Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве: определение и примеры нахождения, метод координат расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой – определение

Расстояние от точки до прямой находится путем определения расстояния от точки до точки. Рассмотрим подробнее.

Пусть есть прямая a и точка M1, не принадлежащая данной прямой. Через нее проведем линию b, поставленную перпендикулярно к линии а. Пересечение линий примем за H1. Получаем, что M1H1 — это перпендикуляр, который был опущен из точки M1 на прямую a.

Определение 1

Расстояние от точки М1 до прямой а равно расстоянию между точками М1 и Н1.

Имеются записи определения с цифрой длины перпендикуляра.

Определение 2

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из данной точки на данную прямую.

Определения эквивалентны. Рассмотрим рисунок ниже.

Известно, что расстояние от точки до прямой является наименьшим из всех возможных. Давайте посмотрим на это на примере.

Если взять точку Q, лежащую на прямой а, не совпадающей с точкой М1, то получим, что отрезок М10 называется косым, опущенным от М1 на прямую а. Необходимо указать, что перпендикуляр из точки М1 равен меньше любой другой косой, проведенной от точки к прямой.

Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник M1Q1H1, где M1Q1 — гипотенуза. Известно, что длина всегда больше длины любого из катетов. Вот почему у нас есть M1H1

Основные определения и теоремы

Определение 1

Расстояние – это мера, характеризующая расстояние нескольких объектов по отношению друг к другу. Термин «расстояние» применим как в космосе, так и в самолете.

Пример 1

Давайте посмотрим на небольшую иллюстрацию.

Рисунок 1.

Мы видим 2 точки на рисунке. Вам нужно найти расстояние между ними.

Для выполнения этой задачи нужно использовать любой измерительный инструмент, например, линейку.

Фигура 2.

Нужно к одной из точек приложить начало, а к другой конец, и записать полученное с линейки число.

Вы также можете использовать, например, компас для измерения. С его помощью можно даже измерить толщину жировых складок с помощью циркуля, предварительно взяв мерку линейкой.

Английский для начинающих Не откладывайте свои мечты на потом — начните общение с опытным преподавателемЧитать дальшеОпределение 2

Очень часто для обозначения расстояния$ используется греческая буква $ρ$.

Перейдем к конкретному случаю: нахождению расстояния между точкой и прямой.

Читайте также: Параллелограмм – свойства, признаки, определение

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если s = — вектор направления прямой l, M1(x 1, y 1, z 1) — точка, лежащая на прямой, то расстояние от точки M0(x 0, y 0, z 0) до прямую l можно найти по формуле

д =	| M0M1×с |
| с |

Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения

Первые данные для нахождения из точки в прямую позволяют использовать несколько методов решения: через теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла и другие. Большинство задач этого типа решаются в школе на уроках геометрии.

Когда при нахождении расстояния от точки до прямой можно ввести прямоугольную систему координат, используется метод координат. В этом разделе мы рассмотрим два наиболее важных метода нахождения нужного расстояния от заданной точки.

Первый метод заключается в нахождении расстояния по перпендикуляру, проведенному из точки М1 к прямой а. Второй метод использует уравнение нормали прямой а для нахождения искомого расстояния.

Если на плоскости есть точка с координатами М1(х1, у1), расположенная в прямоугольной системе координат, на прямой а, и нужно найти расстояние М1Н1, то расчет можно произвести двумя способами. Давайте рассмотрим их.

Первый способ

Если координаты точки H1 равны x2, y2, то расстояние от точки до прямой вычисляется от координат по формуле M1H1=(x2-x1)2+(y2-y1)2.

Теперь перейдем к нахождению координат точки H1.

Известно, что прямая в Oxy соответствует уравнению прямой на плоскости. Давайте рассмотрим способ определения прямой линии a, написав общее уравнение прямой линии или уравнение с наклоном. Составим уравнение прямой, проходящей через точку М1 перпендикулярно заданной прямой а. Обозначим прямую как b. Н1 — точка пересечения прямых а и b, поэтому для определения координат нужно воспользоваться статья, в которой рассматриваются координаты точек пересечения двух прямых.

Видно, что алгоритм нахождения расстояния от заданной точки M1(x1, y1) до прямой a выполняется по точкам:

Определение 3

• найти общее уравнение прямой a, имеющее вид A1x+B1y+C1=0 , или уравнение с коэффициентом наклона, имеющее вид y=k1x+b1;
• получить общее уравнение прямой b, имеющее вид A2x+B2y+C2=0, или уравнение с наклоном y=k2x+b2, если прямая b пересекает точку M1 и перпендикулярна заданной прямой a;
• определение координат x2, y2 точки H1, являющейся пересечением a и b, для этого используется система линейных уравнений A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0 или y=k1x+b1y= k2x +b2 разрешается;
• расчет желаемого расстояния от точки до прямой по формуле M1H1=(x2-x1)2+(y2-y1)2.

Другой путь

Теорема может помочь ответить на вопрос о нахождении расстояния от данной точки до данной прямой на плоскости.

Теорема

В прямоугольной системе координат Oxy есть точка M1(x1, y1), из которой проводится прямая a к плоскости, заданной нормальным уравнением плоскости, которое имеет вид cos α x + cos β yp=0 , равная по абсолютной величине значению, полученному по левой части нормального уравнения прямой, рассчитанному при x=x1, y=y1, означает, что M1H1=cos α x1+cos β y1-p.

Доказательство

Прямая а соответствует нормальному уравнению плоскости, которое имеет вид cos α x + cos β yp=0, тогда n→=(cos α, cos β) считается вектором нормали к прямой a при a расстояние от начала координат до линии a, равное p единицам. Необходимо изобразить все данные на рисунке, добавить точку с координатами M1(x1, y1), где радиус-вектор точки M1 равен OM1→=(x1, y1). Необходимо провести прямую от точки к прямой, которую мы обозначим М1Н1. Необходимо показать проекции M2 и H2 точек M1 и H2 на прямую, проходящую через точку O с направляющим вектором вида n→=(cos α, cos β), и числовую проекцию вектора будем обозначать как OM1→ =(x1, y1) в направлении n→ =(cos α, cos β) как npn→OM1→.

Вариации зависят от расположения самой точки M1. Рассмотрим рисунок ниже.

Зафиксируем результаты по формуле M1H1=npn→OM→1-p. Затем приводим равенство к этому виду M1H1=cos α x1+cos β y1-p, чтобы получить npn→OM→1=cos α x1+cos β y1.

Скалярное произведение векторов приводит к преобразованной формуле вида n→, OM→1=n→ npn→OM1→=1 npn→OM1→=npn→OM1→, которая представляет собой произведение в координатной форме вида n→ , OM1→=cos α x1+ cos β y1. Отсюда получаем, что npn→OM1→=cos α x1+cos β y1. Отсюда следует, что M1H1=npn→OM1→-p=cos α x1+cos β y1-p. Теорема доказана.

Получаем, что для нахождения расстояния от точки M1(x1, y1) до прямой a на плоскости необходимо выполнить несколько действий:

Определение 4

• получить нормальное уравнение прямой acos α x+cos β yp=0 при условии, что его нет в задаче;
• вычисление выражения cos α x1+cos β y1-p, где результирующее значение принимает M1H1.

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости

Воспользуемся этими методами для решения задач нахождения расстояния от точки до плоскости.

Пример 1

Найдите расстояние от точки с координатами M1(-1, 2) до прямой 4x-3y+35=0.

Решение

Используем для решения первый способ.

Для этого необходимо найти общее уравнение прямой b, проходящей через данную точку M1(-1, 2) перпендикулярно прямой 4x-3y+35=0. Из условия, что прямая b перпендикулярна прямой a, видно, что вектор направления имеет координаты, равные (4, -3). Таким образом, мы имеем возможность записать каноническое уравнение прямой b на плоскости, так как имеются координаты точки M1, принадлежащей прямой b. Определим координаты вектора направления прямой b получить, что x-(-1)4 =y-2-3⇔x+14=y-2-3. Полученное каноническое уравнение необходимо преобразовать в общее. Тогда мы получим это

х+14=у-2-3⇔-3 (х+1)=4 (у-2)⇔3х+4у-5=0

Найдем координаты пересечений линий, которые примем за обозначение H1. Преобразования выглядят так:

4x-3y+35=03x+4y-5=0⇔x=34y-3543x+4y-5=0⇔x=34y-3543 34y-354+4y-5=0⇔⇔x=34y-354y=5 ⇔ х=34 5-354у=5⇔х=-5у=5

Из вышеизложенного имеем, что координаты точки H1 равны (-5; 5).

Необходимо вычислить расстояние от точки М1 до прямой а. Имеем, что координаты точек М1(-1, 2) и Н1(-5, 5), то подставляем в формулу для нахождения расстояние, и мы получаем

M1H1=(-5-(-1)2+(5-2)2=25=5

Второе решение.

Чтобы решить другим способом, необходимо вывести нормальное уравнение в прямую. Мы вычисляем значение коэффициента нормализации и умножаем обе части уравнения на 4x-3y+35=0. Отсюда получаем, что нормировочный коэффициент равен -142+(-3)2=-15, а нормальное уравнение будет иметь вид -15·4x-3y+35=-15·0⇔-45x+35y — 7=0.

Согласно алгоритму расчета необходимо вывести нормальное уравнение в прямую и вычислить его со значениями x=-1, y=2. Тогда мы получим это

-45·-1+35·2-7=-5

Таким образом, получаем, что расстояние от точки M1(-1, 2) до заданной прямой 4x-3y+35=0 имеет значение -5=5.

Ответ: 5.

Видно, что в этом методе важно использовать нормальное уравнение прямой, так как этот метод самый короткий. Но первый способ удобен тем, что он последователен и логичен, хотя и имеет несколько точек расчета.

Пример 2

На плоскости имеется прямоугольная система координат Oxy с точкой M1(8, 0) и линией y=12x+1. Найдите расстояние от данной точки до прямой.

Решение

Решение первым способом заключается в сведении заданного уравнения с коэффициентом наклона к общему уравнению. Для упрощения можно сделать по другому.

Если произведение наклонов перпендикулярных прямых равно -1, то наклон прямой перпендикулярен заданному y=12x+1 2. Теперь мы получаем уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M1(8, 0). У нас есть y-0=-2 (x-8)⇔y=-2x+16.

Приступим к нахождению координат точки H1, то есть точек пересечения y=-2x+16 и y=12x+1. Составляем систему уравнений и получаем:

y=12x+1y=-2x+16⇔y=12x+112x+1=-2x+16⇔y=12x+1x=6⇔⇔y=12 6+1x=6=y=4x=6⇒H1 (6, 4)

Отсюда следует, что расстояние от точки с координатами M1(8, 0) до прямой y=12x+1 равно расстоянию от начальной и конечной точек с координатами M1(8, 0) и H1(6, 4). Подсчитаем и получим, что M1H1=6-82+(4-0)220=25.

Другим решением является переход от уравнения с коэффициентом к его нормальной форме. То есть получаем y=12x+1⇔12x-y+1=0, тогда значение коэффициента нормализации будет -1122+(-1)2=-25. Отсюда следует, что нормальное уравнение прямой имеет вид -25·12x-y+1=-25·0⇔-15x+25y-25=0. Рассчитаем от точки M18,0 до прямой как -15x+25y-25=0. Мы получаем:

M1H1=-158+25 0-25=-105=25

Ответ: 25.

Пример 3

Необходимо вычислить расстояние от точки с координатами M1(-2, 4) до прямых 2x-3=0 и y+1=0.

Решение

Получаем уравнение для нормальной формы прямой 2x-3=0:

2x-3=0⇔12 2x-3=12 0⇔x-32=0

Затем продолжаем вычислять расстояние от точки М1-2,4 до прямой x-32=0. Мы получаем:

М1Н1=-2-32=312

Уравнение прямой линии y+1=0 имеет коэффициент нормализации со значением -1. Это означает, что уравнение будет иметь вид -y-1=0. Приступим к вычислению расстояния от точки M1(-2, 4) до линии -y-1=0. Получаем, что он равен -4-1=5.

Ответ: 312 и 5.

Рассмотрим подробно определение расстояния от заданной точки плоскости до координатных осей Ох и Оу.

В прямоугольной системе координат ось Оу имеет уравнение прямой, которое является неполным и имеет вид х=0, а Ох — у=0. Уравнения нормальны к осям координат, тогда необходимо найти расстояние от точки с координатами M1x1, y1 до прямых. Это делается на основе формул M1H1=x1 и M1H1=y1. Рассмотрим рисунок ниже.

Пример 4

Найти расстояние от точки M1(6, -7) до координатных линий, лежащих в плоскости Oxy.

Решение

Поскольку уравнение y=0 относится к прямой Ox, по формуле можно найти расстояние от M1 с заданными координатами до этой прямой. Получаем, что 6=6.

Так как уравнение х=0 относится к прямой Оу, можно найти расстояние от М1 до этой прямой по формуле. Тогда мы получаем, что -7=7.

Ответ: расстояние от M1k Ox имеет значение 6, а от M1k Oy — значение 7.

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения

Имея в трехмерном пространстве точку с координатами M1(x1, y1, z1), необходимо найти расстояние от точки A до прямой a.

Рассмотрим два способа, позволяющих вычислить расстояние от точки до прямой, расположенной в пространстве. В первом случае рассматривается расстояние от точки М1 до прямой, где точка на прямой называется Н1 и является основанием перпендикуляра, проведенного из точки М1 на прямую а. Второй случай предполагает, что точки этой плоскости следует искать как высоту параллелограмма.

Первый способ

Из определения имеем, что расстояние от точки М1, лежащей на прямой а, равно длине перпендикуляра М1Н1, тогда получим, что при найденных координатах точки Н1, тогда найдем расстояние между М1 (x1, y1, z1) и H1(x1, y1, z1), по формуле M1H1=x2-x12+y2-y12+z2-z12.

Получаем, что все решение сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, проведенного из М1 к прямой а. Делается это следующим образом: Н1 — точка пересечения прямой а с плоскостью, проходящей через данную точку.

Это означает, что алгоритм определения расстояния от точки M1(x1, y1, z1) до прямой a пространства включает в себя несколько точек:

Определение 5

• составить уравнение плоскости х как уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно прямой;
• определение координат (x2, y2, z2), принадлежащих точке H1, являющейся пересечением прямой a и плоскости χ;
• рассчитать расстояние от точки до прямой по формуле M1H1=x2-x12+y2-y12+z2-z12.

Другой путь

Из условия имеем прямую а, то можно определить вектор направления а→=ах, ау, аз с координатами х3, у3, z3 и некоторой точкой М3, принадлежащей прямой а. Даны координаты точек М1 (x1, y1) и M3x3 , y3, z3, мы можем вычислить M3M1→:

M3M1→=(x1-x3, y1-y3, z1-z3)

Нужно отложить векторы a→=ax, ay, az и M3M1→=x1-x3, y1-y3, z1-z3 из точки M3, соединить и получить фигуру параллелограмма. M1H1 — высота параллелограмма.

Рассмотрим рисунок ниже.

Имеем, что высота М1Н1 и есть искомое расстояние, поэтому нужно найти его по формуле. То есть ищем M1H1.

Обозначим площадь параллелограмма буквой S, найденную по формуле с использованием вектора a→=(ax, ay, az) и M3M1→=x1-x3 y1-y3, z1-z3. Формула площади S=a→×M3M1→. Также площадь фигуры равна произведению длин сторон на высоту, получаем, что S=a→·M1H1 с a→=ax2+ay2+az2 как длина вектора a→ =(ax, ay, az) равно стороне параллелограмма. Итак, M1H1 — это расстояние от точки до прямой. Он находится по формуле M1H1=a→×M3M1→a→.

Для нахождения расстояния от точки с координатами M1(x1, y1, z1) до прямой в пространстве необходимо выполнить несколько шагов алгоритма:

Определение 6

• определение вектора направления прямой а — а→=(ах, ау, аз);
• вычисление длины вектора направления a→=ax2+ay2+az2;
• получить координаты x3, y3, z3, принадлежащие точке M3, расположенной на прямой a;
• вычисление координат вектора M3M1→;
• найти векторное произведение векторов a→(ax, ay, az) и M3M1→=x1-x3, y1-y3, z1-z3 как a→×M3M1→=i→j→k→axayazx1-x3y1-y3z1- z3 для получения длины по формуле a→×M3M1→;
• вычисление расстояния от точки до прямой M1H1=a→×M3M1→a→.

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве

Пример 5

Найдите расстояние от точки с координатами M12, -4, -1 до прямой x+12=y-1=z+55.

Решение

Первый метод начинается с записи уравнения плоскости χ, проходящей через M1 и перпендикулярной данной точке. Получаем выражение вида:

2 (x-2)-1 (y-(-4))+5 (z-(-1))=0⇔2x-y+5z-3=0

Необходимо найти координаты точки H1, являющейся точкой пересечения с плоскостью χ прямой, заданной условием. Необходимо перейти от канонической формы к перекрестной. Тогда получим систему уравнений вида:

х+12=у-1=г+55⇔-1 (х+1)=2 у5 (х+1)=2 (г+5)5 у=-1 (г+5) ⇔х+2у+1 =05x-2z-5=05y+z+5=0⇔x+2y+1=05x-2z-5=0

Методом Крамера необходимо рассчитать систему x+2y+1=05x-2z-5=02x-y+5z-3=0⇔x+2y=-15x-2z=52x-y+5z=3, тогда мы получаем, что:

∆=12050-22-15=-60∆x=-12050-23-15=-60⇔x=∆x∆=-60-60=1∆y=1-10552235=60⇒y=∆y∆= 60-60=-1∆z=12-15052-13=0⇒z=∆z∆=0-60=0

Следовательно, у нас есть H1(1, -1, 0).

Необходимо вычислить расстояние между точками с координатами M1(2, -4, -1) и H1(1, -1, 0) по формуле:

M1H1=1-22+-1—42+0—12=11

Второй способ нужно начинать с поиска координат в каноническом уравнении. Для этого обратите внимание на знаменатели дроби. Тогда a→=2, -1, 5 — вектор направления прямой x+12=y-1=z+55. Необходимо рассчитать длину по формуле a→=22+(-1)2+52=30.

Ясно, что прямая x+12=y-1=z+55 пересекает точку M3(-1, 0, -5), поэтому имеем, что вектор с началом M3(-1, 0, -5) и его конец в точке M12, -4, -1 есть M3M1→=3, -4, 4. Найдите векторное произведение a→=(2, -1, 5) и M3M1→=(3, -4, 4).

Мы получаем выражение вида a→×M3M1→=i→j→k→2-153-44=-4 i→+15 j→-8 k→+20 i→-8 j→=16 i→+7 j →-5 к→

получаем, что длина перекрестного произведения равна a→×M3M1→=162+72+-52=330.

У нас есть все данные, чтобы использовать формулу для расчета расстояния от точки по прямой, поэтому применяем ее и получаем:

M1H1=a→×M3M1→a→=33030=11

Ответ: 11.

Расстояние между параллельными прямыми

А если вам нужно вычислить расстояние между двумя параллельными улицами — какое математическое понятие поможет в этом случае? Вы, конечно, уже догадались, что это расстояние между параллельными прямыми.

Расстояние между параллельными прямыми — это расстояние от одной прямой до другой прямой на плоскости.

Проверим правильность этого утверждения — рассмотрим параллельные прямые m и n.На прямой m выберем две точки E и F, опустим из них перпендикуляры на прямую n, пересечения перпендикуляров с прямой n обозначим буквами Г и Н, а также Е и Н соединить сегментным.

Рассмотрим треугольники GEH и EFH: поскольку EH правильный, (как поперечные углы). Следовательно, по гипотенузе и острому углу. А из свойства подобных треугольников мы знаем, что соответствующие элементы тоже будут подобны, например EG = FH.

Делаем вывод, что расстояние между параллельными прямыми на плоскости равно длине их общего перпендикуляра, а выбор перпендикуляра может быть произвольным.

Расстояние между двумя прямыми m и n обозначается следующим образом: .

Решение задач

Воспользуемся полученными знаниями, решив несколько задач.

Задача 1

Точки K, M и N отмечены на сетке размером с клетку. Каково расстояние от точки K до линии MN?

Как вы помните, чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно опустить перпендикуляр из точки на прямую и вычислить длину.

Ответ: 4 см.

Задача 2

Найдите расстояние от точки Q до линии PR по данным на чертеже.

Из рисунка видно, что отрезок QR перпендикулярен прямой PR, значит, QR — это расстояние от точки Q до прямой PR. В прямоугольном треугольнике PQR отрезок QR противоположен углу в, а значит, равен половине гипотенузы, т е. 14 см.

Ответ: 14 см.

Задача 3

В равностороннем треугольнике PQR проведена биссектриса QS, а ST — расстояние от точки S до прямой QR, равное 12 см. Чему равно расстояние от точки Q до прямой PR?

1. Сторона равносторонняя, тогда , а сторона по условию QS — биссектриса, тогда .
2. Рассмотрим , так как ST — это расстояние от точки S до прямой QR, а значит, она прямоугольная. А СТ — это сторона, противоположная углу в, поэтому QS = 2СТ = 24 см.
3. Сторона равносторонняя, тогда QS не только биссектриса, но и высота, а значит, .

Ответ: 24 см.

А если прямая на плоскости находится так далеко, что провести к ней перпендикуляр физически невозможно — что делать в этом случае? Поможет формула расстояния от точки до прямой в координатах.

Пусть формула задана линией f: ax + by + c = 0 и есть точка M с координатами , тогда формула расстояния от точки до прямой на плоскости выглядит так:

Задача 4

Найти расстояние от точки M (36; 6) до прямой f: 6x + 2y − 12 = 0.

Нам даже не нужно чертить линию и точку, а тем более выбирать масштаб под перпендикуляр, достаточно воспользоваться формулой:

Можно, конечно, и без координат посчитать, но вышеописанный вариант самый рациональный и практичный.