Прямоугольная трапеция

Определение прямоугольной трапеции и ее свойства

У произвольной трапеции основания параллельны, а стороны могут находиться к ним под любым углом. Если рассматривать прямоугольную трапецию, то одна из сторон всегда перпендикулярна основаниям. То есть два угла в нем будут равны 90 градусам. При этом они всегда принадлежат соседним углам или, другими словами, одной стороне.

Остальные углы прямоугольной трапеции всегда острые и тупые. Также их сумма всегда будет равна 180 градусам.

Каждая диагональ образует прямоугольный треугольник с меньшей стороной. А высота, проведенная из вершины под тупым углом, делит фигуру надвое. Один прямоугольник, а другой прямоугольный треугольник. Кстати, эта сторона всегда равна высоте трапеции.

Какие обозначения приняты в представленных формулах?

Все величины, используемые в различных выражениях, описывающих трапецию, удобно указать сразу и представить в виде таблицы:

Ценить	Его обозначение
один	большая база
б	меньшее основание прямоугольной трапеции
в, ч	сторона, перпендикулярная основаниям, высота
д	наклонная сторона
а	острый угол
β	тупой угол
м	срединная линия трапеции
d1	меньше диагональ
д 2	большая диагональ

Признаки прямоугольной трапеции

Трапеция будет прямоугольной, если выполняется одно из следующих условий: 1. В трапеции два смежных прямых угла:

∠BAD = 90° и ∠ABC = 90°

2. Одна сторона перпендикулярна основаниям:

АВ ┴ ВС, АВ ┴ АД

Основные свойства прямоугольной трапеции

1. В трапеции два смежных прямых угла:

∠BAD = ∠ABC = 90°

2. Одна сторона перпендикулярна основаниям:

АВ ┴ ВС ┴ АД

3. Высота равна наименьшей стороне:

ч=АВ

Свойство 1

Две вершины прямоугольной трапеции обязательно прямые, принадлежат одной стороне и вершины этих вершин смежны.

Для изображения выше:

• ∠BAD = ∠ABC = α = 90°
• ∠BAD и ∠ABC принадлежат стороне AB
• Вершины А и В смежные.

Свойство 2

Одна из сторон прямоугольной трапеции перпендикулярна основанию.

На картинке выше: AB ⊥ AD и AB ⊥ BC.

Читайте также: разность кубов

Свойство 3

Высота прямоугольной трапеции (h) совпадает с меньшей стороной (AB), перпендикулярной основаниям.

Свойство 4

Каждая из диагоналей прямоугольной трапеции делит ее на два треугольника, один из которых также прямоугольный.

• Диагональ АС делит трапецию на треугольники ABC и ACD, причем ΔABC перпендикулярна вершине B.
• Диагональ BD делит трапецию на ∆ABD (прямоугольную) и ∆BCD.

Примечание: остальные свойства, применимые ко всем видам трапеций, приведены в нашей публикации — «Что такое трапеция: определение, виды, свойства”.

Формулы, которые описывают элементы прямоугольной трапеции

Самый простой из них соединяет высоту и меньшую сторону:

с = ч.

Еще несколько формул для этой стороны прямоугольной трапеции:

с = d*sinα;

c = (a — b) * тангенс a;

c = √ (d2 — (a — b)2).

Первое следует из прямоугольного треугольника. И он говорит, что катет гипотенузы дает синус противоположного угла.

В том же треугольнике второй катет равен разности двух оснований. Следовательно, верно положение, приравнивающее тангенс угла к отношению катетов.

Из того же треугольника можно вывести формулу, основанную на знании теоремы Пифагора. Это третье зарегистрированное выражение.

Вы можете написать формулы для другой стороны. Их тоже три:

d = (а — b) /cosa;

d = c/sinα;

d = √ (c2 + (а – b)2).

Первые два снова выводятся из пропорций того же прямоугольного треугольника, а второй выводится из теоремы Пифагора.

Формулы длин сторон прямоугольной трапеции:

1. Формулы длины оснований через стороны и угла при основании:

a = b + d cos α = b + c ctg α = b + √d2 — c2

b = a — d cos α = a — c ctg α = a — √d2 — c2

2. Формулы длины оснований через стороны, диагонали и угол между ними:

а =	d1d2	грех γ — b =	d1d2	грех δ — б
с	с

б =	d1d2	грех γ — а =	d1d2	грех δ — а
с	с

3. Формулы длин оснований трапеции через площадь и другие стороны:

а =	2С	— бб =	2С	— а
с	с

4. Формула стороны через другие стороны и угол при нижнем основании:

c = √d2 — (a — b)2 = (a — b) tg α = d sin α

5. Формулы боковой стороны через основания, диагонали и угол между ними:

с =	d1d2	грех γ =	d1d2	грех δ
а+б	а+б

6. Формулы стороны через площадь, основания и угол при нижнем основании:

с =	С	=	2С
м	а+б

д =	С	=	2С
m sinα	(а + б) sinα

7. Формула стороны через другие стороны, высоту и угол при нижнем основании:

д =	аб	=	с	=	час	= √c2 + (a — b)2
коса	син	син

Формулы длины средней линии прямоугольной трапеции:

1. Формулы для средней линии, проходящей через основание, высоты (она же равна стороне с) и угла α при нижнем основании:

м =	ах	ктга	=	ч+ч	ктга
2	2

2. Формулы для центральной линии через основания и стороны стороны:

м =	а —	√d2 — с2	=	б +	√d2 — с2
2	2

Какой формулой можно воспользоваться для расчета площади?

Та, что дана для произвольной трапеции. Только помните, что высота – это сторона, перпендикулярная основаниям.

S = (а + b) * ч / 2.

Эти значения не всегда задаются явно. Следовательно, чтобы вычислить площадь прямоугольной трапеции, нужно произвести некоторые математические вычисления.

Как быть, если нужно вычислить диагонали?

В этом случае вы должны увидеть, что они образуют два прямоугольных треугольника. Так что всегда можно воспользоваться теоремой Пифагора. Тогда первая диагональ будет выражаться следующим образом:

d1 = √ (с2 + b2)

или по-другому, замените «c» на «h»:

d1 = √(h2 + b2).

Аналогично получаются формулы для второй диагонали:

d2 = √ (c2 + b2) или d2 = √ (h2 + a2).

Задача

У прямоугольной трапеции длинная сторона равна сумме оснований, высота 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.
Решение.
Обозначим трапецию ABCD. Обозначим длины оснований трапеции как a (большее основание AD) и b (меньшее основание BC). Пусть ∠A — прямой угол.
Площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна
S=аб
Из вершины C к верхнему основанию трапеции ABCD опускаем высоту CK до нижнего основания. Высота трапеции известна из условия задачи. Тогда по теореме Пифагора
СК2 + КД2 = CD2
Так как длинная сторона трапеции условно равна сумме оснований, то CD = a + b
Поскольку трапеция прямоугольная, высота, проведенная от верхнего основания трапеции, делит нижнее основание на два отрезка AD = AK + KD. Величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образовала прямоугольник ABCK, то есть BC = AK = b, поэтому KD будет равна разности длин оснований прямоугольника трапеция KD = a — b.
это
122 + (а — б)2 = (а + б)2
где
144 + а2 — 2аб + б2 = а2 + 2аб + б2
144=4аб
Так как площадь прямоугольника S = ab (см выше), то
144=4С
С=144 / 4=36
Ответ: 36 см2 .
0

Задача №1

Состояние. Площадь прямоугольной трапеции известна и равна 120 дм2. Высота имеет длину 8 дм. Необходимо вычислить все стороны трапеции. Дополнительным условием является то, что одно основание должно быть меньше другого на 6 дм.

Решение. Поскольку дана прямоугольная трапеция, высота которой известна, то сразу можно сказать, что одна из сторон равна 8 дм, т е меньшая сторона.

Теперь можно посчитать еще один: d = √ (c2 + (a — b) 2). А тут сразу дана и сторона с, и разность оснований. Последняя равна 6 дм, это известно из условия. Тогда d будет равно квадратному корню из (64 + 36), т.е из 100. Таким образом, остается еще одна сторона, равная 10 дм.

Сумму оснований можно найти по формуле площади. Она будет равна удвоенной площади, деленной на высоту. Если посчитать, то будет 240/8. Значит сумма оснований равна 30 дм. С другой стороны, их разница составляет 6 дм. Комбинируя эти уравнения, вы можете вычислить обе базы:

а + b = 30 и а — b = 6.

Вы можете выразить a как (b + 6) и подставить его в первое уравнение. Тогда получается, что 2b будет равно 24. Следовательно, просто b будет 12 дм.

Тогда последняя страница 18 дм.

Отвечать. Стороны прямоугольной трапеции: а = 18 дм, b = 12 дм, с = 8 дм, d = 10 дм.

Задача №2

Состояние. Дана прямоугольная трапеция. Длинная сторона равна сумме оснований. Высота имеет длину 12 см. Строится прямоугольник, стороны которого равны основаниям трапеции. Вам нужно вычислить площадь этого прямоугольника.

Решение. Вы должны начать с того, что вы ищете. Требуемая площадь определяется как произведение а и Ь. Обе эти величины неизвестны.

Вы должны использовать дополнительные подобия. Один из них основан на утверждении из условия: d = a + b.Для этой страницы необходимо использовать третью формулу, которая приведена выше. Получается: d2 = c2 + (a — b) 2 или (a + b) 2 = c2 + (a — b) 2.

Нужно произвести преобразования, заменив вместо на значение из условия — 12. После раскрытия скобок и включения подобных условий получается, что 144 = 4 аб.

В начале решения было сказано, что a*b дает искомую площадь. Поэтому в последнем выражении можно заменить это произведение на S. Простой расчет даст значение площади. S = 36 см2.

Отвечать. Желаемая площадь 36 см2.

Задача №3

Состояние. Площадь прямоугольной трапеции равна 150√3 см². Острый угол равен 60 градусов. То же значение имеет угол между малым основанием и меньшей диагональю. Вам нужно рассчитать меньшую диагональ.

Решение. Из свойства углов трапеции получается, что ее тупой угол равен 120º. Потом диагональ делит его на равные части, потому что часть уже 60 градусов. Тогда угол между этой диагональю и другим основанием также равен 60 градусов. То есть треугольник, образованный большим основанием, наклонной стороной и меньшей диагональю, равносторонний. Таким образом, искомая диагональ будет равна a, как и сторона d = a.

Теперь нам нужно рассмотреть прямоугольный треугольник. Третий угол равен 30 градусов. Значит, противолежащий катет равен половине гипотенузы. То есть меньшее основание трапеции равно половине искомой диагонали: b = a/2. От нее нужно найти высоту, равную стороне, перпендикулярной основаниям. Сторона с здесь кости. Из теоремы Пифагора:

с = (а/2) * √3.

Теперь осталось заменить все величины в формуле площади:

150√3 = (а + а/2) * (а/2 * √3) / 2.

решение этого уравнения дает корень 20

Отвечать. Наименьшая диагональ равна 20 см.