Признаки делимости чисел: на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Вычисления

Понятие делимости

Признаки делимости чисел — это функции чисел, позволяющие определить, является ли число кратным делителю или нет.

Свойства делимости:

  1. Все целые числа делятся на единицу.
  2. Каждое ненулевое целое число делится на натуральное число, равное модулю данного целого числа.
  3. Все натуральные числа являются делителями нуля.
  4. Если целое число а делится на натуральное число b и абсолютное значение а меньше, чем b, то а равно нулю.
  5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то абсолютное значение a не меньше b.
  6. Единственным делителем единицы является сама единица.
  7. Чтобы целое число а делилось на натуральное число b, необходимо и достаточно, чтобы абсолютное значение числа а делилось на b.
  8. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства делимости можно использовать для решения задач и доказательства теорем.

Четные числа — это числа, которые делятся на два: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т д. Ноль относится и к четным числам.

Нечетные числа – это числа, которые не делятся на два: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и так далее

Читайте также: Таблица производных

Признаки делимости

Рассмотрим знаки делимости на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Признак делимости на 1

Каждое целое число делится на 1.

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра четная, т е также делится на два.

Примеры:

  • 4, 32, 50, 112, 2174 — последние цифры этих чисел четные, то есть делятся на 2.
  • 5, 11, 37, 53, 123, 1071 — не делятся на 2, потому что их последние цифры нечетные.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех цифр также делится на 3.

Примеры:

  • 18 — делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
  • 132 — делится на 3, т.к. 1+3+2=6 и 6_3=2.
  • 614 не кратно 3, потому что 6+1+4=11, а 11 не делится на 3 без остатка (11:3=32/3).

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры разряда десятков и цифры разряда единиц также делится на четыре.

Примеры:

  • 64 — делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16 и 16_4=4.
  • 35 не делится на 4, потому что 3⋅2+5=11 и 11_4=23/4.

Количество цифр больше 2

Число является кратным 4, если две последние цифры образуют число, которое делится на четыре.

Примеры:

  • 344 — делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по приведенному выше алгоритму: 4⋅2+4=12, 12_4=3).
  • 5219 не кратно 4, потому что 19 не делится на 4.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

  • в последней цифре стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследняя цифра — четное число;
  • в последней цифре — 2 или 6, а в предпоследней — нечетное число.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.

Примеры:

  • 10, 65, 125, 300, 3480 — делятся на 5, т.к оканчиваются на 0 или 5.
  • 13, 67, 108, 649, 16793 — не делятся на 5, потому что их последние цифры не 0 и не 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно кратно и двум, и трем одновременно (см знаки выше).

Примеры:

  • 486 — делится на 6, потому что делится на 2 (последняя цифра 6 — четное число) и на 3 (4+8+6=18, 18_3=6).
  • 712 — не делится на 6, потому что кратно только 2.
  • 1345 — не делится на 6, т.к не кратно ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма трех десятков и цифр, стоящих в разряде единиц, также делится на семь.

Примеры:

  • 91 — делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28 и 28_7=4.
  • 105 — делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35_7=5 (в числе 105 десять десятков).
  • 812 делится на 7. Вот такая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28 и 28_7=4.
  • 302 — не делится на 7, потому что 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а 29 не делится на 7.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифр, стоящих в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и четырехкратной цифры в разряде сотен делится на восемь.

Примеры:

  • 264 — делится на 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24 и 24_8=3.
  • 716 — 8 не делится, потому что 7⋅4+1⋅2+6=36 и 36_8=41/2.

Количество цифр больше 3

Число делится на 8, если последние три цифры образуют число, которое делится на 8.

Примеры:

  • 2336 — делится на 8, потому что 336 кратно 8.
  • 12547 не кратно 8, потому что 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех цифр также делится на девять.

Примеры:

  • 324 — делится на 9, т.к. 3+2+4=9 и 9_9=1.
  • 921 — не делится на 9, потому что 9+2+1=12 и 12_9=11/3.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается нулем.

Примеры:

  • 10, 110, 1500, 12760 кратны 10, последняя цифра 0.
  • 53, 117, 1254, 2763 не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных чисел равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

  • 737 — делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11_11=1.
  • 1364 — делится на 11, потому что |(1+6)-(3+4)|=0.
  • 24587 не делится на 11, потому что |(2+5+7)-(4+8)|=2 и 2 не делится на 11.

На 12

Число делится на 12, если оно делится на 3 и 4 одновременно. Например, 588 делится на 12, потому что число делится на 3, так как 5+8+8=21, а 21_3=7, и делится на 4, так как число оканчивается на 8, а перед восьмеркой еще 8 — четное число (см знак делимости на 4).

Таблица признаков делимости чисел

 Число  Число делится на число тогда и только тогда, когда
 2  Последняя цифра числа делится на 2
 3  Сумма цифр в числе делится на 3
 4  Число, состоящее из двух последних цифр числа, делится на 4
 5  Число заканчивается на 0 или 5
 6  Число делится на 2 и 3
 7  Сумма переменных сторон * трехзначного числа делится на 7
 8  Число, состоящее из трех последних цифр числа, делится на 8
 9  Сумма цифр в числе делится на 9
 10  Число заканчивается на 0
 одиннадцать  Переменная сумма цифр в числе делится на 11
 12  Число делится на 3 и 4
 1. 3  Сумма трехзначных поверхностей со сменой знака* делится на 13
 25  Число, состоящее из двух последних цифр числа, делится на 25

* Лицами числа называются числа, полученные делением исходного числа на дву- или трехзначные числа, взятые справа налево. Например, деление числа 1234567 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67, а на трехзначные так: 1|234|567.

Признаки делимости чисел и их доказательство

Пусть натуральное число имеет десятичную запись

где цифры этого числа,

Разделим критерии делимости на три группы. Доказательства критериев делимости в каждой группе основаны на одной и той же идее.

Признаки делимости по последним цифрам

 Если  затем разделил на
  (последняя цифра числа) делится на 2 или 5  2 или 5 соответственно
  (число, состоящее из двух последних цифр) делится на 4 или 25  4 или 25 соответственно
  (число, состоящее из трех последних цифр числа) делится на 8  8
  равно 0  10

Доказательство этих признаков основано на той же идее. Приведем на примере со знаком делимости на 25. Запишем число так:

Число 100 делится на 25, поэтому, если число делится на 25, то оно также делится на 25. Обратите внимание, что верно и обратное.

Признаки делимости по сумме цифр

 Если  затем разделил на
 Сумма цифр в числе делится на 3 или 9  3 или 9 соответственно
 Переменная сумма цифр в числе делится на 11  одиннадцать

Докажем признаки делимости на 3 и 9.

Выражение под первыми скобками делится на 9. Следовательно, число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда число делится на 3 или 9 соответственно.

Докажем признак делимости на 11. Для этого сначала заметим, что все числа вида , то есть числа 11, 1001, 100001 и т д., делятся на 11. Покажем это на примере номер 100001:

Пишем номер так:

Все члены в первых скобках делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма переменных цифр в числе делится на 11 .

Признаки делимости по сумме граней

Введем следующее определение.

Определение.

Двузначные грани числа — это числа, полученные делением исходного числа на двузначные числа. Например, деление числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (деление числа начинается с конца). Цифры 1, 23, 45, 67, 89 — двузначные лица числа 123456789.

Трехзначные ребра числа — это числа, полученные путем деления исходного числа на трехзначные числа. Например, деление числа 1234567890 на трехзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 — это трехзначные грани числа 1234567890.

Перейдем к признакам делимости.

 Если  затем разделил на
 Сумма двузначных граней делится на 11  одиннадцать
 Сумма трехзначных граней делится на 37  37
 Переменная сумма трехзначных граней делится на 7, 11, 13  7, 11, 13 соответственно

Докажем признак делимости на 11 суммой двух значений

В левой скобке все числа делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его двузначных граней делится на 11.

Аналогично доказываются остальные критерии.

Где применяется в жизни

В жизни знаками делимости удобно пользоваться, когда под рукой нет гаджетов. А процесс определения делимости чисел значительно упрощается. В этом случае даже не нужно вычислять результат прямого деления, если в задаче нужно только выяснить, делится ли одно число на другое.

Области использования знаков делимости:

  • торговля — например, определение примерной стоимости покупки при ограниченности финансовых ресурсов;
  • строительство – примерное распределение строительных материалов;
  • математические игры и головоломки;
  • бизнес — определение капитала и так далее

Примеры решения задач

Пример 1

Назовите 3 числа, которые делятся на 2.

Решение.

Вспомните тест на делимость на 2:

Если число оканчивается на четное число, оно делится на 2.

Тогда искомые числа могут быть, например: 456, 768, 800.

Числа 6, 8, 0 — четные числа: это означает, что числа 456, 768, 800 делятся на 2.

Пример 2

Какое из чисел 234, 450, 400, 3400, 35, 900, 235 000 делится на 100?

Объяснение.

Мы знаем признак делимости на 10:

Если число оканчивается на 0, то число делится на 10.

Когда вы хотите узнать, делится ли число на 100, поступаем так же, как и при проверке делимости на 10. Только в этом случае вам придется искать числа, оканчивающиеся на два нуля.

Тогда ответ — числа: 400, 3400, 900, 235 000.

Точно так же мы поступаем, когда хотим найти числа, которые делятся на 1000, 1000 и так далее. Ищем числа по количеству нулей после единицы в делителе.

Пример 3

Какие из чисел 100, 35, 450, 5680, 20 делятся и на 5, и на 10.

Решение.

Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.

Итак, чтобы число делилось и на 5, и на 10, нужно найти что-то общее в знаках. Обычным будет окончание чисел с 0.

По признакам делимости и на 5, и на 10 получаем числа в ответе: 100, 450, 5680 и 20.

Пример 4

Найдите три числа, которые делятся на 2 и 9.

Решение.

Чтобы число делилось и на 2, и на 9, должны быть выполнены условия для обоих знаков.

Число делится на 2, если оно оканчивается на четное число. Четные числа 0, 2, 4, 6, 8.

Число делится на 9, если сумма цифр в этом числе делится на 9.

Тогда искомые числа могут быть: 18, 396 и 468.

При выделении единиц в 18, 396 и 468 получается соответственно 8, 6 и 8 — четные числа, значит, числа 18, 396 и 468 делятся на 2.

Осталось проверить, делятся ли они на 9. Считаем сумму цифр в числах.

18: 1+8=9 — 9 делится на 9;396: 3+9+6=18 — 18 делится на 9;468: 4+6+8=18 — 18 делится на 9..

Итак, числа 18, 396 и 468 делятся на 9.

Цифры удовлетворяют условиям.

Ответы: 18, 396 и 468.

Пример 5

Какие из чисел 456, 567, 3453, 768 и 34500 кратны 3?

Объяснение.

Слово «умножать» является синонимом слова «разделять». Затем нужно найти числа, которые делятся на 3.

По признаку делимости искомые числа будут представлять собой сумму цифр, которые делятся на три.

456: 4+5+6=15;567:5+6+7=18;3453:3+4+5+6=18;768:7+6+8=21;34500:2+4+5= одиннадцать.

Выберите числа, сумма которых делится на 3:

456, так как сумма цифр равна 15, а 15 без остатка делится на 3;

567, потому что сумма цифр равна 18, а 18 делится на 3 без остатка;

3453 — сумма цифр 18, значит число делится на 3;

768 — сумма цифр 21, значит число делится на 3.

Ответы: 456, 567, 3453 и 768.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word