Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

Формулы произведения. Список

Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

1. Произведение синусов углов α и β равно половине разности косинуса угла α-β и косинуса угла α+β.
2. Произведение косинусов углов α и β равно половине суммы косинуса угла α-β и косинуса угла α+β.
3. Произведение синуса угла α и косинуса угла β равно половине суммы синуса угла α-β и синуса угла α+β.

Формулы продукта

Для всех α и β формулы

• sinα·sinβ=12cosα-β-cosα+β;
• cosα·cosβ=12cosα-β+cosα+β;
• sinα·cosβ=12sinα-β+sinα+β.

Тригонометрические формулы произведения

Рассмотрим формулировки, формулы произведений. Независимо от значений углов α и β или того, какие греческие буквы используются вместо обозначений α и β, эти формулы используются и рассчитываются по ним.

Произведение синусов формула

Произведение угла сина α и угла сина β будет равно половине разницы между косинусом угла (α−β) и (α+β).

sin alpha cdot sin beta=frac{1}{2}(cos (alpha-beta)-cos (alpha+beta))

Произведение косинусов формула

Произведение косинуса угла α и косинуса угла β равно половине суммы косинусов угла (α-β) и (α+β).

cos alpha cdot cos beta=frac{1}{2}(cos (alpha-beta)+cos (alpha+beta))

Произведение синусов и косинусов формулы

Произведение синуса угла α и косинуса угла β равно половине суммы синуса угла (α-β) и синуса угла (α+β).

sinalphacdotcosbeta=frac{1}{2}(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta))

Выведение тригонометрических формул

Для вывода формул, размещенных выше, используются формулы сложения функций cos и sin, а также свойства равенства. Из этого свойства следует, что если сложить правую и левую части правильного равенства с другим столь же верным равенством, образуется новое правильное равенство.

Произведение косинусов

Приведем подробный вывод изучаемых формул

Для этого возьмем формулы косинуса разности и суммы:

[cos (alpha+beta)=cos alpha cdot cos beta-sin alpha cdot sin beta][cos (alpha-beta)=cos alpha cdot cosbeta+sinalpha cdotsinbeta]

Далее мы добавляем две формулы с каждой стороны. Получается следующее:

[cos (alpha+beta)+cos (alpha-beta)=cos alpha cdot cos beta-sin alpha cdot sin beta+cos alpha cdot cos beta+sinalphacdotsinbeta]

Добавляем те же термины: [cos alpha cdot cos beta+cos alpha cdot cos beta=2 cdot cos alpha cdot cos beta]

Противоположные члены вычитаются: [-sin alpha cdot sin beta+sin alpha cdot sin beta=0]

Поэтому [cos (alpha+beta)+cos (alpha-beta)=2 cdot cos alpha cdot cos beta]

В этом равенстве делим правую, левую часть на 2, меняя местами члены.

Получается следующее выражение [cos alpha cdot cos beta=frac{1}{2}(cos (alpha+beta)+cos (alpha-beta))]

Мы доказали формулу умножения косинуса угла на косинус другого угла.

Читайте также: Деление десятичных дробей: правила, примеры, решения, как целое число разделить на десятичную дробь

Произведение синусов

Теперь докажем следующее. Запишем формулу суммы косинусов следующим образом:

[-cos (alpha+beta)=-cos alpha cdot cos beta+sin alpha cdot sin beta]

Добавьте это равенство [cos (alpha-beta)=cos alpha cdot cos beta+sin alpha cdot sin beta]

Сложить члены с одинаковыми знаками и функциями, вычесть противоположные члены, преобразовать выражение:

[-cos (alpha+beta)+cos (alpha-beta)=-cos alpha cdot cos beta+sin alpha cdot sin beta+cos alpha cdot cos beta+sin alpha cdot sin beta-cos (alpha+beta)+cos (alpha-beta)=2 cdot sin alpha cdot sin beta]

В этом равенстве делим правую и левую части на 2 и меняем местами.

sin alpha cdot sin beta=frac{1}{2}(cos (alpha-beta)-cos (alpha+beta))

Мы вывели формулу умножения синуса одного аргумента на синус другого аргумента.

Произведение синуса на косинус

Выведем формулу произведения синуса и косинуса разных аргументов. Теперь воспользуемся формулой суммы и разности его функций. Складываем правую и левую части выражений:

[sin (alpha+beta)=sin alpha cdot cos beta+cos alpha cdot sin beta][sin (alpha-beta)=sin alpha cdot cos beta-cos alpha cdot sin beta][sin (alpha+beta)+sin (alpha-beta)=sin alpha cdot cos beta+ cos alpha cdot sin beta+sin alpha cdot cos beta-cos alpha cdot sin beta]

Сложить члены с одинаковыми знаками и функциями, вычесть противоположные члены, преобразовать выражение:

[sin (alpha+beta)+sin (alpha-beta)=2 cdot sin alpha cdot cos beta]

В этом равенстве делим правую, левую часть на 2, меняя местами члены.

[sinalphacdotcosbeta=frac{1}{2}(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta))]

Мы получили формулу произведения синуса и косинуса.

Примеры задач

Оценивайте и решайте задачи, используя формулы произведения косинуса (cos), синуса (sin), синуса и косинуса (cos и sin). Считается, что произведение примеров решений синуса и косинуса ясно представляет использование этих формул для определенных углов.

Сначала проверим справедливость формулы умножения функции sin одного угла на sin другого угла.

Пример 1

Пусть углы равны: α=60°,β=30°.

Решение:

Воспользуемся формулой производного синуса, подставив в нее указанные значения из нашей задачи:

sin alpha cdot sin beta=frac{1}{2}(cos (alpha-beta)-cos (alpha+beta))[sin 60^{ circ} cdot sin 30^{circ}=frac{1}{2}left(cos left(60^{circ}-30^{circ}right)-cos слева (60 ^ { circ} + 30 ^ { circ} справа) справа)]

Подставьте конкретные значения из таблицы тригонометрических функций и рассчитайте, записав ответ:

[sin 60^{circ} cdot sin 30^{circ}=frac{1}{2} cdotleft(frac{sqrt{3}}{2}-0right)][sin 60^{circ} cdot sin 30^{circ}=frac{sqrt{3}}{4}]

Таким образом, мы проверили полученную формулу на практике, и также стало ясно, что она верна.

Пример 2

Вам нужно умножить синус 75° на косинус 15°, найти конкретное значение произведения.

Решение:

У нас нет точных данных для таких углов, но значение можно найти по формуле произведения синуса и косинуса, то есть [sin 75^{circ} cdot cos 15^{circ} ]. Итак, мы получаем:

[ sin 75 ^ { circ} cdot cos 15 ^ { circ} = frac {1} {2} влево ( sin влево (75 ^ { circ} -15 ^ { circ} right)+sinleft(75^{circ}+15^{circ}right)right)]

Рассчитываем, получаем следующее:

[sin 75^{circ} cdot cos 15^{circ}=frac{1}{2}left(sinleft(60^{circ}right)+sin влево (90 ^ { круг} вправо) вправо)]

Подставим известные нам значения из тригонометрической таблицы и посчитаем, ответ запишем:

[sin 75^{circ} cdot cos 15^{circ}=frac{1}{2}left(frac{sqrt{3}}{2}+1right)= гидроразрыва { sqrt {3}} {4} + гидроразрыва {1} {2}]

Ответ: [frac{sqrt{3}}{4}+frac{1}{2}]

Пример 3

Пусть углы имеют значения: [alpha=frac{Pi}{2}, beta=frac{Pi}{6}]. Найдите значение произведения греха этих углов.

Решение:

Воспользуемся произведением синусов по формуле:

sin alpha cdot sin beta=frac{1}{2}(cos (alpha-beta)-cos (alpha+beta))

Замените данные и получите:

[sin frac{pi}{2} cdot sin frac{pi}{6}=frac{1}{2}left(cos left(frac{pi}{ 2}-frac{pi}{6}right)-cosleft(frac{pi}{2}+frac{pi}{6}right)right)]

Найдите знаменатель двух дробей:

[sin frac{pi}{2} cdot sin frac{pi}{6}=frac{1}{2}left(cos left(frac{pi}{ 3}right)-cosleft(frac{2 pi}{3}right)right)]

Для этого нам понадобится таблица со значениями функций косинуса и синуса, произведение синуса преобразуем в сумму чисел:

[sin frac{pi}{2} cdot sin frac{pi}{6}=frac{1}{2} cdotleft(frac{1}{2}- влево(-frac{1}{2}вправо)вправо)]

Подсчитаем и запишем ответ:

[sin frac{pi}{2} cdot sin frac{pi}{6}=frac{1}{2}]

Ответ: [frac{1}{2}]

Пример 4

Дается следующее значение: [cos cos alpha=0.3].

Оцените выражение и найдите, запишите ответ в следующем виде [operatorname{coscos} frac{alpha}{2} cdot operatorname{coscos} frac{3 alpha}{2}]

Решение:

Произведение формулы косинуса:

cos alpha cdot cos beta=frac{1}{2}(cos (alpha-beta)+cos (alpha+beta))

Подставляем в формулу и получаем выражение:

[operatorname{coscos} frac{alpha}{2} cdot operatorname{coscos} frac{3 alpha}{2}=frac{1}{2}left(operatorname{coscos} left(frac{alpha}{2}+frac{3 alpha}{2}right)+operatorname{coscos}left(frac{alpha}{2}-frac{3 альфа} {2}справа)справа)]

Обратите внимание, что [operatorname{coscos}(-alpha)=operatorname{coscos}(alpha)], мы используем формулу с двойным аргументом

[cos cos 2 альфа=альфа-альфа=2 альфа-1]

Затем заменяем данные из задачи [operatorname{coscos} alpha=0.3]

Получаем следующее значение:

[operatorname{coscos} 2 alpha=2 cdot 0,3^{2}-1=0,18-1=-0,82]

Используем значения в нашем выражении, получим и напишем ответ:

[frac{1}{2} cdotleft(frac{1}{2}+sinsinleft(2alpha-frac{pi}{12}right)right) cdot frac{1}{2} cdotleft(frac{1}{2}-1right)=-frac{1}{4}]

Ответ: [-frac{1}{4}]

Комментарий. Эти формулы произведения используются для преобразования сложных тригонометрических выражений в более простые.

Геометрическое определение

|БД| длина дуги окружности с центром в точке А.
α — угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α) — тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равного отношению длин противолежащего катета |BC| к длине соседнего участка |AB|. Котангенс (ctg α) — тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равного отношению длин прилежащего катета |AB| на длину противоположного катета |BC|.

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

sin2α + cos2α = 1

Формулы двойного, тройного и так далее угла

Формулы двойного, тройного и т д углов (их также называют формулами кратных углов) показывают, как тригонометрические функции двойного, тройного и т д углов (
) выражается через тригонометрические функции одного угла
. Их вывод основан на формулах сложения.

Формулы понижения степени

sin2α =	1 – cos 2α
2

cos2α =	1 + cos 2α
2

sin3α =	3 грех α – грех 3 α
4

cos3α =	3 cos α + cos 3α
4

Примеры применения формул произведения тригонометрических функций

Пример 1. Вычислите точное значение следующего выражения:
.

Решение. Поскольку найти точное решение ни для одной из них невозможно
, ни для
попробуем использовать формулу (d’):

Отвечать:
.

Пример 2. Вычислите точное значение следующего выражения:
.

Решение. Поскольку ни для одного из них нет точного решения
, ни для
, попробуем использовать формулу (а):

Отвечать:

.

Формулы общего вида

Определения Синус угла α (обозначение sin(α)) есть отношение катета, противолежащего углу α, к гипотенузе Косинус угла α (обозначение cos(α)) есть отношение катета, следующего к гипотенузе угол α к гипотенузе. α)) – отношение катета, противолежащего углу α, к прилежащему. Эквивалентным определением является отношение синуса угла α к косинусу этого же угла – sin(α)/cos(α). Эквивалентным определением является отношение косинуса угла α к синусу того же угла – cos(α)/sin(α) Другие тригонометрические функции: секанс – sec(α) = 1/cos(α); косеканс — cosec(α) = 1/sin(α).(4+) углов достаточно раскрасить по формулам соответственно косинуса, синуса, тангенса или котангенса суммы, или привести к предыдущим случаям, уменьшить к формулам тройного и двойного углов.

Формулы преобразования произведений функций

sinα · sinβ =	1	(cos(α – β) – cos(α + β))
2

sinα, потому что β =	1	(грех (α + β) + грех (α – β))
2

cos α cos β =	1	(cos(α + β) + cos(α – β))
2

Основные тригонометрические формулы

sin2α + cos2α = 1tg α ctg α = 1

1 + tg2α =	1
cos2α

1 + ctg2α =	1
sin2α

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x являются периодическими с периодом π.