Понятие цилиндра
Сейчас речь идет о головном уборе для мужчин, который был популярен в 19 веке и стал вполне узнаваем в массовой культуре. Оказывается, в математике тоже есть цилиндр. И они одинаково подходят.
Цилиндр – это тело вращения, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Вы можете посмотреть статью «Тело революции», чтобы прояснить некоторые понятия».
Если вы посмотрите на форму шляпы, она действительно будет похожа на геометрическую фигуру. Цилиндр можно встретить и в наше время. Обычная кружка представляет собой цилиндр.
Прямая линия, вокруг которой мы повернули прямоугольник, чтобы получить цилиндр, является осью цилиндра.
Как у Земли есть ось вращения, так и у цилиндра.
У нашей кружки круглое дно. Это дно, как и верх кружки, будем называть основаниями цилиндра.
Посмотрим еще раз на стенки кружки. В цилиндре эту поверхность будем называть цилиндрической поверхностью. Ее также можно назвать боковой поверхностью цилиндра.
Представьте, что наша кружка раскрашена вертикальными линиями. Эти линии будут лежать на цилиндрической поверхности и перпендикулярны основаниям. У них есть название:
Образующая цилиндра — это отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный плоскостям оснований.
Все образующие, а их в цилиндре очень и очень много, лежат только на цилиндрической поверхности. Эта поверхность состоит из множества образующих.
Найдите ширину круга. Для этого нужно измерить радиус основания. Этот же радиус будет радиусом основания, а в цилиндре он называется радиусом цилиндра.
Теперь найдем высоту круга. Для этого измерьте расстояние от дна до верха кружки.
В математике это будет расстояние между плоскостями, и ищется оно как длина перпендикуляра, падающего из одной плоскости в другую. Подробнее об этом можно прочитать в статье «Расстояния между фигурами».
Высота цилиндра — это перпендикуляр, опущенный из плоскости одного основания на плоскость другого основания.
Читайте также: Все формулы для радиуса вписанной окружности
Свойства цилиндра
Рассмотрим свойства цилиндра.
Свойство 1. Основания цилиндра равны и параллельны.
Это всегда две равные окружности, лежащие в параллельных плоскостях.
Свойство 2. Образующие цилиндра равны и параллельны.
Поскольку все образующие перпендикулярны своим основаниям, они параллельны друг другу по свойству прямой и перпендикулярной к ней плоскости. Подробнее об этом свойстве можно прочитать в статье «Углы в комнате».
А равны они потому, что перпендикулярны основаниям, то есть равны высоте цилиндра.
Свойство 3. Сечение цилиндра, проходящее через ось цилиндра, представляет собой прямоугольник. Такое сечение в цилиндре будем называть осевым сечением цилиндра.
Например, если вы разрезаете торт по диаметру, точка разреза будет просто прямоугольником.
Подробно о сечениях фигур можно прочитать в статье «Разрезы».
Свойство 4. Сечение цилиндра, идущее параллельно оси цилиндра и перпендикулярно основанию, будет прямоугольником.
Свойство 5. Сечением цилиндра, перпендикулярным оси цилиндра, является окружность с радиусом, равным радиусу цилиндра. Такое сечение в цилиндре называется перпендикулярным сечением цилиндра.
| Как вода в круге иллюстрирует поперечное сечение цилиндра? Если налить воду в кружку, поверхность будет иметь круглую форму. При этом неважно, сколько воды вы нальете: поверхность останется кругом. Так как поверхность воды параллельна дну кружки, то есть дну цилиндра, она является перпендикулярной частью цилиндра. Этот опыт может подтвердить характеристику 5. |
Обратите внимание, что все вышеперечисленные свойства относятся к прямому цилиндру.
Цилиндр также можно наклонять. В этом случае оси цилиндра и его образующих не будут перпендикулярны основаниям.
Если разрезать поверхность цилиндра по одной из его образующих и, так сказать, «развернуть» ее, то получится прямоугольник.
В этом тоже легко убедиться, если вспомнить художников с трубками. Трубка имеет форму цилиндра, такую же форму имеет и сложенный прямоугольный лист.
Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, где одна сторона равна высоте цилиндра, а другая — окружности основания.
| Как превратить лист бумаги в цилиндр? Поскольку развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, любой лист бумаги можно превратить в цилиндр. Для этого достаточно скрутить его в трубочку. Кроме того, чем тоньше трубка, тем меньше радиус цилиндра. |
Сечения цилиндра
Определение 2. Сечением цилиндра называется точка пересечения цилиндра и плоскости.
Если сечение проходит через ось цилиндра, такое сечение называется осевым сечением цилиндра (рис. 3).
Рис.3
На рис. 3 показано одно из осевых сечений цилиндра — прямоугольник AA1B1B .
Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра радиуса r и высоты h представляет собой прямоугольник со сторонами 2r и h .
Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называется сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).
Рис.4
Замечание 5. Любое перпендикулярное сечение цилиндра будет окружностью радиуса r .
Примечание 6. Случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости более подробно рассмотрены в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».
Формулы цилиндра
А если это прямоугольник, то мы знаем, как найти площадь. Нам нужно умножить длину на высоту. Так мы получим площадь боковой поверхности цилиндра.
(S_{сторона} = 2 pi RH)
В этой формуле 2R — длина окружности основания, где R — его радиус, а H — образующая (или высота) цилиндра. Подробнее о площади прямоугольника и длине окружности (а также о площади круга) вы можете прочитать в статьях «Параллелограмм» и «Окружность и окружность».
Мы нашли площадь боковой поверхности. Как найти общую площадь поверхности?
Для этого нужно сложить площади боковой поверхности и оснований. Таким образом, мы получаем следующую формулу.
(S = S_{сторона} + 2S_{основание} = 2 pi RH+2 pi R^2 = 2 pi R(H + R))
Допустим, мы решили заварить чашку очень вкусного чая, но чтобы его правильно заварить, нам нужно знать точное количество воды. Для этого рассчитаем объем цилиндра. Воспользуемся следующей формулой:
(V = S_{main}H = pi R^2H)
В этой формуле R — радиус цилиндра, H — высота.
Часто формулу объема можно использовать для решения жизненных задач. Например, чтобы найти объем детали, погруженной в воду.
Пример 1. В цилиндрическую емкость наливают 1650 см3 жидкости. Часть была утоплена в этом судне. При этом уровень жидкости увеличился в 1,2 раза. Найдите объем детали. Выразите ответ в см3.
Решение.
Шаг 1. Выразите высоту жидкости в первый и второй раз. Предположим, что изначально уровень жидкости был равен х, затем после погружения в него детали стал равен 1,2х.
Шаг 2. Вспомним физику и заметим, что объем жидкости в сосуде после погружения в него детали будет равен сумме объемов жидкости и детали: V = Vl + Vd.
Шаг 3. Через объем жидкости выражаем площадь дна сосуда:
Вж = Прим.Ч
1650 = Собаза.x
(S_{основной} = frac{1650}{x})
Шаг 4. Подставляем площадь основания в формулу объема жидкости после погружения в нее детали:
(V = S_{main}H = frac{1650}{x} * 1,2x = 1980)
Шаг 5. Тогда объем детали будет равен:
Vд = V — Вж
Генеральный директор = 1980 — 1650 = 330
Ответ: 330 см3
Способ расчета радиуса цилиндра:
через объем и высоту Через площадь боковой поверхности и высоту Через общую площадь поверхности и высоту Высота: Объем: Высота: Площадь боковой поверхности: Высота: Общая площадь:
Цилиндр – это геометрическое тело, полученное вращением прямоугольника вокруг его стороны. Цилиндр — это также тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя пересекающими ее параллельными плоскостями. Эта поверхность образуется, когда прямая линия движется параллельно самой себе. При этом выделенная точка на прямой движется по некоторой плоской кривой (направляющей). Эта прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где V — объем цилиндра, h — высота
Цилиндр – это геометрическое тело, полученное вращением прямоугольника вокруг его стороны. Цилиндр — это также тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя пересекающими ее параллельными плоскостями. Эта поверхность образуется, когда прямая линия движется параллельно самой себе. При этом выделенная точка на прямой движется по некоторой плоской кривой (направляющей). Эта прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где Sb — площадь боковой поверхности, h — высота
Цилиндр – это геометрическое тело, полученное вращением прямоугольника вокруг его стороны. Цилиндр — это также тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя пересекающими ее параллельными плоскостями. Эта поверхность образуется, когда прямая линия движется параллельно самой себе. При этом выделенная точка на прямой движется по некоторой плоской кривой (направляющей). Эта прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где S — общая площадь поверхности, h — высота
|
|
Формулы вычисления радиуса цилиндра
1. Через объем и высоту
Радиус цилиндра рассчитывается по формуле:
V – объем цилиндра; вычисляется как произведение числа π высоты фигуры на квадрат радиуса окружности, являющейся ее основанием.
V = πR2h
- R — радиус основания цилиндра, т.е окружностей;
- π — это число, округленное значение которого равно 3,14.
2. Через площадь боковой поверхности
Радиус цилиндра рассчитывается следующим образом:
Сторона – площадь боковой поверхности цилиндра; равен произведению длины окружности (2πR), являющейся основанием фигуры, на ее высоту:
S = 2πRh
3. Через полную площадь поверхности
Радиус цилиндра равен:
Эта формула выводится следующим образом:
S – общая площадь поверхности фигуры, равная:
S = 2πRh + 2πR2 или S = 2πR(h + R)
Возьмем первое выражение. Если мы переместим S в правую сторону, мы получим:
2πR2 + 2πRh – S = 0
Вы можете видеть, что это квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где:
- а = 2π
- б = 2πt
- с=-S
R является корнем данного уравнения (x). Подставив наши значения a, b и ci в стандартную формулу вычисления корней, получим*:
* в нашем случае — только положительный корень, потому что радиус не может быть отрицательным.
Примеры задач
упражнение 1
Высота цилиндра 5 см, объем 141,3 см3. Вычислите его радиус.
Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в задачу известные по условиям значения:
Задача 2
Найдите радиус цилиндра, если площадь его боковой поверхности 175,84 см2, а высота 7 см.
Решение:
Воспользуемся формулой, где задействованы заданные значения:
Задача 3
Вычислите радиус цилиндра, если площадь его поверхности равна 602,88 см2, а высота равна 10 см.
Решение:
Воспользуемся третьей формулой, чтобы найти неизвестное значение:
