Прямая линия в математике с примерами решения и образцами выполнения

Прямые, параллельные оси ординат

Прямые, параллельные оси Оу, задаются формулой

х=с ,

(3)

где с — произвольное число, и показано на рис. 13, 14, 15.

Рис. 13 Рис. 14 Рис. 15

Примечание 1. Из рис. 13, 14, 15 следует, что зависимость, заданная формулой (3), не является функцией, так как значению аргумента х = с соответствует бесконечное множество значений у .;

Уравнения прямых, параллельных осям координат

Проведем прямую, параллельную оси Оу и проходящую на расстоянии а от нее (рис. 10).

Все точки этой прямой одинаково удалены от оси у на расстояние, равное а. Следовательно, для каждой точки прямой АМ абсцисса одинакова, а именно:

х = а, (1)

ордината другая. Таким образом, уравнение (1) полностью определяет прямую, параллельную оси Оу, и, следовательно, является ее уравнением. Начертите прямую линию, параллельную оси x, на расстоянии.

равным b от него (рис. 11). Все точки этой прямой одинаково удалены от оси Ох на расстояние, равное b, то есть любая точка на прямой ВМ имеет постоянную ординату, а именно:

абсцисса другая. Как видно, уравнение (2) полностью определяет прямую, параллельную оси Ох, и, следовательно, является ее уравнением.

Уравнения (1) и (2) можно использовать для построения соответствующих им линий. Например, пусть дана прямая х = — 4. Поместив отрезок ОА = — 4 на ось Ох (рис. 12) и проведя через точку А прямую, параллельную оси Оу, получим необходимая прямая.

Уравнения осей координат

Возьмем уравнение прямой, параллельной оси Оу:

х = а

и начнем уменьшать в нем модуль ai, то прямая, определяемая этим уравнением, будет приближаться к оси Оу, оставаться все время параллельной ей, а при а = 0 сольется с ней. Уравнение x = 0 является уравнением для оси y.

Если в уравнении у = b прямую, параллельную оси Ох, уменьшить по модулю b, то эта прямая приблизится к оси Ох, останется параллельной ей, а при b = 0 совпадет с это . Таким образом, уравнение y = 0 будет уравнением оси x.

Читайте также: Координаты точки пересечения двух прямых — примеры нахождения, как найти точку пересечения прямых

Уравнение прямой, проходящей через начало координат

Проведите линию через начало координат под углом

к оси быка (рис. 13). Принято, что положительный угол а отсчитывается от положительного направления оси абсцисс в сторону, противоположную движению по часовой стрелке (рис. 13), а отрицательный — по часовой стрелке.

Возьмем произвольную точку M(x; y) на проведенной прямой. Опуская перпендикуляр MP к оси Ox, получаем прямоугольный треугольник OMP, из которого находим:

Но

Координаты любой точки на прямой OM удовлетворяют полученному уравнению; можно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой ОМ, ей не удовлетворяют; следовательно, это уравнение прямой линии ОМ. Так,

есть уравнение прямой, проходящей через начало координат. В нем x и y — текущие координаты, а
— угловой коэффициент.

Определение:

Наклон прямой есть тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси Ох.

Ценить
может быть как положительным, так и отрицательным. Если угол а острый, тангенс имеет положительное значение; если угол а тупой, то он отрицательный. Отсюда значение
в уравнении прямая будет положительной, если угол а острый, и отрицательной, если угол тупой.

Обратите внимание, что для a = 90 ° наклона нет, поскольку 90 ° не имеет числового значения.

зная наклон прямой =
х, вы можете определить его положение.

Пусть необходимо построить прямую y = 2x.

Для этого найдем угол а из условия

где:

Построив найденный угол в точке О, получим искомую прямую (рис. 14).

Построение этой прямой может быть выполнено более легко.

Известно, что положение прямой определяется двумя точками, поэтому для решения задачи нужно знать их координаты. В нашем случае достаточно определить координаты одной точки, так как другая (начало координат) нам известна. Для этого придадим х произвольное значение, например х = 2, тогда из уравнения прямой найдем:

Значения x=2 и y=4 будут координатами точки, расположенной на этой прямой. Построив эту точку, проводим прямую через нее и начало координат (рис. 14).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой

Пусть дана прямая OS, проходящая через начало координат под углом a к положительному направлению оси ox (рис. 15)

Его уравнение

где
.

Нарисуем прямую линию
отсекая отрезок OB = b на оси Oy. Прямая AB образует такой же угол a с положительным направлением оси ox. Пусть M(x; y) — произвольная точка на прямой AB. Из рис. 15 находим:

Но

Подставив значение PM1 в уравнение (1), получим уравнение прямой AB в виде:

где
— наклон, а b называется начальной ординатой.

Обратите внимание, что прямая линия
получается перемещением всех точек на прямой
(рис. 15) на участке b вверх (для положительного b) и вниз для отрицательного b .

Уравнение
которая определяет прямую, проходящую через начало координат, является частным случаем уравнения (2) при b = 0.

зная наклон
и начальную координату b можно определить положение линии. Пусть, например, необходимо построить прямую

Из этого уравнения имеем:

где

Проведем прямую MN через начало координат под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох (рис. 16). Прямой

Как видно из уравнения, ее пересекает ось Оу на расстоянии OS, равном 4 единицам шкалы от начала координат.

Следовательно, искомой будет прямая AB, проведенная через точку C параллельно прямой MN.

Однако указанную линию проще построить по двум точкам. Для этого удобнее брать пересечения прямой с осями координат. Одна из них, точка C на пересечении прямой и оси Oy, задается самим уравнением, а именно C(0; 4). Чтобы найти точку D пересечения этой прямой и оси Ох, подставим это уравнение у = 0, получим х = — 4; поэтому линия пересекает ось x в точке D (-4; 0). Строим точки С и D и проводим через них необходимую линию.

Пример:

Найдите уравнения линий AB, CD и EF, показанных на рис. 17.

Решение:

Для записи уравнений заданных линий необходимо определить величины
и b, подставив затем их значения в уравнение

Слишком прямо AB

Следовательно, уравнения этих линий будут такими:

Общее уравнение прямой

В предыдущей лекции были выведены следующие виды уравнения прямой: уравнение прямой, параллельной оси Оу:

уравнение прямой, параллельной оси x:

уравнение оси Y:

уравнение оси быка:

уравнение прямой, проходящей через начало координат:

уравнение прямой с наклоном и начальной ординатой:

Уравнения (1) — (6) вычеркивают все возможные положения прямой, поэтому можно сказать, что

любая прямая задается уравнением первой степени относительно текущих координат.

Покажем теперь, что указанные виды уравнения прямой можно получить из уравнения

для некоторых частных значений коэффициентов A, B и C.

I. Если B = 0, уравнение (7) примет следующий вид:

где

Набор

мы получаем

Уравнение
представляет собой уравнение прямой линии, параллельной оси у.

II. Если А = 0, то

отсюда

Набор

мы получаем

Уравнение
определяет линию, параллельную оси x.

III. Если В = 0 и С = 0, то

отсюда

IV. Если А = 0 и С = 0, то

отсюда

V. Если C = 0, то

отсюда

Давайте положим

после этого

Уравнение
определяет линию, проходящую через начало координат.

МЫ. Если ни один из коэффициентов уравнения (7) не равен нулю, то и в этом случае его можно преобразовать к известному виду уравнения прямой. Найдем из уравнения (7) значение y:

Набор

и

мы можем написать

Отсюда уравнение

включает в себя все уравнения прямой, рассмотренные нами ранее; поэтому оно называется общим уравнением прямой линии. Итак, любое уравнение первой степени

при всех значениях коэффициентов А, В и С, кроме одновременного равенства А и В нулю, определяет прямую.

Пример:

Построить прямую линию

Решение:

Простейший способ — построить прямую линию в двух ее точках пересечения с осями координат. Если подставить в это уравнение у = 0, то получим х = — 5; координаты (-5;0) и будет определять положение пересечения линии и оси Ox. Для нахождения точки пересечения прямой с осью Оу подставляем то же уравнение х = 0, затем находим у = 2; координаты искомой точки будут (0; 2).

Построив эти точки, проводим через них прямую 2х — 5у — 10 = 0 (рис. 18).

Пример:

Найдите наклон и начальную ординату линии 4x + 6y — 3 = 0.

Решение:

Преобразуем это уравнение к виду

для этого находим:

6у = — 4х+3,

отсюда

Сравнивая полученное уравнение с уравнением
находить:

Коэффициент наклона также можно найти из уравнения (8). Для этого, как видите, надо коэффициент при х общего уравнения прямой разделить на коэффициент при у и частное

приведите противоположный знак. Итак, в этом примере

Уравнение прямой в отрезках

Как мы уже знаем, положение прямой определяется либо двумя точками, либо одной точкой и углом наклона прямой к оси Ох. Если прямая не параллельна ни одной из осей координат и не проходит

через начало координат, то его положение можно определить по другим данным, например по отрезкам, которые он пересекает на осях. Выведем уравнение прямой для этого случая.

Пусть дана прямая, отсекающая на осях координат отрезки ОА = а и ОВ = b (рис. 19).

Возьмем произвольную точку M(x; y) на этой прямой и нарисуем

МИСТЕР
ой. Из подобия треугольников РМА и ОВА имеем:

или

Разделив а — х слагаемое за слагаемым на а, мы имеем:

где

Можно показать, что координаты любой точки нашей прямой будут удовлетворять этому равенству, и поэтому ее нужно считать уравнением прямой АВ.

Уравнение (1) включает отрезки а и b, отсекаемые прямой на осях; поэтому оно называется уравнением прямой в отрезках.

Значения a и b могут быть как положительными, так и отрицательными, в зависимости от того, с какой стороны от начала отсчета строятся отрезки a и b .

Например, пусть дана прямая АВ (рис. 20). Здесь а = — 2, Ь = — 3; поэтому уравнение прямой АВ запишется в следующем виде:

По уравнению вида (1) очень легко построить прямую. Для этого нужно всего лишь отложить взятые из уравнения отрезки а и b на оси, и провести через их концы прямую линию.

Заметим, что уравнение на отрезках легко получается из общего уравнения прямой: Ax+Vy+C=0, если все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля (иначе уравнение на отрезках не имеет смысла).

Уравнение пучка прямых

Пусть прямая AB проходит через точку M(x1; y1) и образует угол a с положительным направлением оси Ox (рис. 21). Составим уравнение вида прямой AB

Для этого нужно найти значения
и b определяют прямую AB, а затем подставляют их значения в уравнение (1). Поскольку угол а задан, значение равно
определяется на основе равенства

Для нахождения b воспользуемся тем, что точка М лежит на прямой (1), а значит, координаты удовлетворяют уравнению этой прямой.

Подставьте в уравнение (1) вместо x и y их значения x1 и y1, а значение
предполагая известным, получаем

где

Уравнение (1) теперь можно записать в виде

или

Это и есть искомое уравнение прямой AB; в нем
имеет одно четко определенное значение.

Предположим, что через одну и ту же точку M(x1; y1) проходит несколько прямых; то угол a наклона этих линий к оси абсцисс, а также множитель
в уравнении (2) будут иметь разные значения.

В этом случае уравнение (2) будет определять уже не прямую, проходящую через заданную точку М, а набор прямых, пересекающихся в этой точке.

Множество всех прямых, проходящих через одну точку M, называется пучком прямых с центром в точке M. Таким образом, уравнение (2) с переменной
можно рассматривать как уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку, за исключением прямой, параллельной оси у (поскольку tg 90° не имеет численного значения) (рис. 21).

Для выделения из этого пучка прямой, образующей заданный угол с осью Ох, необходимо в уравнении (2) вместо
заменить его числовым значением. Например, пусть карандаш с линиями проходит через точку М(2;-5), тогда уравнение будет таким:

Выделим из этого луча прямую, наклоненную к положительному направлению оси Ох под углом а = 45°;

после этого

и уравнение (3) становится следующим:

или

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки A(x1; y1) и B(x2; y2); необходимо найти уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Если взять одну точку, например А, через нее можно провести карандаш с линиями, уравнение которых будет:

где для каждого значения
одна строка отвечает.

Выберем из этого пучка прямую, которая также проходит через вторую точку В (рис. 22). Чтобы найти уравнение, необходимо определить наклон. Для этого учтем, что точка В лежит на искомой прямой, а значит координаты должны инвертировать уравнение (1)

в идентичность в
равно наклону этой линии. Подставив в уравнение (1) вместо текущих координат x и y координаты точки B, получим:

отсюда находим наклон искомой прямой:

Уравнение (1) можно переписать следующим образом:

Преобразуем это уравнение, разделив обе его части на y2 — y1, получим:

где x и y — текущие координаты. Уравнение (2) представляет собой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Это, как и уравнение отрезков, является частным случаем общего уравнения прямой.

Если x1 = x2 или y1 = y2, формула (2) теряет смысл, так как на ноль делить нельзя. В этих случаях точки А и В лежат либо на прямой, параллельной оси Оу, либо на прямой, параллельной оси Ох. В первом случае уравнение прямой запишется в виде

х = х1

а во втором — в виде

у = у1

Пример:

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки: А (-4; 6) и В (2; -3).

Решение:

У нас есть:

х1 = — 4, х2 = 2

и

у1 = 6, у2 = -3.

Подставьте эти значения в уравнение (2); мы получаем:

или

Умножая обе части последнего уравнения на -18, мы имеем:

2у — 12 = — 3х — 12,

где

3х + 2у = 0.

Пример:

Прямая проходит через две точки A(3;2) и B(5;2). Напишите ее уравнение.

Решение:

Поскольку ординаты этих точек равны, заключаем, что искомая прямая параллельна оси Ох, и поэтому уравнение будет иметь вид

у = 2.

Угол между двумя прямыми

Пусть заданы уравнения двух прямых:

у=клх+блт

где
имеют четко определенные значения. Выведем формулу для определения угла между этими линиями.

Обозначим углы, образованные этими прямыми с положительным направлением оси Ох, как а1 и а2, а угол между этими прямыми как
(рис. 23).

Угол а2, как внешний угол треугольника АВС, будет равен сумме внутренних, к нему не прилежащих, т.е.

где

Если углы равны между собой, то их тангенсы равны между собой, поэтому

Используя формулу тангенса разности двух углов, получаем:

Но

Поэтому

После определения tg
по формуле (1) можно найти сам угол
.

Пример:

Определить угол между линиями:

2х — 3у + 6 = 0

и

х + 5у — 2=0.

Решение:

Из этих уравнений находим угловые коэффициенты этих линий :

Согласно формуле (1) имеем:

где

В результате угол между линиями тупой. Но если вы принимаете

затем вычислить
по той же формуле (1) получаем:

где
= 45°. В результате получается острый угол, следующий за предыдущим

обнаружен тупой угол (рис. 24). Первое и второе значения угла будут ответом на проблемный вопрос.

Условие параллельности прямых

Если прямые параллельны друг другу, то они образуют одинаковые углы а1 и а2 с положительным направлением оси Ох (рис. 25).

Из равенства углов a1 и a2 следует

или

И наоборот, если
в.
тогда a1 = a2, а значит, данные прямые параллельны.

Итак, если прямые параллельны друг другу, их наклоны равны (и наоборот).

Пример:

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (-2; 6) и параллельной 5х-3у — 7 = 0.

Решение:

Карандаш с линиями проходит через точку А, среди них искомая линия. Поэтому первым делом запишем уравнение карандаша с прямыми, проходящими через точку А:

Затем находим из уравнения, данного в задаче о прямой, ее коэффициент угла; используя равенство (8), получаем:

По условию параллельности наклон искомой прямой также равен

Заменить найденное значение
в уравнение

струя:

Проделав необходимые преобразования, получим искомое уравнение для прямой:

Условие перпендикулярности прямых

Пусть две прямые взаимно перпендикулярны и образуют углы а1 и а2 с положительным направлением оси Ох (рис. 26). В этом случае

отсюда

Но

Поэтому,

или

И наоборот, если

что

Отсюда

т е эти прямые взаимно перпендикулярны.

Таким образом, если прямые взаимно перпендикулярны, их наклоны обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку (и наоборот).

Так, например, если прямая линия имеет наклон

равно
поэтому для прямой, перпендикулярной к ней, он равен
.

Пример:

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (-3; 5) и перпендикулярной прямой 4х — Зу — 10 = 0.

Решение:

Карандаш прямыми линиями проходит через точку А, между которыми находится искомая линия. Поэтому сначала запишем уравнение для этого луча

Чтобы изолировать от него нашу прямую, нам нужно найти наклон
связанный со склоном

задана прямая равенства (1). Но
поэтому,

Подставим в уравнение (2) вместо
нашел свою ценность

мы получаем:

Это искомое уравнение для прямой линии. Преобразовав его, находим:

или

Пересечение прямых

Пусть даны две прямые, определяемые уравнениями:

Требуется найти их пересечение.

Поскольку пересечение этих прямых является их общей точкой, координаты должны удовлетворять и первому, и второму уравнениям, то есть эти координаты должны быть общими корнями этих уравнений.

Чтобы найти эти корни, необходимо, как известно из алгебры, решить эти уравнения вместе, и рассматривать их как систему уравнений.

Пример:

Найдите пересечение линий

Решение:

Давайте решим эти уравнения как систему. Умножив второе уравнение на 3 и прибавив результат к первому уравнению, получим:

где

Зная x, например, находим y из второго уравнения:

Пример:

Найдите пересечение линий

Решение:

Умножая все члены первого уравнения на -2 и складывая полученное уравнение со вторым, находим:

что невозможно. Это означает, что данная система уравнений не имеет решений, а значит, линии, определяемые этими уравнениями, не имеют общих точек, т.е эти линии параллельны.

К такому же выводу можно прийти, сравнивая наклоны этих прямых.

Дополнение к прямой линии

Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости

Рассмотрим произвольную линию. Выбираем на этой линии начальную точку, обозначаемую буквой О, определяем положительное направление, выбираем в качестве линейной единицы некоторый отрезок, благодаря которому линия станет осью. После этого условимся называть координату любой точки М на этой оси значением отрезка
. Точку O будем называть началом координат; его собственная координата равна нулю. Так вводятся координаты линии.

Декартова прямоугольная система координат определяется указанием линейной единицы измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, пронумерованных в некотором порядке, т е указывается, какая из них считается первой, а какая — второй. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается О, а сами оси называются осями координат, первая из которых называется также осью абсцисс и обозначается Ох, а вторая ось ординат, обозначенная Oy.

Пусть М — произвольная точка на плоскости. Спроецируем точку М на оси координат, т е проведем через М перпендикуляры к осям Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим соответственно
.

Координатами точки М в данной системе являются числа
, который указывает размер сегмента
ось абсцисс и значение отрезка
оси у, где х — первая координата, а у — вторая координата точки М (рис. 7.1). Символически это записывается как M(x, y).

Если дана декартова прямоугольная система координат, то каждая точка М на плоскости этой системы имеет одну вполне определенную пару координат х, у — М(х, у). И наоборот, для всех плоскостей x и yi существует одна четко определенная точка с абсциссой x и ординатой y.

На рис. 7.2 положение точки Р полностью определяется ее координатами (2; 3).

Две оси координат делят всю плоскость на четыре части, называемые координатными плоскостями, определяемыми соответственно:

• первая координатная четверть: x>0, y>0;
• вторая координатная четверть: x
  0, у > 0;
• третья координатная четверть: x
  0, у<br>0;
• четвертая координатная четверть: x>0, y
  0.

Наиболее распространена декартова система координат. Однако в некоторых случаях более удобной может оказаться как косая декартова, так и полярная система координат.

Косая система координат отличается от прямоугольной декартовой системы координат только произвольным углом между осями координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящей из этой точки на луче ОА, называемом полярной осью, шкалы для измерения длин и направления вращения в плоскости, считающегося положительным (рис. 7.3).

Каждая точка M в полярной системе координат задается парой координат
.

Декартова прямоугольная система координат связана с полярной системой формулами:

Основным инструментом аналитической геометрии является формула вычисления расстояния между двумя точками
и
. Число
может быть любым действительным числом, положительным, отрицательным или 0. На рис. 7.4 все числа выбираются положительными. Пройдёмся по пунктам
горизонтальную линию и через точку
— вертикальный. Пусть R будет их точкой пересечения. Тогда по теореме Пифагора

или
(7.1.1)

Это формула для расчета расстояния между двумя точками.

Важно помнить, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки
. Например, если точка
ставится ниже точки
и справа от водила, как на рис. 7.5, то отрезок
можно считать равным
.

Расстояние между точками, вычисляемое по формуле (7.1.1), от этого не изменится, так как
. Обратите внимание, что поскольку значение
в этом случае отрицательна, поэтому разница
больше, чем

Если указано с
угол, образованный положительным направлением оси x и отрезком
, то формулы

выражают проекции произвольного отрезка на оси координат через его длину и полярный угол. Из формул (7.1.2) получаем формулы:

позволяет определить полярный угол отрезка по координатам конца и начала. Кроме того, если u — произвольная ось и
— угол наклона сегмента
к этой оси, то проекция отрезка на ось равна длине, умноженной на косинус угла наклона этой оси:

.

Пусть на плоскости даны две произвольные точки, одна из которых считается первой, вторая — второй. Укажем их в заданном порядке с помощью
. Проведите ось u через эти точки. Пусть М — другая точка на оси и, размещенная на ней произвольно, но не совпадающая с точкой
.

Определение 7.1.1. Число
определяется равенством
где
— размеры направленных сегментов
оси u, называется соотношением, при котором точка M делит отрезок прямой
.

Число
не зависит от направления оси и масштаба, так как при изменении этих параметров значения
. Кроме того,
будет положительным, если M находится между точками
если M вне отрезка
, Это
-отрицательный.

Задача деления отрезка в связи с этим формулируется следующим образом:

Предполагая, что известны координаты двух точек
и

и отношение
где неизвестная точка М делит отрезок
, найти координаты точки М.

Решение задачи определяется следующей теоремой.

Теорема 7.1.1. Если точка M(x, y) делит направленный отрезок
в отношениях
то координаты этой точки выражаются формулами:

Доказательство:

Давайте спроектируем точки
на оси абсцисс и обозначим их проекции соответственно при
(рис. 7.6). На основании теоремы о пропорциональности отрезков, заключенных между параллельными прямыми (Если две прямые пересекаются тремя параллельными прямыми, отношение двух соответствующих отрезков, полученных на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков на другой прямой) , у нас есть:

Подставляем в (7.1.4) значения отрезков
и

, мы получаем

Решая это уравнение относительно х находим:

Аналогично получается вторая формула (7.1.3.

Если
— две произвольные точки и M(x, y) —

центральная точка
, Это
. Эти формулы

берется из (7.1.3) с
.

Основная теорема о прямой линии на плоскости

Предположим, что в данной плоскости заданы прямоугольная система координат и прямая l.

Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется вектором ее направления. Любые два вектора направления
одной прямой коллинеарны друг другу, т.е.

, .

Для всех векторов направления
задана прямая линия, не параллельная оси у, отношение
ордината вектора по оси абсцисс имеет одно и то же постоянное значение k, называемое наклоном данной прямой.

На самом деле, если
— два направляющих вектора данной прямой /, то векторы коллинеарны, т е.

их координаты пропорциональны:
значение

Наклон прямой можно определить и по-другому: как тангенс угла, образованного положительным направлением оси x и данной прямой.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.3.1. Всякая прямая линия на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у; и наоборот, любое уравнение первой степени с двумя переменными x и y определяет прямую на плоскости.

Доказательство: Пусть B = (O, b} — пересечение прямой L с осью y, а P = (x, y) — любая другая точка на этой прямой. Проведите через точку B прямую, параллельную ось x, а через точку P — провести прямую, параллельную оси y, также проведем прямую x = 1. Пусть k — наклон прямой L (см рис. 7.7) Случай k = 0 не исключено.

Так как треугольники BSQ и BRP подобны
или после упрощения

Следовательно, если точка Р принадлежит прямой L, ее координаты удовлетворяют уравнению (7.2.1). Обратно, легко показать, что если x и y связаны уравнением (7.2.1), то точка P принадлежит прямой L, которая проходит через точку (0;b) и имеет наклон k.

Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде:

(не вертикальная линия)
, (7.2.2), x = a (вертикальная линия) (7.2.3).

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени по x и y можно привести к виду (7.2.2) или (7.2.3).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что нам дано произвольное уравнение первой степени:

А+Город+С=0. (7.2.4)

Если
, мы можем записать уравнение (7.2.4) в виде

в форме (7.2.2). При B = 0 уравнение (7.2.3) сводится к уравнению

А х = -С,

или
, т е к уравнению вида (7.2.3).

Таким образом, любая прямая описывается квадратным уравнением с неизвестными x и y, и наоборот, каждое квадратное уравнение с неизвестными x и v определяет прямую.

Уравнение (7.2.4) называется общим уравнением прямой. Так

как
, то вектор
— вектор направления линии (7.2.4). Вектор
перпендикулярен прямой (7.2.4) и называется вектором нормали. Возможны частные случаи:

1.
или у = b, где
, представляет собой уравнение прямой линии, параллельной оси x.

2.
или х = а, где
, представляет собой уравнение прямой линии, параллельной оси y.

3.
есть уравнение прямой, проходящей через начало координат.

4. А=0; С=0; Wu-0 или y=0 есть уравнение оси абсцисс Ох.

5. В=0, С=0; Ах = 0 или х = 0 — это уравнение оси у.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Положение прямой линии на плоскости по отношению к системе координат можно задавать различными способами. Например, прямая линия определяется однозначно: двумя различными точками; вектор точки и направления; отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, и т д. Однако должна существовать точка, лежащая на этой прямой.

Введите уравнение (7.2.4) ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю. Переместите свободные члены вправо и разделите на (-C). Получаем уравнение прямой на отрезках:

где
— длины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат, взятых с соответствующими знаками (в зависимости от того, пересекает ли прямая l положительную или отрицательную полуоси координат).

Рассмотрим прямую l на плоскости и выделим несколько точек на этой прямой
. Тогда вектор
вектор направления этой линии l.

Геометрическое место концов всех возможных векторов формы
где
проходит через все действительные числовые значения, определяет прямую l. Уравнение (7.3.2) называется уравнением прямой в векторной форме (векторным уравнением прямой). После записи векторного уравнения (7.3.2) в координатной форме
и, используя определение равенства векторов, получаем параметрические уравнения прямой:

где
— координаты вектора направления.

Система (7.3.3) эквивалентна уравнению

называется каноническим уравнением прямой на плоскости. Из системы (7.3.3) можно получить уравнение

которое называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки

Если абсцисса точек
одинаковы, т.е.
тогда правильно
параллельна оси y, и ее уравнение: x=a.

Если ординаты точек
одинаковы, т.е.
, то прямая
параллельна оси x, и ее уравнение: y=b. Уравнение (7.3.5) можно преобразовать в вид:

или

где

наклон прямой линии.

Уравнение (7.3.6) называется уравнением прямой, проходящей через точку
и имеет наклон k.

Пример:

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки

Решение:

Я так. Воспользуемся уравнением (7.3.5). Подставляет известные координаты точек
, получим искомое уравнение для прямой:

II дорога. Знать координаты точек
по формуле (7.3.7) можно найти наклон искомой прямой:

Затем, используя уравнение (7.3.6), находим искомое уравнение для прямой:
.

Отметим, что сформулированное уравнение можно записать в виде уравнения прямой на отрезки, разделив все члены уравнения

.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть две прямые заданы на плоскости общими уравнениями
. Угол между ними можно вычислить как угол между векторами направления

эти строки:

Если прямые параллельны
, то их нормальные векторы
коллинеарны, что означает, что их соответствующие координаты пропорциональны:

И наоборот, если координаты неизвестных х и у пропорциональны, то прямые параллельны. Таким образом, мы можем сформулировать следующую теорему:

Теорема 7.4.1. Два подряд
параллельны тогда и только тогда, когда в их уравнениях коэффициенты при соответствующих переменных x и y пропорциональны.

Например правильно
параллель,

потому что
.

Если прямые перпендикулярны
, то их нормальные векторы
также перпендикулярно, а это означает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю:
, или в координатной форме

Верно и обратное утверждение: если скалярное произведение векторов нормалей равно нулю, то прямые / и /2 перпендикулярны.

Теорема 7.4.2. Два подряд
перпендикулярна тогда и только тогда, когда коэффициенты переменных x и y удовлетворяют равенству
.

Например правильно
перпендикулярно из-за

.

Если линии заданы формальными уравнениями
и
, то угол между ними находится по формуле:

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

(7.4.5)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

(7.4.6)

Пример:

Найдите проекцию точки P (2, 3) на прямую, проходящую через точки A (4, 3) и B (6, 5).

Решение:

Проекция точки Р на прямую АВ есть пересечение перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.

Сначала запишем уравнение прямой АВ. Используя уравнение (7.3.5), последовательно получаем:

Для составления уравнения перпендикуляра, проведенного из точки Р к прямой АВ, воспользуемся уравнением (7.3.6). Угловой коэффициент k определяется из условия перпендикулярности двум прямым, т е по формуле (7.4.6). Потому что
, то из равенства
найти наклон перпендикуляра
. Заменяет найденное значение наклона
и координаты точки P (2, 3) в уравнение (7.3.6), получим:

.

Решите систему уравнений, состоящую из уравнений прямой АВ и перпендикуляра

найти координаты проекции точки P на прямую AB: x=3 y=2, т.е.

Пример:

Затраты на производство шести автомобилей составляют 1000 млн денье, а на производство двадцати автомобилей — 15000 млн денье.Определим затраты на производство 22 автомобилей, считая, что функция К(х) издержек производства линейна, т е имеет форма y = ax + b .

Решение:

Обозначьте x количество автомобилей, а y стоимость производства. Тогда из условия задачи следует, что заданы координаты двух точек — А (6; 1000) и В (20; 15000), принадлежащих линейной функции у = ах + Ь. Используя уравнение (7.3.6) , находим искомое уравнение:

Подставляя x = 22 в находящую функцию, определяем стоимость производства 22 автомобилей:

(млн единиц DSN)

Пример:

Компания реализует свою продукцию по цене 10 den за одну единицу. Затраты на производство одного продукта составляют 6 единиц ден. Непроизводственные затраты фирмы в этом году составляют 300 единиц ден. Определить годовой объем производства, необходимый для того, чтобы фирма работала с прибылью.

Решение:

Обозначьте x объем произведенной продукции. Тогда доход компании равен D = 10x. Затраты на производство определяются по уравнению:
. Найдем точку безубыточности значение х, где доходы фирмы равны затратам: Д=К, т.е. 10х = 6х + 300. Решив это уравнение, получим значение объема производства, с которым работает фирма без потерь: х = 75. Следовательно, если объем производства
компания будет работать с прибылью.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Угол между прямыми в пространстве — это один из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку, параллельную данным. Пусть в пространстве даны две прямые:

Очевидно, за углом
между прямыми можно взять угол между векторами их направления
и

, косинус которого находится по формуле:

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых эквивалентны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов
:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие координаты направляющих векторов пропорциональны:

в.
параллельно
если и только если
параллельно

.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих координат векторов направления равна нулю:

Пример:

Найдите угол между линиями
и

Решение:

Воспользуемся формулой (7.6.1), где заменим координаты направляющих векторов
и

. Затем
, где
или
.

Вычисление уравнения прямой

Пусть PQ — прямая на плоскости Oxy (рис. 22). Через произвольную точку М0 (х0, у0) на этой прямой (условно называемую «начальной точкой») проведем прямую М0х, параллельную оси Ох и имеющую с ней одно направление. Тогда наименьший неотрицательный угол
, образованная полупрямой M0Q, лежащей выше оси M0x’ или совпадающей с ней, называется углом между этой линией и осью Ox.

Этот угол, очевидно, не зависит от выбора точки M0. Если прямая PQ пересекает ось Ox в точке A(a, 0), то φ — общий угол между прямыми. Если PQ || О, тогда, очевидно, Ф = 0. Начальная точка М0 — прямая и угол φ («направление прямой») однозначно определяет положение этой прямой на плоскости.

1) Уходи первым
. Тогда прямая PQ пересекает ось Oy в некоторой точке B (0, b), которую можно принять за первую.

Ордината y = NM до текущей точки M(x, y) прямой (рис. 23) состоит из двух частей:

из которых первая постоянная, а вторая переменная. Вводя коэффициент наклона tg f = k9 из рис. 23 хочу

для х > 0.

Таким образом,

для х > 0.

Легко проверить, что формула (3) остается справедливой и при x < 0.

Мы доказали, что координаты любой точки M (x, y) на прямой PQ удовлетворяют уравнению (3). Легко видеть обратное: если координаты точки Ml
удовлетворяет уравнению (3), то точка Mx обязательно лежит на прямой PQ. Следовательно, уравнение (3) является уравнением прямой линии PQ (так называемое уравнение прямой линии с наклоном). Константы
(параметры) имеют следующие значения: b = OM — начальный отрезок (точнее, начальная ордината), k = tg f — наклон. Обратите внимание, что если точка B расположена выше оси x, то
, а если ниже, то b < 0. При 6 = 0 прямая проходит через начало координат, и уравнение такой прямой имеет вид

При k = 0 получаем уравнение прямой, параллельной оси ox:

2) Если
, то аналогичным образом приходим к уравнению (3).

3) Если
, т е прямая AB перпендикулярна оси Ox, то ее уравнение имеет вид

где а — абсцисса следа этой линии на оси абсцисс (т е ее пересечение с осью абсцисс).

Комментарий. В качестве частных случаев получаем уравнения для осей координат:

Из уравнения легко построить прямую линию.

Пример:

Построить прямую, заданную уравнением

Решение:

Известно, что две точки полностью определяют положение прямой. Поэтому достаточно найти две точки, через которые проходит наша линия. В этом уравнении b = -4. Следовательно, прямая проходит через точку B (0, -4). С другой стороны, координаты x и y любой точки, лежащей на нашей прямой, связаны заданным уравнением. Следовательно, отдав абсциссу точке, лежащей на прямой, найдем ординату из уравнения прямой. Предположим, например, что х = 2; из уравнения прямой получаем y = -1. Таким образом, наша прямая проходит через точки A(2,-1) и B(0,-4). Построив эти точки по их координатам и проведя через них прямую (рис. 24), получим искомую прямую.

Из вышеизложенного видно, что для произвольной прямой на плоскости можно составить уравнение; и наоборот, когда известно уравнение прямой, можно построить эту прямую. Таким образом, уравнение прямой полностью характеризует ее положение на плоскости.

Из формул (3) и (5) видно, что уравнение прямой является уравнением первой степени относительно текущих координат x и y. Обратное тоже верно.

Теорема: Любое невырожденное уравнение первой степени

есть уравнение прямой на плоскости Oxy (общее уравнение прямой).

Доказательство: 1) Пусть сначала B ^ 0. Тогда уравнение (7) можно представить в виде

Если сравнить с (3), то получим, что это уравнение прямой с наклоном k = -А/В и начальной ординатой

2) Пусть теперь В = 0; Так что
0. Имеем Ах + С = 0 и

х = -С/А.

Уравнение (9) представляет собой уравнение прямой, параллельной оси Оу и пересекающей отрезок а = -С/А на оси Ох.

Поскольку все возможные случаи исчерпаны, теорема доказана.

• Упорядочить решение задач по высшей математике

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые (не параллельные оси Oy) y, заданные их уравнениями с коэффициентами наклона (рис. 25):

Необходимо определить угол 9 между ними. Точнее, под углом 0 будем понимать наименьший угол, считая против часовой стрелки, на который повернута вторая прямая относительно первой (0 < 0 < n). Этот угол 9 (рис. 25) равен углу АСВ треугольника АВС. Кроме того, из элементарной геометрии известно, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, φ’ = φ + 0, или

0 = f’ — f;

поэтому, исходя из известной формулы тригонометрии, получаем

Заменяя tg ф и tg ф’ на к и к соответственно, окончательно имеем

Формула (3) дает выражение для тангенса угла между двумя прямыми в виде наклонов этих прямых.

Выведем теперь условия параллельности и перпендикулярности двум прямым.

Если прямые (1) и (2) параллельны, то φ’ = φ и, следовательно,

к’ = к. (4)

Обратно, если выполняется условие (4), то, учитывая, что φ’ и φ лежат в диапазоне от 0 до n, получаем

Ф’ — ф, (5)

и, следовательно, рассматриваемые прямые либо параллельны, либо сливаются (параллелизм в самом широком смысле).

Правило 1. Прямые на плоскости параллельны (в широком смысле) тогда и только тогда, когда их наклоны равны.

Если прямые перпендикулярны, то
и поэтому

поэтому 1 + kk’ = 0 и

к’ = -1/к.

Обратное тоже верно.

Правило 2. Две прямые на плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их наклоны обратны по величине и противоположны по знаку.

Пусть теперь уравнения линий заданы в общем виде:

Топор + Город + С = 0 (7)

и

А’х + В’у + С’ = 0. (8)

Следовательно, при условии, что
, мы получаем

Отсюда и наклоны этих линий

Из формулы (3) путем несложных вычислений находим тангенс угла между этими прямыми:

Отсюда получаем:

1) состояние параллельных прямых (0 = 0)

2) условие перпендикулярности прямых

Особо отметим, что строки

взаимно перпендикулярны.

Для прямых, параллельных осям Ох и Оу, примем условие
и

Пример:

Определить угол между прямыми у = х и у = 1,001
+ 10. Здесь наклоны линий равны k = 1 и k’ = 1,001.

Решение:

По формуле (3) получаем

Так как для малых углов 0 приближенное равенство
, Это

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая PM образует угол φ с положительным направлением оси Ox (рис. 26) и проходит через данную точку P
. Выведем уравнение этой прямой, предположив сначала, что прямая не параллельна оси Оу.

В этом случае, как мы видели, уравнение прямой имеет вид

у = кх + Ь, (1)

где k = tg f — наклон прямой, а b — длина отрезка, отсекаемого нашей прямой на оси Оу. Поскольку точка P
лежит на прямой PM, то ее координаты xr и yx должны удовлетворять уравнению (1), т.е.

ух = кхт + Ь. (2)

Вычитая равенство (2) из ​​равенства (1), получаем

Это уравнение искомой прямой.

Если прямая, проходящая через точку R
параллельно оси Oy, его уравнение, очевидно, будет

Если k — заданное число, то уравнение (3) — это четко определенная прямая линия. Если k — переменный параметр, это уравнение будет определять пучок прямых, проходящих через точку P
(рис. 27); здесь k называется параметром луча.

Пример:

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку P (3, 2) и параллельной прямой:

Решение:

Поскольку искомая прямая параллельна этой прямой, ее наклон равен k = 4/3. Поэтому, исходя из формулы (3), уравнение этой прямой имеет вид
, или

Пример:

Запишите уравнение прямой, проходящей через точку Р (4, 5) и перпендикулярной прямой:

Решение:

Поскольку искомая линия перпендикулярна линии с наклоном k = -2/3, то ее наклон равен k’ = -l/k = 3/2. Поэтому, исходя из формулы (3), уравнение этой линии имеет следующий вид:

, или наконец

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Известно, что через две точки, не совпадающие между собой, можно провести прямую, и притом только одну. Находим уравнение прямой, проходящей через точки
—

Сначала предположим, что
, т е прямая PQ не параллельна оси Oy, так как прямая PQ проходит через точку
тогда уравнение

где k — неизвестный наклон этой прямой. Но так как наша прямая тоже проходит через точку Q
, то координаты
эта последняя точка должна удовлетворять уравнению (1). Отсюда

=

и, следовательно, при
у нас есть

Подставив выражение (2) для наклона ki в уравнение (1), получим уравнение для прямой PQ:

Это уравнение для
также можно записать в виде пропорции:

Если
, т е прямая, проходящая через точки
и
, параллельной оси Oy, то уравнение этой прямой, очевидно, будет

Пример:

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки P(4, -2) и Q(3, -1).

Решение:

На основании уравнения (3) имеем

Уравнение прямой в «отрезках»

Выведем теперь уравнение прямой, положение которой на плоскости задается отсекаемыми ею ненулевыми отрезками на осях координат. Предположим, например, что прямая АВ отсекает отрезок ОА = а по оси Ох и отрезок ОВ = Ь по оси Оу (рис. 28), и ясно, что положение прямой таким образом полностью определился.

Чтобы вывести уравнение прямой AB, учтите, что эта прямая проходит через точки A(a,0) и B
поэтому уравнение легко получается из уравнения (3′), если подставить его
. У нас есть

Отсюда

и наконец

Это так называемое уравнение прямой на «отрезках». Здесь х и у — это, как обычно, координаты произвольной точки М(х, у), лежащей на прямой АВ (рис. 28).

Пример:

Запишите уравнение прямой АВ, отсекая отрезок ОА = 5 по оси Ох и отрезок ОВ = -4 по оси Оу.

Полагая в уравнении (1) a = 5 и b = -4, получаем
, или

Примечание. Уравнение прямой, проходящей через начало координат или параллельной одной из осей координат, нельзя записать как уравнение прямой на «отрезках».

Точка пересечения двух прямых

Пусть будут две прямые

Точка пересечения этих прямых лежит как на первой прямой, так и на второй. Следовательно, координаты точки пересечения должны удовлетворять как уравнению первой, так и уравнению второй прямой. Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения двух заданных прямых, достаточно решить систему уравнений этих прямых вместе.

Исключив неизвестные y и x из уравнений (1) и (2), получим

Следовательно, если
, поэтому для координат пересечения прямых получаем следующее выражение:
или, вводя определители второго порядка, имеем

Для прямых (1) и (2) возможны следующие три случая.

Линии не параллельны основанию. Координаты их единственной точки пересечения определяются по формулам (6).

Линии параллельны и точки пересечения нет. Аналитически это видно из того, что хотя бы одно из уравнений (3) или (4) противоречиво и, следовательно, система (1) и (2) несовместна.

Линии (1) и (2) сливаются, и, таким образом, существует бесконечное количество точек пересечения. При этом левые части уравнений (1) и (2) отличаются только постоянным множителем, и поэтому система этих уравнений допускает бесконечно много решений.

Пример:

Совместное решение системы линейных уравнений

получаем x = 2 и y = 1. Следовательно, эти прямые пересекаются в точке N(2,1).

Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую KL, заданную общим уравнением

и точка М
. Под расстоянием от точки М до прямой KL понимается длина перпендикуляра d =

, опущенный из точки М на линию KL (рис. 29).

Перпендикулярное уравнение MN можно записать в виде

Поэтому имеем для основания перпендикуляра N(x2, y2

и поэтому

где t — коэффициент пропорциональности. Поэтому

С другой стороны, учитывая, что точка N(x2, i/2) лежит на прямой KL, и из (4) имеем
мы получаем

Поэтому,

Таким образом, в силу формулы (5

Специально при условии
, получаем расстояние от начала координат до прямой

Комментарий. Чтобы разделить обе части уравнения прямой линии (1) на
, получаем уравнение

если свободный член
численно равно расстоянию от

начало координат прямой линии. Такое уравнение прямой будем называть нормированным.

Из формулы (7) получаем правило:

для определения расстояния от точки до прямой нужно подставить координаты этой точки в левую часть нормированного уравнения этой прямой и взять модуль полученного результата.

Пример:

Определить расстояние от точки М (-2, 7) до прямой

Решение:

Нормируя уравнение к этой прямой, имеем

Следовательно, искомое расстояние равно

Уравнение вида   px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

Рассмотрим уравнение

px + qy = г ,

(4)

где p, q, r — произвольные числа.

В случае, когда уравнение (4) можно переписать в виде (1), из которого следует, что оно определяет прямую.

На самом деле,

что и было нужно.

В случае, если мы получим:

откуда следует, что уравнение (4) определяет прямую вида (3).

В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид

0 = р

(5)

а при r = 0 решением являются точки всей плоскости:

В случае, когда уравнение (5) вообще не имеет решений.

Замечание 2. При любом значении r1, не совпадающем с r, прямая, заданная уравнением

px + qy = r1 ,

(6)

параллелен прямой линии, заданной уравнением (4).

Замечание 3. При любом значении r2 прямая, заданная уравнением

– дх + ру = г2 ,

(7)

перпендикулярна прямой линии, заданной уравнением (4).

Пример. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; — 3) и

1. параллельно прямой линии

4х + 5у = ​​7 ;

(8)

перпендикулярно линии (8).

Решение.

1. В соответствии с формулой (6) будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде
   

   4х + 5у = ​​г1

   (9)

   где r1 — число. Так как прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то выполняется равенство

   Итак, уравнение прямой, параллельной прямой

   4х + 5у = ​​7

   дается уравнением

   4х + 5у = ​​-7 .

2. В соответствии с формулой (7) будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде
   

   – 5х + 4у = г2 ,

   (10)

   где r2 — число. Так как прямая (10) проходит через точку с координатами (2; — 3), то выполняется равенство

   Итак, линия, перпендикулярная прямой

   4х + 5у = ​​7

   дается уравнением

   — 5х + 4у = — 22 .