Проекция вектора

Предварительные сведения

Основным понятием является непосредственно понятие вектора. Чтобы ввести определение геометрического вектора, вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезок – это часть прямой линии, имеющая две границы в виде точек.

Сегмент может иметь 2 направления. Для указания направления назовем одну из границ отрезка началом, а другую границу — концом. Направление указывается от начала к концу сегмента.

IT профессия «Разработчик ПО» Получите необходимые для работы знания, соберите портфолио собственных проектов и начните зарабатывать $$ПодробнееОпределение 2

Вектор или направленный отрезок — это отрезок, где известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая — концом.

Обозначение: Две буквы: $overline{AB}$ — (где $A$ — начало, а $B$ — конец).

С маленькой буквы: $overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис. 2).

«Проекция вектора на ось. Как найти проекцию вектора» Готовые курсовые и рефераты Купить от 250 ₽ Консультация специалиста по теме Найти эксперта Помочь написать курсовую Узнать стоимость

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Эти векторы коллинеарны.
2. Если они направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $overline{a}↑↑overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Эти векторы коллинеарны.
2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $overline{a}↑↓overline{d}$

Определение 6

Длина вектора $overline{a}$ равна длине отрезка $a$.

Обозначение: $|overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Они выровнены;
2. Их длины равны (рис. 5).

Числовая проекция вектора на ось

Числовое свойство проекции вектора на ось — это числовая проекция вектора на данную ось.

Определение 2

Числовая проекция вектора на ось — это число, равное произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, определяющим направление оси.

Числовая проекция AB→ на L обозначается np LAB→, а a→ на b→ обозначается npb→a→.

На основании формулы получаем npb→a→=a→ cosa→, b→^, где a→ — длина вектора a→, a⇀, b→^ — угол между векторами a→ и b→.

Получаем формулу для расчета числовой проекции: npb→a→=a→cosa→, b→^. Он применим, когда известны длины a→ и b→ и угол между ними. Формула применима к известным координатам a→ и b→, но есть ее упрощенная версия.

Пример 2

Найдите числовую проекцию a→ на прямую в направлении b→ с длиной a→ равной 8 и углом между ними 60 градусов. По условию имеем a⇀=8, a⇀, b→^=60°. Итак, подставляем числовые значения в формулу npb⇀a→=a→ cosa→,b→^=8 cos 60°=8 12=4.

Ответ: 4.

При известном cos(a→, b→^)=a⇀, b→a→ b→ имеем a→, b→ как скалярное произведение a→ и b→. Следуя формуле npb→a→=a→ cosa⇀, b→^, можно найти числовую проекцию a→, направленную вдоль вектора b→, и получить npb→a→=a→, b→b→. Формула соответствует определению, данному в начале статьи.

Определение 3

Числовая проекция вектора a→ на ось, совпадающую по направлению с b→, есть отношение скалярного произведения векторов a→ и b→ на длину b→. Формула npb→a→=a→,b→b→ применима для нахождения числовой проекции a→ на прямую, совпадающую по направлению с b→, при заданных координатах a→ и b.

Пример 3

Дано b→=(-3, 4). Найдите числовую проекцию a→=(1, 7) на L.

Решение

На координатной плоскости npb→a→=a→b→b→ имеет вид npb→a→=a→, b→b→=ax bx+ay bybx2+by2, где a→=(ax, ay) и b →=bx , выкл. Чтобы найти числовую проекцию вектора a→ на ось L, нужно: npLa→=npb→a→=a→,b→b→=ax bx+ay bybx2+by2=1 (-3)+7 4 (-3)2+42=5.

Ответ: 5.

Пример 4

Найдите проекцию a→ на L, совпадающую с направлением b→, где a→=-2, 3, 1 и b→=(3, -2, 6). Дано трехмерное пространство.

Решение

Даны a→=ax, ay, az и b→=bx, by, bz, мы вычисляем скалярное произведение: a⇀, b→=ax bx+ay by+az bz. Найдем длину b→ по формуле b→=bx2+by2+bz2. Отсюда следует, что формула для определения числовой проекции a→ будет иметь вид: npb→a⇀=a→, b→b→=ax·bx+ay·by+az·bzbx2+by2+bz2.

Подставляем числовые значения: npLa→=npb→a→=(-2) 3+3 (-2)+1 632+(-2)2+62=-649=-67.

Ответ: -67.

Давайте посмотрим на связь между a→ на L и длиной проекции a→ на L. Проведем ось L, добавив a→ и b→ из точки на L, после чего проведем перпендикулярную линию из конца a→ в L и спроецировать в L. Возможны 5 вариантов изображения:

Первый случай a→=npb→a→→ означает a→=npb→a→→, следовательно, npb→a→=a→ cos(a,→b→^)=a→ cos0°=a→= npb→ а→→.

Во втором случае используется npb→a→⇀=a→ cosa→,b→, поэтому npb→a→=a→cos(a→,b→)^=npb→a→→.

Третий случай объясняет, что при npb→a→→=0→ получаем npb⇀a→=a→ cos(a→,b→^)=a→ cos90°=0, тогда npb→a→→=0 и npb →а→=0=npb→а→→.

Четвертый случай показывает npb→a→→=a→ cos(180°-a→,b→^) = -a→cos(a→, b→^), за которым следует npb→a→=a→cos(a →,b→^)=-npb→a→→.

Пятый случай показывает a→=npb→a→→, что означает a→=npb→a→→, поэтому мы имеем npb→a→=a→ cosa→,b→^=a→ cos180°=-a→=- нпб→а→.

Определение 4

Числовая проекция вектора a→ на ось L, направленную как b→, имеет смысл:

• длина проекции вектора a→ на L при условии, что угол между a→ и b→ меньше 90 градусов или равен 0: npb→a→=npb→a→→ с условием 0≤(a→ ,б→)^< 90°;
• ноль, если a→ и b→ перпендикулярны: npb→a→=0, когда (a→, b→^)=90°;
• длина проекции a→ на L, умноженная на -1, при наличии тупого или тупого угла векторов a→ и b→: npb→a→=-npb→a→→ с условием 90°<>

Пример 5

Дана длина проекции a→ на L, равная 2. Найдите числовую проекцию a→ при условии, что угол равен 5π6 радиан.

Решение

Это видно из условия, что этот угол тупой: «» npla→=»»>

Ответ: -2.

Пример 6

Дана плоскость Oxyz с длиной вектора a→ равной 63,b→(-2, 1, 2) с углом 30 градусов. Найдите координаты проекции a→ на ось L.

Решение

Сначала вычислим числовую проекцию вектора a→: npLa→=npb→a→=a→ cos(a→,b→)^=63 cos30°=63 32=9.

По условию угол острый, тогда числовая проекция a→= длина проекции вектора a→: npLa→=npLa→→=9. Этот случай показывает, что векторы npLa→→ и b→ сонаправлены, поэтому существует число t, для которого выполняется равенство: npLa→→=t·b→. Отсюда мы видим, что npLa→→=tb→, поэтому мы можем найти значение параметра t: t=npLa→→b→=9(-2)2+12+22=99=3.

Тогда npLa→→=3 b→ с координатами проекции вектора a→ на ось L равно b→=(-2,1, 2), где необходимо умножить значения на 3 Имеем npLa→→=(-6, 3, 6). Ответ: (-6, 3, 6).

Необходимо повторить изученную ранее информацию об условии коллинеарности векторов.

Читайте также: Коллинеарность векторов: условия, правила и примеры

Виды проекций вектора

1. проекция на ось ОХ.
2. проекция на ось OY.
3. проекция на вектор.

Проекция на ось OX	Проекция на ось OY	Проекция на вектор
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора противоположно направлению оси OX, проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно направлению оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно направлению вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен оси OY, проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нулевой вектор).	Если вектор AB перпендикулярен оси OY, проекция A’B’ равна нулю (нулевой вектор).	Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нулевой вектор).

1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак? Ответ: Да, векторные проекции могут быть отрицательными. При этом вектор имеет противоположное направление (см как направлены ось ОХ и вектор АВ)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нулевой вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).

Пример 1. Вектор (рис. 1) образует с осью ОХ угол 60° (задается вектором а). Если OE — единица масштаба, то |b|=4, тогда .
На самом деле длина вектора (геометрическая проекция b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси ОХ.

Пример 2. Вектор (рис. 2) образует с осью ОХ (с вектором а) угол (а,b) = 120°. Длина |б| вектор b равен 4, поэтому prab=4 cos120o = -2.
На самом деле длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.

Пример 3. Пусть вектор b задан через координаты точек M(1;1), N(4;5).
Координаты вектора: MN(4-1;5-1) = MN(3;4)
Тогда модуль вектора MN равен:
Вектор направления оси OX равен вектору M’N’, где координаты точек равны M'(1;0) N'(4;0). Следовательно, вектор M’N’ имеет координаты: x = 4-1, y = 0-0 = 0.
М’Н'(3;0)

Пример 4. Найти проекцию вектора c на вектор d;
с = АС = (-2; -1; 3), d = СВ (-5; -3; 3)
Найдите проекцию вектора AC на вектор BC

Пример 5. Найти проекцию prb(-2a+4b)
где a=2m+3n и b=4m-n, |m|=k, |n|=l, угол между ∠(m,n)= π
Тогда -2a+4b = -4m+6n + 16m-4n = 12m+2n

Найдем модуль вектора 4m-n.
а) Рассмотрим треугольник со сторонами а, b, с. По закону косинусов:
a2 = b2 + c2 – 2bc∙cos(b,c), откуда
или б) Рассмотрите другое решение.

Поскольку угол между векторами равен π, т е. 180°, векторы лежат на одной оси.
Таким образом, 4m-n = 4*1 — 1 = 3.
Находим проекцию prb(-2a+4b) = prb(12m+2n) =

Виды проекций по определению проекция вектора

1. Геометрическая проекция вектора АВ на ось (вектор) называется вектором А’В’, где начало А’ — проекция начала А на ось (вектор), а конец В’ — проекция конец В на той же оси.
2. Алгебраической проекцией вектора АВ на ось (вектором) называется длина вектора А’В’, взятая со знаком + или — в зависимости от того, имеет ли вектор А’В’ то же направление, что и ось (вектор).

Виды проекций по системе координат

1. проекции на плоскость (система координат OX,OY). Пример: а(2;-3), а=2i-3j
2. проекции в пространстве (система координат OX,OY, OZ). Пример: а(2;-3;1), а=2i-3j+k
3. проекции в N-мерном пространстве

Свойства проекции вектора

1. Геометрическая проекция вектора — это вектор (у него есть направление).
2. Алгебраическая проекция вектора — это число.

Теоремы о проекциях вектора

Теорема 1. Проекция суммы векторов на любую ось равна проекции членов векторов на эту же ось. АС’=АВ’+В’С’
Теорема 2. Алгебраическая проекция вектора на любую ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором: Prab = |b| потому что (а, б)

Нахождение проекции вектора

Проекция вектора AB на ось l есть число, равное отрезку A1B1. Точки A1 и B1 являются проекциями точек A и B на ось l.

Проекция вектора a на направление вектора b есть число, равное проекции a на ось, проходящую через b.

Формула нахождения проекции вектора на вектор

Вы можете вычислить проекцию a на направление b следующим образом:

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора ai в направлении вектора b из определения скалярного произведения получается формула:

Прба =	аб
|б|

Как разложить вектор на проекции

Мы уже нашли длину и направление вектора по его координатам.

Теперь решим обратную задачу: по длине и направлению вектора найдем его координаты.

На плоскости (две оси) легко разложить вектор на проекции, если знать:

• длина вектора и
• угол между вектором и некоторой осью (угол обозначен дугой).

Алгоритм действий для разложения вектора на проекции

1. Рисуем прямоугольник так, чтобы вектор стал его диагональю.
2. Диагональ разделит прямоугольник на треугольники. Эти два треугольника прямоугольные.
3. Выберем треугольник, угол которого отмечен дугой.
4. Дуга всегда одним концом касается гипотенузы, а другим концом — одного из катетов.

Важно! Вектор, который мы рисуем, всегда является гипотенузой.

Рис. 2. Проекция вектора поможет найти угол между вектором и осью

Формулы разложения вектора на проекции

Формулы разложения легко запомнить с помощью предложения:

Умножаем гипотенузу на косинус (угла), получаем катет, который касается (дуги).

На языке математики эта фраза будет записана так:

|vec{м}| cdot cos(alpha) = m_{x}

Ног (m_{x} ) является координатой «x» вектора.

Если мы умножим длину вектора на синус, то получим вторую сторону:

|vec{м}| cdot sin(alpha) = m_{y}

Ног (m_{y} ) — это координата «y» вектора.

Запишем обе формулы в виде системы:

big boxed { begin {case} left | vec {m} right | cdot cos(alpha) = m_{x} left|vec{m}right| cdot sin(alpha) = m_{y} end{cases}}

Значение (|vec{m}| ) — это длина вектора (vec{m} )

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Пример 1. Найти проекцию вектора a = {1; 2} к вектору b = {3; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

аб = 1 3 + 2 4 = 3 + 8 = 11

Найдите модуль вектора b

|б| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Прба =	аб	=	одиннадцать	= 2,2
|б|	5

Ответ: Pr ba = 2,2.

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Пример 2. Найти проекцию вектора a = {1; 4; 0} в вектор b = {4; 2; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

аб = 1 4 + 4 2 + 0 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдите модуль вектора b

|б| = √42 + 22 + 42 = √16 + 4 + 16 = √36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Прба =	аб	=	12	= 2
|б|	6

Ответ: Пр ба = 2.

Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси

Рассмотрим вектор
плоский
(рис. 28). Его проекции на ось
определить по рисунку:

Векторный модуль
находим по теореме Пифагора из треугольника ACD:
Обмен
на
мы получаем:
По значению косинуса находим угол

Таким образом, вектор, лежащий в данной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.

Вектор в пространстве определяется тремя проекциями:
(рис. 29).

Основные выводы:

1. Проекцией вектора на ось называется длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
2. Если угол между вектором и осью острый, проекция на эту ось положительна; если угол тупой, то он отрицательный; если угол прямой, он равен нулю.
3. Проекция вектора на ось равна произведению модуля и косинуса угла между вектором и осью.
4. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пример №1

•  Определить сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов
  (рис. 30). Найдите модули суммарных векторов
  и различия

Решение

Сумма векторов
находим по правилу для треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Поскольку векторы
взаимно перпендикулярны, модуль вектора
находим по теореме Пифагора: 
Разница векторов 
определяем по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).

Векторный модуль
найти похожие:

Отвечать:

Пример №2

Экспресс-вектор
через векторы
(рис. 33). Как связаны проекции этих векторов на оси Ox и Oy?

Решение

По правилу треугольника находим:
Отсюда
После определения координат
векторы начальной и конечной точек
найти проекции этих векторов:

При расчете будем следить за тем, чтобы проекции векторов были связаны теми же сходствами, что и сами векторы: 

Отвечать: