с нахождением наименьшего общего кратного (НОК). Эта операция может потребовать:

1. Знание признаков делимости одного числа на другое.
2. Возможность конвертировать смешанные фракции в нелегитимные.
3. Факторизация.
4. Найдите коэффициенты при числителях правильно.

Изучение приведения дробей к ОД всегда начинается с признаков делимости.

Признаки делимости

Перед знакомством со знаками деления чисел необходимо ввести определенные термины, чтобы учащиеся не запутались в правилах. Числа — это математические символы, используемые для создания чисел. Числа — это количественные свойства, необходимые для выражения фактических данных. Каждое значение имеет битовую сетку (PC). Он состоит из цифр, называемых единицами, десятками, сотнями, тысячами и так далее

Каждое значение можно разложить с помощью битовой сетки, то есть 1941=1000+900+40+1, где 1000, 900, 40 и 1 — это цифры тысяч, сотен, десятков и единиц. Как правило, числа читаются слева направо.

Признак делимости — правила, на основании которых одно число (делимое) полностью делится на другое (делитель). Их большое количество, но на практике при решении задач на уроках алгебры используются следующие:

• 1: числовая строка для всех действительных чисел R (от минус бесконечности до плюс бесконечности);
• 2: первая цифра (единицы) — четное значение;
• 3: сумма цифр RS делится на три, т.е. 174/3={1+7+4=12/3=4}=58;
• 4: Число, образованное разрядами единиц и десятков, делится на 4. Например, 124/4={24/4=6}=31.
• 5: цифра единиц принимает только значение 0 или 5, т е. 925/5={5}=185;
• 6: разряд единиц искомого числа соответствует четному значению, а сумма всех элементов ПК делится на три без остатка. Например: 126/6={6-четное и 1+2+6=9/3}=21;
• 7: сумма произведения элементов в RS, от десятков и единиц, делится на семь, т.е. 3584/7={(3*5*8+4/2)/7=126/7= 18} =512;
• 8: Разряд единиц соответствует четному числу, при этом также должно выполняться условие деления на четыре числа, состоящего из десятков и единиц. Например, 1248/8={8 — четное} и {48/4=12}=156.
• 9: сумма элементов RS делится на девять без остатка, т.е. 5238/9={5+2+3+8=18/9=2}=582.
• 10: место единиц установлено равным 0. Например, 8950/10={0}=895.
• 11: для двузначных чисел — единицы и десятки равны между собой, две цифры равны между собой (66, 99), а для трехзначных чисел и выше — числовое значение, образованное цифрами десятков и единиц делится на 11 (165= {(6+5)/11=1}).

Для простоты рекомендуется писать критерии на картоне. Далее рассмотрим алгоритм преобразования смешанной дроби в неправильную.

Работа со смешанными числами

Для преобразования неправильной дроби в смешанное число используется специальный алгоритм. Это выглядит так:

1. Разделить числитель на знаменатель, выбрать целую часть.
2. Умножьте знаменатель и целое число.
3. Вычесть из нужного счетчика значение, полученное во втором пункте.

Специалисты рекомендуют после алгоритма проанализировать реализацию на примере дробного выражения 25/3. Правильная техника преобразования выглядит следующим образом:

1. 25/3=8.
2. 3*8=24.
3. 8(25−24)/3=81/3.

Однако вы должны уметь выполнять обратную операцию (проверку) преобразования смешанного числа в неправильную дробь. Для этого выполните шаги алгоритма в обратном порядке:

1. 81/3.
2. (3*8+1)/3=25/3.

Другими словами, вы должны умножить знаменатель на целую часть, а затем добавить к результату числитель.

Читайте также: Числа гиганты

Что такое приведение дроби к общему знаменателю?

Обыкновенные дроби состоят из числителя – верхней части и знаменателя – нижней части. Если дроби имеют одинаковые знаменатели, то говорят, что они имеют общий знаменатель. Например, дроби 1114, 1714, 914 имеют одинаковый знаменатель 14. Другими словами, они приведены к общему знаменателю.

Если дроби имеют разные знаменатели, их всегда можно привести к общему знаменателю простыми действиями. Для этого необходимо умножить числитель и знаменатель на определенные дополнительные множители.

Ясно, что дроби 45 и 34 не приведены к общему знаменателю. Для этого нужно с помощью дополнительных множителей 5 и 4 привести их к знаменателю 20. Как вы это делаете? Умножаем числитель и знаменатель дроби 45 на 4, а числитель и знаменатель дроби 34 умножаем на 5. Вместо дробей 45 и 34 получаем 1620 и 1520 соответственно.

приведение дробей к общему знаменателю

приведение дробей к общему знаменателю — это умножение числителей и знаменателей дробей на множители так, чтобы в результате были одинаковые дроби с одинаковым знаменателем.

Общий знаменатель: определение, примеры

Что такое общий знаменатель?

Общий знаменатель

Общий знаменатель дроби – это любое положительное число, являющееся общим кратным всех данных дробей.

Другими словами, общим знаменателем набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.

Множество натуральных чисел бесконечно, поэтому каждое множество обыкновенных дробей по определению имеет бесконечное число общих знаменателей. Другими словами, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей в исходном наборе дробей.

Общий знаменатель нескольких дробей легко найти с помощью определения. Пусть будут дроби 16 и 35. Общим знаменателем дробей будет любое положительное общее кратное чисел 6 и 5. Такими положительными общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и т.д.на.

Рассмотрим пример.

Пример 1. Общий знаменатель

Можно ли привести дифракции 13, 216, 512 к общему знаменателю, который равен 150?

Чтобы выяснить, так ли это, нужно проверить, является ли число 150 общим кратным знаменателей дробей, то есть чисел 3, 6, 12. Другими словами, число 150 должно делиться на 3, 6, 12 без остатка. Давай проверим:

150÷3=50, 150÷6=25, 150÷12=12,5

Это означает, что 150 не является общим знаменателем для данных дробей.

Наименьший общий знаменатель

Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей множества дробей называется наименьшим общим знаменателем.

Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель дробей — это наименьшее число среди всех общих знаменателей этих дробей.

Наименьший общий делитель заданного набора чисел называется наименьшим общим кратным (НОК). НОК всех знаменателей дробей является наименьшим общим знаменателем этих дробей.

Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Давайте посмотрим на пример:

Пример 2: Найдите наименьший общий знаменатель

Нам нужно найти наименьший общий знаменатель дробей 110 и 12728.

Ищем НОК чисел 10 и 28. Разлагаем их на простые множители и получаем:

10=2 528=2 2 7LCC(15, 28)=2 2 5 7=140

Правила или алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.

Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:

1. Необходимо разложить знаменатели дробей на простые множители.
2. Вам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.
3. Привести дроби к общему знаменателю, то есть умножить и числитель, и знаменатель дроби на коэффициент.

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Это правило объясняет, как приводить дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.

Правило приведения дробей к общему знаменателю

1. Найдите наименьший общий знаменатель дробей.
2. Для каждой дроби найдите коэффициент сложения. Чтобы найти множитель, разделите наименьший общий знаменатель на знаменатель каждой дроби.
3. Умножьте числитель и знаменатель на найденный коэффициент сложения.

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.

Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю

Есть дроби 314 и 518. Приведем их к наименьшему общему знаменателю.

Как правило, сначала находим НОК для знаменателей дробей.

14=2 718=2 3 3 НОК(14, 18)=2 3 3 7=126

Рассчитываем дополнительные коэффициенты для каждой фракции. Для числа 314 дополнительный множитель оказывается равным 126÷14=9, а для дроби 518 дополнительный множитель равен 126÷18=7.

Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:

3 914 9=27126, 5 718 7=35126.

Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю

По рассматриваемому правилу к общему знаменателю можно привести не только пары дробей, но и несколько из них.

Возьмем другой пример.

Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю

Приведите дроби 32, 56, 38 и 1718 к наименьшему общему знаменателю.

Рассчитайте НОК для знаменателей. Найдите LCM трех или более чисел:

НОК(2; 6)=6 НОК(6; 8)=24 НОК(24; 18)=72 НОК(2; 6; 8, 18)=72

Затем вычисляем дополнительные коэффициенты для каждой фракции.

Для 32 дополнительный множитель 72÷2=36, для 56 дополнительный множитель 72÷6=12, для 38 дополнительный множитель 72÷8=9, наконец, для 1718 дополнительный множитель 72÷18=4.

Умножаем дроби на дополнительные множители и идем к наименьшему общему знаменателю:

32 36=1087256 12=607238 9=27721718 4=6872

Как привести дробь к наименьшему общему знаменателю (пример)

Шаг 1

Найдите наименьший общий знаменатель.

Шаг 2

Найдите дополнительный множитель.

Шаг 3

Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.

Шаг 4

Запишите получившиеся дроби с новым знаменателем.

Приведение к одному знаменателю

Приведение к общему знаменателю — достаточно простая операция. Для этого необходимо проанализировать все кейсы, а также используемые для этого алгоритмы:

1. Значение делится на другое без остатка (делимое и делитель).
2. Знаменатели — простые числа.
3. Состоит из общих факторов.

Для каждой из трех альтернатив используются разные методы для нахождения знаменателя дроби, являющейся результирующей.

Делимое и делитель

Вариант, когда одно значение можно разделить на другое без остатка, самый простой. Алгоритм имеет следующий вид:

1. При необходимости выполните операцию преобразования смешанного числа в неправильную дробь.
2. Разделите наибольший знаменатель на наименьший.
3. Запишите соответствующий коэффициент над дробью с наименьшим знаменателем и умножьте его на числитель.
4. Запишите найденный знаменатель, затем выполните арифметическое действие над разностью или суммой.

Для реализации алгоритма дроби 8/20 и 4/5 необходимо привести к OD. Операция проводится таким образом:

1. 8/20 и (4*20/5)/20.
2. 20/8 и 20/16.

Если сложить два значения (8/20 + 16/20=24/20), результат необходимо преобразовать в смешанное число, т.е. 24/20=14/20=11/5.

Простые элементы

Иногда знаменатели могут быть простыми элементами. В этом случае принимать их нужно по следующему алгоритму:

1. Преобразовать в правильные неправильные дроби.
2. Умножьте знаменатели, записав множители напротив числителей.
3. Общий знаменатель является произведением исходных знаменателей.
4. Перемножьте коэффициенты и числители, запишите результаты.

Техника называется «скрещивание». Чтобы понять, когда его использовать, нужно, наконец, убедиться, что знаменатели принадлежат простым числам. Последние делятся только на 1 или на равную величину, то есть 7/1 и 7/7. Например, вам следует решить задачу о приведении дробей с разными знаменателями к общему (3/7 и 2/5). Задачу необходимо решить по следующему алгоритму:

1. Узнай правильно знаменатель: 5*7=35.
2. Преобразуйте выражение первой дроби: (3*5)/35=15/35.
3. Второе значение: (2*7)/35=14/35.

Результат операции преобразования выглядит следующим образом: 15/35 и 14/35. Суть решения можно объяснить другими словами: если знаменатели дробей простые, то коэффициенты при числителях эквивалентны своим противоположным значениям, а полученный знаменатель есть произведение исходных делителей.

Общие сомножители

Иногда необходимо использовать все знания для приведения дробей к знаменателю в 8 классе (дисциплина — «алгебра и начало анализа»), которая должна быть общей. Выход из ситуации — найти NOC. Операция выполняется по алгоритму:

1. Разложение знаменателей на простые элементы.
2. Общий знаменатель равен произведению наименьшего элемента и недостающих множителей.
3. Поиск коэффициентов числителей и их умножение.
4. Регистрирует желаемый результат.

Специалисты рекомендуют разобрать реализацию алгоритма на примере. Для этого приведем к общему знаменателю 2 дроби 3/8 и 5/12:

1. 8=2*2*2.
2. 12=2*2*3.
3. НОК=8*3=24.
4. Коэффициент для дробного значения I: 3*3/24=9/24.
5. Значение, на которое нужно умножить числитель второй дроби: 5*2/24=10/24.
6. Результат: 24/9 и 24/10.

Для проверки результатов можно воспользоваться специальными онлайн-сервисами. Однако математики рекомендуют использовать их только для сравнения с ответами, полученными при решении ручным методом без применения компьютерной техники.

Поэтому для приведения дробей к ВП необходимо знать признаки делимости, а также основные приемы выполнения этой операции.