Призма

Определение призмы

Многие из нас используют наклейки. Для записи ваших дел, для закладок, для заметок при ведении заметок. Даже если мы ими не пользуемся, мы, вероятно, видели их в магазинах или в кругу семьи и друзей.

Такую наклейку можно использовать как самолет. Теперь давайте вспомним, как выглядит упаковка с ними. Накладывается много-много наклеек и получается небольшая объемная фигурка, сверху и снизу которой два совершенно одинаковых листа. При этом сразу замечаем, что нижняя и верхняя наклейки будут параллельны друг другу.

На самом деле стикерпак — не более чем призма!

Призма — это многогранник, у которого две грани — равные многоугольники и лежат в параллельных плоскостях, а все остальные — параллелограммы.

Чем упаковка с наклейками похожа на призму? Упаковочные наклейки представляют собой объемную фигуру, основу которой составляют равные прямоугольники. А стороны пакета представляют собой параллелограмм. Таким образом, упаковка наклеек полностью соответствует определению призмы.

Определение может показаться немного запутанным, но в этом нет ничего плохого. Давайте выясним это, внимательно изучив составные призмы.

История изучения призмы

О существовании призм знали еще в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Об этом свидетельствуют различные археологические находки, прежде всего остатки зданий и памятников.

Но научное описание призм — заслуга древнегреческих математиков. Во-первых, Аристотель. Он даже изобрел целую отрасль науки — стереометрию. В переводе с греческого это означает измерение пространства («метрио» — измерение, «стереос» — пространство).

И в рамках этой науки Аристотель изучал призмы, кубы, параллелепипеды и другие объемные геометрические фигуры.

Естественно, знаменитый древнегреческий математик и ученый Евклид не обошел вниманием призму. В своих трудах он дает следующее описание:

Призма – это объемная (т.е пространственная) фигура, заключенная между несколькими плоскостями. Две из них параллельны друг другу, равны и противоположны. И другие в любом количестве являются параллелограммами.

Кстати, само слово «призма» тоже имеет древнегреческие корни. А значит «πρίσμα» — отпилить. На самом деле внешне призма напоминает фигуру, которую взяли и вырезали из чего-то более длинного. Словно ствол дерева раскололи на несколько бревен.

Строение призмы

Представьте себе обычную коробку. Основание и крышка подобны и лежат в параллельных плоскостях. Это равные многоугольники. Их еще называют основаниями призмы.

Посмотрим на боковые стороны коробки. Это параллелограммы, только с прямыми углами. Подробнее о параллелограммах можно прочитать в статье «Параллелограмм». Эти параллелограммы называются сторонами призмы.

Возьмите линейку и измерьте расстояние между основаниями призмы. Для этого из любой точки основания проводим перпендикуляр к другой.

Подробнее о расстояниях между плоскостями можно прочитать в статьях «Углы в пространстве» и «Расстояния между фигурами».

Может возникнуть вопрос, что мы сейчас нашли? Мы нашли высоту призмы.

Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к другому основанию призмы.

В задачах гораздо удобнее опускать перпендикуляр не из произвольной точки, а из вершины призмы.

Рассмотрим элементы призмы.

Ребро – это линия пересечения двух плоскостей.

Представим, что вместо картонных стенок в нашей коробке ткань, которую мы должны натянуть на раму, чтобы коробка не менялась. В этом случае все линии в этой рамке будут ребрами.

Ребра бывают двух видов:

• нижние края,
• боковые ребра.

Их также легко различить: ребра основания являются стороной входящего в него многоугольника, а боковые ребра основаниям не принадлежат.

Боковые ребра имеют очень важную характеристику: они равные и параллельные.

Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Например, мы можем взять клетку для попугая и сделать из угла в угол насест, чтобы птичке было весело жить. Этот насест будет диагональю призмы.

Читайте также: Приставки системы СИ: мега, микро, пико, кило, мили, нано (таблицы)

Элементы призмы

Для изображения выше:

• Основания — равные многоугольники. Это могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и т д. В нашем случае это параллелограммы (или прямоугольники) ABCD и A1B1C1D1.
• Боковые грани представляют собой параллелограммы: AA1B1B, BB1C1C, CC1D1D и AA1D1D.
• Боковое ребро — это отрезок, соединяющий соответствующие вершины разных оснований (AA1, BB1, CC1 и DD1). Это общая сторона двух боковых поверхностей.
• Высота (h) – это перпендикуляр, проведенный из одного основания в другое, т.е расстояние между ними. Если боковые ребра расположены под прямым углом к ​​основанию фигуры, они также являются высотами призмы.
• Диагональ основания — это отрезок, соединяющий две противоположные вершины одного основания (AC, BD, A1C1 и B1D1). Треугольная призма не имеет этого элемента.
• Диагональ боковой поверхности — это отрезок, соединяющий два противоположных угла одной и той же поверхности. На рисунке показаны диагонали только одной грани (CD1 и C1D), чтобы не перегружать ее.
• Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий две вершины с разными основаниями, не принадлежащие одной боковой грани. Мы показали только два из четырех: AC1 и B1D.
• Площадь поверхности призмы – это сумма поверхностей двух ее оснований и боковых граней. Формулы для расчета площади поверхности (для правильной фигуры) и объема призмы представлены в отдельных публикациях.

Развертка призмы – это разложение всех граней фигуры в одной плоскости (чаще всего одного из оснований). Например, для прямоугольной прямой призмы:

Варианты сечения призмы

1. Диагональное сечение — секущая плоскость проходит через диагональ к основанию призмы и двум соответствующим боковым граням.
   Примечание: треугольная призма не имеет диагонального сечения, потому что основанием фигуры является треугольник, не имеющий диагоналей.
2. Разрез под прямым углом — секущая плоскость срезает все боковые кромки под прямым углом.

Примечание: другие варианты разделов встречаются не так часто, поэтому отдельно на них останавливаться не будем.

Виды призм. Прямые и наклонные призмы. Правильные призмы

Существует следующая классификация призм.

Рис.3

Определение 8. Прямой призмой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований. Призмы, боковые ребра которых не перпендикулярны плоскостям оснований, называются косыми призмами.

Замечание 4. Все боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.

Определение 9. Правильной призмой называется правильная призма, основанием которой являются правильные многоугольники.

Определение 10. Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Примеры призм. Треугольные призмы. Четырехугольные призмы.Параллелепипеды

Призма	Рисунок	Характеристики
Наклонная треугольная призма		Боковые ребра AA1, BB1, CC1 не перпендикулярны плоскостям ABC и A1B1C1. ABC — произвольный треугольник.
Правильная треугольная призма		Боковые ребра AA1, BB1, CC1 перпендикулярны плоскостям ABC и A1B1C1. ABC — произвольный треугольник. Боковые грани прямоугольной треугольной призмы – прямоугольники. Высота прямоугольной призмы равна длине бокового ребра.
Правильная треугольная призма		Боковые ребра AA1, BB1, CC1 перпендикулярны плоскостям ABC и A1B1C1. АВС равнобедренный треугольник. Боковые грани правильной треугольной призмы — прямоугольники. Высота правильной треугольной призмы равна длине бокового ребра.
Наклонная квадратная призма		Боковые ребра AA1, BB1, CC1, DD1 не перпендикулярен плоскостям ABCD и A1B1C1D1. ABCD — произвольный квадрат.
Прямоугольная призма		Боковые ребра AA1, BB1, CC1, DD1 перпендикулярны плоскостям ABCD и A1B1C1D1. ABCD — произвольный квадрат. Боковые грани прямоугольной призмы – прямоугольники. Высота прямоугольной призмы равна длине бокового ребра.
Правильная квадратная призма		Боковые ребра AA1, BB1, CC1, DD1 перпендикулярны плоскостям ABCD и A1B1C1D1. АВСD — квадрат. Боковые грани правильной квадратной призмы – прямоугольники. Высота правильной квадратной призмы равна длине бокового ребра.
Параллелепипед		Наклонная квадратная призма, все грани которой представляют собой параллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда равны.
Прямой параллелепипед		Прямоугольная призма, основания которой ABCD и A1B1C1D1 — параллелограммы. Высота прямого параллелепипеда равна длине боковой грани.
Кубовидный		Прямоугольная призма, основания которой ABCD и A1B1C1D1 — прямоугольники. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
Правая коробка		Синоним термина «правильная квадратная призма» Основания ABCD и A1B1C1D1 — равные квадраты, стороны — равные прямоугольники. Высота правильного параллелепипеда равна длине бокового ребра.
Куб		Правильный параллелепипед, у которого все грани равные квадраты. В кубе все ребра равны и попарно перпендикулярны. Высота куба равна длине ребра.

Наклонная треугольная призма

Характеристики: Боковые ребра AA1, BB1, CC1 не перпендикулярны плоскостям ABC и A1B1C1. ABC — произвольный треугольник.

Правильная треугольная призма

Характеристики: Боковые ребра AA1, BB1, CC1 перпендикулярны плоскостям ABC и A1B1C1. ABC — произвольный треугольник. Боковые грани прямоугольной треугольной призмы – прямоугольники. Высота прямоугольной призмы равна длине бокового ребра.

Правильная треугольная призма

Характеристики: Боковые ребра AA1, BB1, CC1 перпендикулярны плоскостям ABC и A1B1C1. АВС равнобедренный треугольник. Боковые грани правильной треугольной призмы — прямоугольники. Высота правильной треугольной призмы равна длине бокового ребра.

Наклонная квадратная призма

Характеристики: Боковые ребра AA1, BB1, CC1, DD1 не перпендикулярны плоскостям ABCD и A1B1C1D1. ABCD — произвольный квадрат.

Прямоугольная призма

Характеристики: Боковые ребра AA1, BB1, CC1, DD1 перпендикулярны плоскостям ABCD и A1B1C1D1. ABCD — произвольный квадрат. Боковые грани прямоугольной призмы – прямоугольники. Высота прямоугольной призмы равна длине бокового ребра.

Правильная квадратная призма

Характеристики: Боковые ребра AA1, BB1, CC1, DD1 перпендикулярны плоскостям ABCD и A1B1C1D1. АВСD — квадрат. Боковые грани правильной квадратной призмы – прямоугольники. Высота правильной квадратной призмы равна длине бокового ребра.

Параллелепипед

Характеристики: Наклонная квадратная призма, все грани которой представляют собой параллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда равны.

Прямой параллелепипед

Характеристики: Прямоугольная призма, основания которой ABCD и A1B1C1D1 — параллелограммы. Высота прямого параллелепипеда равна длине боковой грани.

Кубовидный

Характеристики: Прямоугольная призма, основания которой ABCD и A1B1C1D1 — прямоугольники. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Правая коробка

Характеристики: Синоним термина «правильная квадратная призма» Основания ABCD и A1B1C1D1 — равные квадраты, боковые грани равные прямоугольники. Высота правильного параллелепипеда равна длине бокового ребра.

Куб

Характеристики: Правильный параллелепипед, у которого все грани равные квадраты. В кубе все ребра равны и попарно перпендикулярны. Высота куба равна длине ребра.

Значение, характеристики, свойства

Основные особенности этой фигуры:

1. Основания призмы всегда представляют собой многоугольники.
2. Боковые грани этой фигуры — параллелограммы.
3. Боковые ребра этой фигуры равны и параллельны.
4. Объем призмы рассчитывается по следующей формуле: V=S×h. То есть объем – это произведение высоты фигуры на площадь основания удила.
5. Объем призмы, основанием которой является правильный n-угольник, вычисляется по следующей формуле: V=n4hs2cotπn. В данном случае значение «s» — это длина поверхности многоугольника.
6. Общая площадь поверхности этой фигуры будет равна сумме площади боковой поверхности и квадрата основания.
7. Площадь боковой поверхности, если призма произвольная, рассчитывается по следующей формуле: S=P×l. При этом показатель «Р» будет периметром перпендикулярного сечения, а значение «l» — длиной бокового ребра.
8. Площадь боковой поверхности в случае прямой призмы рассчитывается по формуле: S=P×h. В этой формуле «P» — величина, обозначающая длину окружности основания призмы, а «h» — показатель высоты фигуры.
9. Площадь боковой поверхности, если призма прямая и в основании правильный n-угольник, вычисляется по следующей формуле: A=n2s2cotπn+nsh.
10. Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым граням данной фигуры.
11. Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при собственных боковых ребрах.
12. Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым граням призмы.
13. Бипирамида – это двойной многогранник правильной призмы.

Построение графика, формулы, примеры задач

Как построить призму?

Необходимо учитывать, какой многоугольник является основанием призмы. Сначала нарисуем. Затем проводим из вершин многоугольника параллельные линии, накладываем на них такие же отрезки и соединяем их концы — получаем второе основание. Стороны (ребра призмы) представляют собой параллелограммы.

Заметка 2

На плоскости получается, что n-угольная призма — это фигура, состоящая из двух абсолютно равных n-угольников (полученных параллельным переносом), являющихся основаниями, а также n-параллелограммами.

Для призмы будут верны следующие формулы:

Формула 1

Объем фигуры рассчитывается по формуле: V=S×h.

Формула 2

Площадь рассчитывается по формуле: S=2Sоснование+Sсторона

Это основные формулы для фигуры, есть и другие для разных типов призм.

Рассмотрим несколько задач по теме «Призма».

Задание 1

Получаем правильную призму, основанием которой является квадрат (квадрат). Диагональ призмы 15, а диагональ основания будет 102. Нужно найти площадь всей поверхности призмы. Взгляните на картинку:

Решение:

Представим, что ABCDA1B1C1D1 — это призма. Мы знаем, что это правильно, а значит, основание — квадрат, а сама призма — прямая. В этом случае получается, что треугольник BB1D прямоугольный. Итак, по теореме Пифагора мы можем вычислить сторону BB1: BB1=152-(102)2=5.

Так как диагональ основания будет в 2 раза больше стороны квадрата, то: AB=BD2=10.

Это означает, что S=2S+4S=2×102+4×10×5=400.

Ответ: Площадь = 400.

Задача 2

Боковое ребро наклонной призмы, основанием которой является квадрат, равно 14 см. Перпендикулярная часть этой фигуры представляет собой ромб со стороной 7 см. Нужно найти площадь боковой поверхности.

Данный:

ABCDA1B1C1D1 — это призма. Сторона АА1 будет равна 14 см. Перпендикулярный срез — 7 см.

Решение:

По условию перпендикулярное сечение представляет собой ромб, сторона которого равна 7 см. Все стороны ромба равны. Периметр перпендикулярного сечения рассчитывается по следующей формуле: P=7×4=28.

Площадь боковой поверхности рассчитывается по следующей формуле: S=P×AA1=28×14=392

Ответ: 392.

Определение параллелепипеда

Другой тип прямоугольной призмы — параллелепипед.

Параллелепипед — это квадратная призма, все грани которой — параллелограммы.

Параллелепипеды повсюду: ящики, мебель, комнаты, здания, склады, магазины. Поэтому изучить их не составит труда.

Свойство параллелепипеда, видимое невооруженным глазом: противоположные стороны параллелепипеда равны. В качестве примера рассмотрим ту же комнату: потолок и пол равны, как и стены напротив друг друга.

Нельзя не упомянуть об очень важном свойстве параллелепипеда:

• Все диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это свойство относится ко всем типам параллелепипедов.

Что такое параллелепипеды?

Параллелепипеды также могут быть прямыми и наклонными. В этих случаях все определения такие же, как и для всех других призм.

Прямой параллелепипед

Рассмотрим некоторые интересные свойства прямого параллелепипеда.

1 свойство. Боковые ребра прямого параллелепипеда перпендикулярны основаниям.

2 собственности. Высота прямоугольного параллелепипеда равна длине бокового ребра.

3 свойство. Боковые грани, находящиеся друг напротив друга, равны между собой и представляют собой прямоугольники.

Прямые параллелепипеды можно разделить еще на два типа:

• Прямой параллелепипед: основание — параллелограмм;

• Кубоид: основание представляет собой прямоугольник.

Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда.

1 свойство. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

2 собственности. Все углы прямоугольного параллелепипеда, образованного двумя гранями, равны 90°.

3 свойство. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин его ширины, длины и высоты.

Это дает нам важную формулу для параллелепипеда.

d2 = а2 + b2 + с2

Пример 1. Дан прямоугольный ящик. Два ребра, начинающиеся с одной из вершин, равны (sqrt{35}) и (sqrt{46}). Диагональ коробки равна 15. Найдите третье ребро коробки.

Решение. Пусть третье ребро параллелепипеда равно x. Получаем уравнение:

(15^2 = (sqrt{35})^2 + (sqrt{46})^2 + x^2)
225 = 35 + 46 + х2
х2 = 144
х=12

Ответ: 12.

Существует несколько видов прямоугольных параллелепипедов. Прямоугольные параллелепипеды делятся на:

• Произвольный прямоугольный параллелепипед. Основание может быть прямоугольником.
• Правильный прямоугольный параллелепипед. Основание – обычный квадрат, то есть квадрат.
  В этом случае боковые ребра не равны ребрам основания. Следовательно, основания будут квадратами, а боковые поверхности прямоугольниками.
• Куб. Основание квадратное, а боковые ребра равны ребрам основания.
  В кубе все ребра равны, и все грани будут квадратами.

Таким образом, мы рассмотрели все виды параллелепипедов.

Формулы для призмы

Однако ни одна задача не может быть решена без формул. Поэтому необходимо рассмотреть несколько основных формул, которые могут возникнуть не только в задачах, но и в жизни.

Напомним немного о моделировании, а именно о распаковке куба. Мы знаем, что лист бумаги можно легко сложить в куб, если его правильно начертить.

Как сложить игральные кости из листа бумаги? Вы решили вечером поиграть в настольную игру с семьей или друзьями. Но вот незадача: кости опять куда-то пропали. Неважно. Достаточно нарисовать на листе бумаги несколько квадратов, вырезать получившуюся фигуру, загнуть по краям и склеить между собой клеем. В результате получатся кубики для игры.

На рисунке основания показаны оранжевым цветом, а боковые грани нашего будущего куба – желтым. Теперь представьте, что нам нужно найти площадь боковой поверхности. Как это сделать?

Вы должны найти площади желтых квадратов и сложить их вместе.

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых поверхностей.

Здесь нет простой формулы, так как призмы могут сильно отличаться друг от друга. В произвольных призмах необходимо вычислить площадь пляжной грани, затем сложить их вместе.

Но есть хитрость! Правда, это работает только для прямой призмы. Если по условию задана правильная призма, можно использовать формулу

Страница =P*t

В этой формуле Р — периметр основания, h — высота призмы, совпадающая с высотой боковой поверхности.

Пример 1. Найти площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, основание которой равно 2, а высота 10.

Решение.

Шаг 1. Так как правильная призма по определению является прямой, мы можем использовать формулу S = Ph.

Шаг 2. В основании правильной призмы лежит правильный шестиугольник, поэтому периметр основания будет 6*2=12.

Шаг 3. Осталось только найти площадь боковой поверхности. Заменяем данные в формуле и получаем: S = 12 * 10 = 120.

Ответ: 120.

Пример 2. Дана прямоугольная треугольная призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5. Высота призмы равна 13. Найти площадь боковой поверхности.

Решение.

Шаг 1. Поскольку призма прямая, можно использовать формулу S = Ph.

Шаг 2. Найдите периметр основания. Для этого нужно найти гипотенузу треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора: (sqrt{12^2 + 5^2} = sqrt{144 + 25} = sqrt{169} = 13).

Шаг 3. Найдите периметр основания: P = 12 + 5 + 13 = 30.

Шаг 4. Осталось только найти площадь боковой поверхности. Заменяем данные в формуле и получаем: S = 30 * 13 = 390.

Ответ: 390.

Мы научились находить площадь боковой поверхности. Как найти полную площадь призмы? Вспомните нашу разработку с кубиком. Чтобы найти общую площадь куба, нужно найти площади всех его квадратов. То есть и площадь боковой поверхности, и площадь основания.

Общая площадь поверхности призмы равна сумме площадей всех граней.

Следовательно, мы должны сложить площади всех боковых поверхностей и удвоенную площадь основания. Получаем следующую формулу.

S = Sсторона + 2Sоснование

Подумайте о простом хлебе, черном или белом. Форма очень близка к параллелепипеду. Тогда корка будет площадью всей поверхности параллелепипеда. А все, что внутри, то есть мякиш, можно принять за объем.

Пример 3. Дана прямая призма, основанием которой является ромб с диагоналями 12 и 16. Боковое ребро призмы равно 25. Найти площадь поверхности призмы.

Решение.

Шаг 1. Найдите площадь основания. Площадь ромба можно найти по формуле (frac{1}{2} * D_1 * D_2). Следовательно, площадь ромба равна (frac{1}{2} * 12 * 16 = 96).

Шаг 2. Обратите внимание, что диагонали ромба образуют четыре равносторонних треугольника. Следовательно, чтобы найти сторону ромба, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. По теореме Пифагора сторона ромба будет равна (sqrt{6^2 + 8^2 } = sqrt{36 + 64} = sqrt{100} = 10).

Шаг 3. Периметр ромба будет 4*10=40. Тогда площадь боковой поверхности 40*25=1000.

Шаг 4. Общая площадь поверхности будет 1000 + 2 * 96 = 1000 + 192 = 1192.

Ответ: 1192

Пример 4. Площадь поверхности правильной квадратной призмы равна 1980. Сторона основания равна 5. Найдите боковое ребро этой призмы.

Решение.

Шаг 1. Воспользуемся формулой S = Sside + 2Sbase. Площадь основания будет равна площади квадрата, то есть 5*5=25.

Шаг 2. Подставляем известные значения в формулу:

1980 = Сбок + 2 * 25
Страница = 1930

Шаг 3. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы. Длина окружности 5 * 4 = 20. Тогда получаем уравнение:

20 часов = 1930
ч = 96,5

Шаг 4. Поскольку правильная призма задается условием, высота совпадает с боковым ребром. Следовательно, боковое ребро равно 96,5.

Ответ: 96,5.

Теперь рассмотрим, как найти объем призмы. Предположим, мы налили немного воды в прямоугольный аквариум. Как определить, сколько воды мы налили?

Для этого достаточно воспользоваться формулой объема призмы.

В = Поток. *час

Эта формула является общей, но для каждой призмы она может иметь разный вид, в зависимости от того, какую формулу нужно использовать для нахождения площади основания или высоты.

Чтобы найти объем воды в аквариуме, например, нужно длину умножить на ширину на высоту, а это значит, что формула становится V = abh.

Как найти объем воды в аквариуме? Для этого просто перемножьте ширину, длину аквариума и высоту воды. Таким образом, мы найдем объем призмы, форму которой принимает вода в аквариуме.

Пример 5. Основанием прямоугольной треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 12 и 15. Боковой ребро призмы равно 4. Найдите объем этой призмы.

Решение.

Шаг 1. Сначала найдите площадь основания. В этом случае мы можем использовать формулу (frac{1}{2}ab). Площадь равна (frac{1}{2} * 12 * 15 = 90).

Шаг 2. Воспользуемся формулой объема призмы и подставим известные значения:

В = 90 * 4 = 360.

Ответ: 360.

Пример 6. Дан сосуд, на дне которого лежит правильный треугольник. В этот сосуд налили 3000 см3 воды. Высота жидкости оказалась 10 см. После этого в сосуд опустили шарик и высота изменилась от 10 см до 14 см. Найдите объем шарика.

Решение. Вспомним немного физики, а именно то, что объем вытесненной жидкости равен объему тела. Итак, чтобы найти объем шара, нужно найти, насколько изменился объем воды.

Шаг 1. Найдите площадь дна сосуда. Для этого немного преобразуем формулу объема:
(S = frac{V}{h})
Затем:
(S = frac{3000}{10} = 300)

Шаг 2. А теперь найдем объем после погружения мяча в воду. Оно будет равно 300*14=4200.

Шаг 3. Объем вытесненной жидкости 4200 — 3000 = 1200.

Ответ: 1200.

Мы рассмотрели основные формулы, используемые для решения задач. Стоит отметить, что они универсальны, и в каждой задаче их рационально трансформировать под ситуацию.

Объём призмы

Формула. Объем призмы через основание и высоту:

В = СочХ

Формула. Объем наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра:

В = СпЛ

Формула. Объем правильной прямой призмы по высоте (h), длине стороны (a) и количеству сторон (n):

В =	н	ha2ctg	π
4	н

Площадь поверхности призмы

Формула. Площадь боковой поверхности призмы через периметр основания и высоту:

Sб = Р ч

Формула Поверхность призмы через основание, периметр основания и высоту:

S = 2Соч + P ч

Формула. Площадь поверхности правильной призмы по высоте (h), длине стороны (а) и количеству сторон (n):

С =	н	a2ctg	π	+нет
2	н

Диагонали призмы

Следуя таким свойствам, как объем и площадь поверхности, в задачах по геометрии часто встречается информация о длине той или иной диагонали рассматриваемой фигуры, которая либо задана, либо должна быть найдена из других известных параметров. Рассмотрим, каковы диагонали призмы.

Все диагонали можно разделить на два типа:

1. Расположены в плоскости лица. Они соединяют несмежные вершины либо многоугольника в основании призмы, либо параллелограмма боковой поверхности. Величина длин таких диагоналей определяется на основе знания длин соответствующих ребер и углов между ними. Для определения диагоналей параллелограммов всегда используются свойства треугольников.
2. Призмы, находящиеся внутри объема. Эти диагонали соединяют разные вершины двух оснований. Эти диагонали полностью находятся внутри фигуры. Их длину рассчитать несколько сложнее, чем для предыдущего типа. Метод расчета предполагает учет длин ребер и основания, а также параллелограммов. Для прямых и правильных призм расчет относительно прост, так как выполняется с использованием теоремы Пифагора и свойств тригонометрических функций.

Затем мы приводим примеры вычисления различных диагоналей.

Диагонали сторон четырехугольной прямой призмы

На рисунке выше показаны четыре одинаковые прямые призмы, и даны параметры их ребер. Диагональные призмы A, Diagonal B и Diagonal C показывают диагонали трех разных граней пунктирной красной линией. Так как призма представляет собой прямую с высотой 5 см, а основание представляет собой прямоугольник со сторонами 3 см и 2 см, то найти отмеченные диагонали несложно. Для этого нужно воспользоваться теоремой Пифагора.

Длина диагонали основания призмы (диагональ А) равна:

DA = √(32+22) = √13 ≈ 3,606 см.

Диагональ боковой грани призмы (см. Диагональ B):

DB = √(32+52) = √34 ≈ 5,831 см.

Наконец, длина другой боковой диагонали (см. Диагональ C):

ДС = √(22 + 52) = √29 ≈ 5,385 см.

Длина внутренней диагонали

Теперь вычислим длину диагонали квадратной призмы, которая изображена на предыдущем рисунке (Диагональ D). Это не так уж сложно сделать, если вы заметили, что это гипотенуза треугольника, где катеты будут высотой призмы (5 см) и диагональю D, показанной на рисунке вверху слева (диагональ А). Затем мы получаем:

DD = √(DA2+52) = √(2 2+32+52) = √38 ≈ 6,164 см.