Первый признак равенства прямоугольных треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников вытекают из трех знаков равенства треугольников, но прямой угол искажает их, вернее, расширяет, одновременно облегчая. Любой из признаков конгруэнтности в прямоугольных треугольниках можно заменить одним из трех важнейших, но это заняло бы слишком много времени, поэтому были выявлены 5 свойств и признаков конгруэнтности в прямоугольных треугольниках.
Очень часто вместо использования основных признаков подобия треугольников применяют метод наложения, когда две фигуры мысленно накладываются друг на друга. Нельзя сказать, что это правда или ложь. Просто еще один способ доказать. Но нельзя поверить, что какое-либо свойство может быть доказано обычной суперпозицией. Именно поэтому мы рассмотрим доказательство признака равенства прямоугольных треугольников через три основных признака равенства треугольников.
Первый критерий равенства прямоугольных треугольников гласит: два прямоугольных треугольника равны, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника. Кратко этот признак называется равенством по двум ногам.
Доказать эту функцию очень просто. Дано: две стороны прямоугольного треугольника равны. Между катетами прямой угол, равный 90 градусам, значит, углы треугольников равны. Следовательно, два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними.
Второй признак (по катету и прилежащему острому углу)
Если катет и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Данный:
Доказывать: 
Доказательство:
по одной стороне и двум примыкающим к ней углам.
Третий признак (по катету и противолежащему острому углу)
Если катет и противолежащий ему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Данный:
(рис. 264).
Доказывать:
Доказательство:
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. От чего 
следует за ним 
Затем 
по одной стороне и двум примыкающим к ней углам.
Четвертый признак (по гипотенузе и острому углу)
Если гипотенуза и острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Данный:
(рис. 265).
Доказывать:
Доказательство:
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. От чего 
следует за ним 
Затем 
по одной стороне и двум примыкающим к ней углам.
Читайте также: Теорема синусов: формула и примеры решения задач
Пятый признак (по катету и гипотенузе).
Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Данный:
(рис. 266).
Доказывать:
Доказательство:
Наложим треугольники A1B1C1 на треугольник ABC так, чтобы равные катеты A1C1 и AC находились на одной линии, а вершины B1 и B находились по разные стороны от прямой AC. Треугольник A1B1C1 займет положение треугольника AB2C. Потому что 
B2CB — развернут и AB2 = AB, тогда треугольник B2AB равнобедренный, катет AC — высота. По свойству равнобедренного треугольника высота, проведенная к основанию, также будет медианой. Тогда B2C=CB и треугольники ABC и AB2C равны по двум сторонам.
Отсюда
Пример:
Рисунок 267 
Докажите подобие треугольников: а) 
ФАУ и 
АЦП б) 
АОБ и 
ХПК.
Доказательство:
а) Рассмотрим прямые углы ABC и ADC. Гипотенуза АС у них общая, катеты AD и ВС равны по условию. Затем
АВС =
АЦП по катету и гипотенузе.
б) Подобие треугольников ABC и ADC влечет подобие сторон AB и CD (доказано в пункте а). Затем
АОБ =
ХПК по катету (АВ=CD) и противолежащему острому углу (
АОБ =
ХПК как вертикальный).
Пример:
Дан треугольник АВС, АК и СМ — высоты, проведенные к сторонам, О — точка пересечения (рис. 268). Докажите, что если треугольники AOM и SOC равны, то треугольник ABC равнобедренный.
Доказательство:
Потому что 
АОМ =
COK оба по вертикали, затем 
МАО =
КСО (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). Из равенства треугольников АОМ и СОС следует равенство гипотенуз АО и СО. Треугольник АОС равнобедренный
ОАС =
ОСА, образующий углы в основании равнобедренного треугольника. Затем 
БАК =
ВСА как составленный из равных углов. Треугольник АВС равнобедренный. КЭД
